必修一第2章基本初等函数2 1指数函数教师版

1、2.1指数函数21.1 指数与指数幂的运算第一课时 根式提出问题(1) 若 x29，则 x 是 9 的平方根，且 x3；(2) 若 x364，则 x 是 64 的立方根，且 x4；(3)若 x481，则 x 是 81 的 4 次方根，且 x3；(4)若 x532，则 x 是32 的 5 次方根，且 x2.问题 1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？ 提示：是问题 2：一个数的奇次方根有几个？ 提示：1 个问题 3：由于 224，小明说，2 是 4 的平方根；小李说，4 的平方根是 2，你认为谁说的正确？提示：小明导入新知根式及相关概念(1)a 的 n 次方根定义：如果 xna，

2、那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN*.(2)a 的 n 次方根的表示：n 的奇偶性a 的 n 次方根的表示符号a 的取值范围根式(3)根式：式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数化解疑难根式记号的注意点(1)根式的概念中要求 n1，且 nN*.(2)当 n 为大于 1 的奇数时，a 的 n 次方根表示为n a(aR)；当 n 为大于 1 的偶数时，(a0)表示 a 在实数范围内的一个 n 次方根，另一个是 n a，从而 n na. an a提出问题3， 3 3，4问题 1：34 分别等于多少？ 2 2 2提示：2，2,2.3 4 3 4 24分别等于多

3、少？3，23，24，问题 2：2提示：2,2,2,2.问题 3：等式 a2a 及( a)2a 恒成立吗？提示：当 a0 时，两式恒成立；当 a1)an为奇数，且n1，n(2) a n|a|n为偶数，且n1.(3) n 00.(4)负数没有偶次方根 化解疑难( n a)n 与n an的区别根式的性质n 为奇数n aRn 为偶数 n a0，)(1) 当 n 为奇数，且 aR 时，有n an( n a)na；(2) 当 n 为偶数，且 a0 时，有n an( n a)na. 例 1 (1)下列说法：16 的 4 次方根是 2； 4 16的运算结果是2；当 n 为大于 1 的奇数时， n a对任意 a

4、R 都有意义；当 n 为大于 1 的偶数时， n a只有当 a0 时才有意义其中说法正确的序号为 3(2)若 1a 的取值范围是 有意义，则实数a3解析 (1)16 的 4 次方根应是2； 4 162，所以正确的应为.3 1 (2)要使有意义，则 a30，即 a3.a3a 的取值范围是a|a3 答案 (1) (2)a|a3 类题通法判断关于 n 次方根的结论应关注两点(1) n 的奇偶性决定了 n 次方根的个数；(2) n 为奇数时，a 的正负决定着 n 次方根的符号活学活用已知 m102，则 m 等于( )A. 10 2B 10 2D 10 2210C.解析：选 D m102，m 是 2 的

5、 10 次方根 又10 是偶数，2 的 10 次方根有两个，且互为相反数m 10 2.利用根式的性质化简求值根式的概念例 2 化简：(1) nxn(x，nN*)；1(2) 4a 4a1a2.2解 (1)x，x0，当 n 为偶数时， n当 n 为奇数时， nxn|x|x；xnx.x， n为偶数，nN*，nxn综上，n为奇数，nN*.x， 1，12a0.(2)a2 4a24a1类题通法2a12|2a1|12a.根式化简应注意的问题(1) n an 已暗含了n a有意义，据 n 的奇偶性不同可知 a 的取值范围(2) n an中的 a 可以是全体实数， n an的值取决于 n 的奇偶性活学活用求下列

6、各式的值：x28；(2) 32 2( 3 1 2)3.(1) 8x2，x2，8x2|x2|8解：(1)2x，x0，y0Cx0，y0Bx0，y0Dx0，y0(2)设3x3，求x22x1 x26x9的值条件根式的化简(1)解析 4x2y22|xy|2xy，xy0.又xy0，xy0，故选 B. 答案 B2x32|x1|x3|.(2)解 原式3x3，x1当3x1 时，原式(x1)(x3)2x2.当 1x3 时，原式(x1)(x3)4.2x2 3x1，原式4 1x3.类题通法有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简(2)有条件根式的化简经常

7、用到配方的方法当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负活学活用若 nm0，则 m22mnn2A2m C2mm22mnn2等于( B2n D2n )22解析：选 C 原式mnmn|mn|mn|，nm0，mn0，原式(mn)(mn)2m. 5.忽略n的范围导致式子n anaR化简出错3典例 化简3 41 24 .1 233 424(1 2)|1 2|1 2 212 2.解析 121答案 2 2易错防范41本题易忽视1 240，而误认为41 241 2而导致解题错误2对于根式n an的化简一定要注意 n 为正奇数还是正偶数，因为n ana(aR)成立的条件是 n 为正

8、奇数，如果 n 为正偶数，那么n an|a|. 活学活用当 a，bR 时，下列各式恒成立的是( )A( 4 a 4 b)4abB( 4 ab)4abC. 4 a4 4 b4abD. 4ab4ab解析：选 B 当且仅当 ab0 时，(4 a 4 b)4ab；当且仅当 a0，b0 时， 4 a4 4 b4ab；当且仅当 ab0 时， 4ab4ab.由于 a，b 符号未知，因此选项 A，C，D 均不一定恒成立选项 B 中，由4 ab可知 ab0，所以( 4 ab)4ab.故选 B.随堂即时演练121化简12xx2的结果是( )A12x C2x1B0D(12x)21，12x2|12x|，解析：选 C

9、x212x3，则 x26x9|2x| .解析： x26x9|2x|x32|2x|x3|2x|x3(x2)1.答案：12 34化简( a1)21a3 .1a解析：由根式 a1有意义可得 a10，即 a1，原式(a1)(a1)(1a)a1. 答案：a15已知 ab1，nN*，化简n解：ab0，ab0，ab0.n nn.abab当 n 是奇数时，原式(ab)(ab)2a； 当 n 是偶数时，原式|ab|ab|(ba)(ab)2a. nn nnabab2a，n为奇数，2a，n为偶数.课时达标检测一、选择题1. 4 a2(a4)0 有意义，则 a 的取值范围是( )Aa2Ca4Ba2D2a4 或 a4a

10、20，解析：选 D 要使原式有意义，只需即 a2 且 a4.a40，3 44 32. 3543的值为( )B2 52 D6654A6C2 53解析：选 A 636，4544| 54|4 5，335454，原式64 5546.2 3x33得( 3化简A6x3 )B2xD6 或 2x 或2xC6 或2x2 33解析：选 C 注意开偶次方根要加绝对值，x3x36，x3，|x3|(x3)故选 C.2x，x3，4. 74 3A4743等于( )B23C2 3D422解析：选 D 743 7432323(2 3)(2 3)4.5.已知二次函数 yax2bx0.1 的图象如图所示，则4 )4的值ab为( A

11、ab Cab解析：选 D B(ab)Dba由图象知 a(1)2b(1)0.10，ab， 4 二、填空题ab4|ab|ba.6设 m0，则( m)2 .解析：m0，( m)2m. 答案：m7若 x28x16x4，则实数 x 的取值范围是 解析： x28x16又 x28x16x4，x42|x4|x4|x4，x4.答案：x4a1 28设 f(x) x 4，若 0a1，则 f a.112aaa 4解析：f aa12112 a aa，a 22a1a11由于 0a1，所以 aa，故 f aaa.答案：aa9写出使下列等式成立的 x 的取值范围：13(1) 1 3 1 x3 x3；x5x225(5x) x5

12、.(2)3 1 3 1 解：(1)要使x3 x3成立，只需 x30 即可， 即 x3.(2)x5x2252x5x5.2要使x5x5(5x) x5x50，成立，只需x50，即5x5.2 710化简( a1)27.1aa1解：由题意可知 a1有意义，a1.原式(a1)|1a|(a1)a1a1a13a3.第二课时 指数幂及运算提出问题问题 1：判断下列运算是否正确105 a10 555a2a4(a0)；a2(1)分数指数幂的意义1233a4a(a0)(2) 3 a12 3a4提示：正确问题 2：能否把4 a3， 3 b2， 4 c5 写成下列形式：34 a3a 423 b2b 354 c5c 4(a

13、0)；(b0)；(c0)提示：能导入新知分数指数幂的意义(1) 规定正数的正分数指数幂的意义是：mnna am(a0，m，nN*， 且 n1)m n(2) 规定正数的负分数指数幂的意义是：- m 1 1 n*a n )(a0，m，nN ，且 n1)n amma(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义化解疑难对分数指数幂的理解 mm (1)指数幂 an 不可以理解为n 个 a 相乘，它是根式的一种新写法在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；14(2)通常规定分数指数幂的底数 a0，但要注

14、意在像(a)4 a中的 a，则需要 a0.导入新知有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)； (2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)有理指数幂的运算性质化解疑难有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的幂，底数不变，指数相乘；积的幂等于幂的积(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘例 1 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )1A x(x) 216B. y2y 3 (y0) -

15、 34 411x33(x0)CxDx 3 x(x0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式a2a(a0)； aa(a0)； 4 - 22 3(b0)；b3x3 3y2y6x3(x0，y0)1xy(1)解析 xx 2 (x0)；116y2(y)26 y 3 (y0)；x- 11131x3 x 3 x(x0)答案 C115(2)解 a2 aa2a 2 a2 2 a 2 .1a aaa 2 31232a 2 3a .a 2根式与分数指数幂的互化- 2 1 - 2 - 23 b b(-)1 3 213 4 b .原式4 39法一：从外向里化为分数指数幂y2x3 3y1y2 xy6x3 3y6yx3 2

16、xx3y26 1 13 3x y 2 2 x yx3 1 1y2x3y6 2 2 x3y xy2 1 x3 1y6 1 x 2 y 4 x3 1231325 y x 4y 2x 4 y 3 1 1 1 1 y 4 .3x 2 y 4 x 4x 4 y 4法二：从里向外化为分数指数幂x3 31y2y6y2x3y6 3x3xy x3xy12y2 xx3 y2y2 xx2yy x 511y2 x xy2 2 y 4 .类题通法根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：m- mn 1 1 a n am 和 an m ，其中字母 a 要使式

17、子有意义n ama n(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂活学活用将下列根式化为分数指数幂的形式：1a1(1)a(a0)；(2) 1(x0)；35 x22x(3)ab3 ab5(a0，b0)1113311- 34 .解：(1)原式2 aa2 4 aaa 1 1 1(2)原式333x2545952xxxx- 35 . 1 11 3 x 9 3x 5x 5 1 111 112 2 2311(3)原式ab3(ab5) 2 2 aa 2 b3(b5)a b22311a 4 b 4 . 例 2 计算下列各式：- 1(1)2 0222

18、2 0.010.5；31 5 4- 1- 43 160.75；73 0(2)3(2)0.0648- 14ab1312 (3)41 (a0，b0)0.12a3b32141 111116解 (1)原式149 2 100 2 161015.51127(2)原式0.411(2)423 2116816.1333334 2 4 244a 2 a 2 b 2 b 2 25a0b025.(3)原式100类题通法利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则

19、可以对根式进行化简运算(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示活学活用指数幂的运算计算下列各式的值：113 1227 2 (21)0；1(1)0.0277 91 833 50160.750.25 2 ；(2)125(3)121.0303. 3 2 642 3 211 27 125解：(1)原式 3 2 2 149 145.1051 00037 9 3355(2)原式2116 4 0.52180.510.21 33 231132 16522(3)原式4 164 621 46. 322 4.含附加条件的幂的求值问题典例 (12 分)已知 xy12，xy9，且 xy，求：11(

20、1)x 2 y 2 ；11(2)x 2 y 2 ；(3)xy.解题流程111122221将 xy，xy平方后即可建立其与 xy 及 xy 的关系；,2可利用平1111方差公式将 xy 分解成x 2 y 2x 2 y 2求解1111求x 2 y 2 ，x 2 y 2 ，xy的值，应建立其与xy及xy的关系后求解 1 1111111222(xyx 2y 2x 2 y 2x 2 y 2x 2 y 2规范解答(1)11 2xyx 2 y 2 2 xy18，(2 分)11x 2 y 2 3 2.(4 分 )(2)1 2xy21xy6，(6 分)x 2 y 2 11又 xy，x 2 y 2 6.(8 分)

21、(3)xy1 2 1 2x 2 y 2 1 111 (10 分)x 2 y 2 x 2 -y 2 1113 2( 6)32 2 2 2 3 263.(12 分) 名师批注 1由x与x 2 ，1y与y 2 都具有平方关系， 故可先求 11 2，然后x 2 y 2 11求x 2 y 2 的值， 解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.11x 2 y 22xy2 xy11x 2 y 22xy2 xy易忽视条件xy，而得出错误答案.此处巧妙利用了1活学活用2的结论使问题得以解决.已知 aa15，求下列各式的值；(1)a2a2；1(2)a 2 a- 12 .解：(1)法一：由 aa15 两边平方

22、得：a22aa1a225， 即：a2a223；法二：a2a2a22aa1a22aa1(aa1)2225223；1- 1(2)(a 2 a 2 )2aa12523，1- 11- 1|a 2 a 2 | 3.a 2 a 2 3.随堂即时演练2 43a4的结果是( B2a5 D11若 2a3，化简A52a C12a )解析：选 C 由于 2a3， 所以 2a0，所以原式a23a1.1- 31- 12- 12(2a 3 b 4 (a 2 b 3 )6(3a 3 b 4 ) 等 于 ( )8- 5822A.3a 3 b2 B3a 3 1 - 51 - 522C3a 6 b6D.3a 6 b232 _ 1

23、 1- 32- 11 +322 4 3 b4解析：选 A 原式(2)(1)6(3)(a 3 b 4 )(a3b 2)(a 3 b 4 )3a 38- 52=3a 3 b 2 注意符号不能弄错3若 10x3,10y4，则 102xy .解析：10x3，102x9，102x92xy10 10y 4.9答案：434化简a3解析：aa的结果是 1131312a(a a) 3 123a .aaa21答案：a 25计算(或化简)下列各式： 23；121232264(1)41 abab2a 2 b 2(2).1 111a 2 b 2a 2 b 2 23解：(1)原式(22)212322(26)2222222

24、32 224223224212.111111a 2 b 2a 2 b 2a 2 b 22(2)原式1111a 2 b 2a 2 b 21111a b 220.a b 22课时达标检测一、选择题a31.(a0)的值是( )5a aA14Ba1Da17Ca5101a 541417原式a3a解析：选 D 2a325a10.2化简 3A552 3的结果为( 4 )B. 5C 5D5 3523(2 3 1解析：选 B 5)34525.4 1027223.12 (10.5 ) 8 3的值为( )11A3B.347C.3D.3原式1(122)321(3)47.故选 D.解析：选 D 9324若 a1，b0，

25、abab2A. 6 C22，则 abab 等于( )B2 或2 D2解析：选 D a1，b0，abab，(abab)2(abab)24(2abab2.5设 x，y 是正数，且 xyyx，y9x，则 x 的值为( )2)244，A.14B. 39D. 3 9C1解析：选 B x9x(9x)x，(x9)x(9x)x，x99x.x89.x8 9 4 3.二、填空题a3b2 3 ab26化简(a0，b0)的结果是14 31b a4b2a1 21a b a3b33 2231111 a解析：原式a2613b1323b.1 1ab2a3b3 a答案：b115n1)，nN*，则(x 1x2)n 的值为 7已知

26、 x2(5n1(5225n2)1(515n1)2，解析：因为 1x24n4 n111111n2 n所以(x 1x ) 25n5n25n5n 1n5n 5. 答案：58设 a2b4m(a0，b0)，且 ab6，则 m 等于 解析：a2b4m(a0，b0)，1，b1，ab2.am2m4由 ab6 得 b2b60，解得 b2 或 b3(舍去)14m42，m2 16.答案：16三、解答题9化简求值： 70.510237(1)29 0.1 22733 48；2032110(2)383(0.002)210( 52) ( 2 3) ；(3)(a2b3)(4a1b)(12a4b2c)；(4)2 3 a4 6

27、ab3 b3.解：(1)原式251 1642373 9 20.12273 485937310016348100.232 11 10 (2)原式(1)338350021522721 8 3(500)210( 52)14167910 510 5201.9(3)原式4a21b31(12a4b2c)11 a 3(4) 2(2)113abc 3ac 3c.11 13(4)原式2a3(4a6b6)(3b2)1 11133 1 42a36b63b22a6b3.10已知 a3，求 1 1 2 4 的值1111a1a41a41a2 1 1 2 4 解：1111a1a41a41a2 2 2 4 111111aa4

28、a41a2 2 2 4 111a1a21a2 4 4 111a1a21a2 4 4 8 1.1a1a1a221.2 指数函数及其性质第一课时 指数函数及其性质提出问题观察下列从数集 A 到数集 B 的对应：AR，BR，f：xy2x；AR，B(0，)，f：xy1x.2问题 1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能问题 2：这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量导入新知指数函数的定义函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R.化解疑难指数函数的概念中规定 a0 且 a1 的原因(1)若 a0，则当 x0 时，ax0；当 x0 时，ax 无意义11

29、(2)若 a0，且 a1.在规定以后，对于任何 xR， ax 都有意义，且 ax0.提出问题问题 1：试作出函数 y2x(xR)和 y 1 x(2) (xR)的图象提示：问题 2：两函数图象有无交点？ 提示：有交点，其坐标为(0,1)问题 3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是 R；值域都是(0，)；函数 y2x 是增函数，函数 y1x 是减函数2导入新知指数函数的图象和性质化解疑难透析指数函数的图象与性质(1)当底数 a 大小不确定时，必须分 a1 和 0a1 时，x 的值越小，函数的图象越接近 x 轴；当 0a0 且 a1解析 (1)中，3x 的系数是 2，故不

30、是指数函数；中，y3x1 的指数是 x1，不是自变量 x，故不是指数函数；中，y3x,3x 的系数是 1，幂的指数是自变量 x，且只有 3x 一项，故是指数函数；中，yx3 中底数为自变量，指数为常数，故不是指数函数所以只有是指数函数a221，(2)由指数函数定义知所以解得 a3.a0，且a1，答案 (1)B (2)C类题通法判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征：(1)底数 a0，且 a1. (2)ax 的系数为 1.(3)yax 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上活学活用下列函数中是指数函数的是 (填序号)y2

31、( 2)x；y2x1；yx；yxx；211y3x；yx3.指数函数的概念12x，指数式解析：中指数式( 2)x 的系数不为 1，故不是指数函数；中 y2x122x 的系数不为 1，故不是指数函数；中底数为 x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；中指数不是 x，故不是指数函数；中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数故填.答案：例 2 (1)如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx 的图象，则 a，b，c，d与 1 的大小关系为( )Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1d0，且 a1)的图象过定点 解析 (1)由图象可知的底数必大于 1，的底数必小于 1.过点

32、(1,0)作直线 x1，如图所示，在第一象限内直线 x1 与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则 1dc，ba1，从而可知 a，b，c，d 与 1 的大小关系为 ba1d0，且 a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数 yax33中，令 x3，得 y134，即函数的图象过定点(3,4)法二：将原函数变形，得 y3ax3，然后把 y3 看作是(x3)的指数函数，所以当 x30 时，y31，即 x3，y4，所以原函数的图象过定点(3,4)答案 (1)B (2)(3,4)类题通法底数 a 对函数图象的影响(1) 底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a1 时，指数函数的图象“上升”；当 0a1，还是 0ab1 时，若 x0，则 axbx1；若 xbxax0.指数函数的图象问题当 1ab0 时，若 x0，则 1axbx0；若 xax1. 活学活用若函数 yax(b1)(a0，且 a1)的图象不经过第二象限，则有( )Aa1 且 b1C0a0B0a1 且 b0解析：选 D 由指数函数图象的特征可知 0a0，且 a1) 的