2019版高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法课件新人教B版必修5.pptx

1、3.3一元二次不等式及其解法,1.理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系,能借助二次函数的图象解一元二次不等式. 2.能利用一元二次不等式解决相关的实际问题,并会设计求解一元二次不等式的程序框图. 3.了解简单的分式不等式、含参数的不等式和简单高次不等式的解法.,1.一元二次不等式的概念 形如ax2+bx+c0或ax2+bx+c0;-x2-2x15;x3-5x+60;x2-y0.其中一元二次不等式的个数为() A.1B.2 C.3D.4 答案:B,2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系 设f(x)=ax2+bx+c(a0),归纳总结对于一元二次不等式的二次项系数为正

2、且存在两个根的情况,常用口诀是:大于取两边,小于取中间.即:一个前提:“a0”和四句话“根上等于零,根间小于零,根外大于零,无根大于零”. 对于二次项系数是负数(即a0)的一元二次不等式,可以先把二次项系数化为正数,再对照上述情况求解.我们把二次项系数为正的一元二次不等式称之为标准一元二次不等式.,【做一做2-1】 不等式x2-2x+10的解集是() A.R B.x|xR,且x1 C.x|x1 D.x|x1 答案:B 【做一做2-2】 不等式-6x2-x+20的解集是.,3.用程序框图描述求解一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的算法过程,【做一做3】 函数y=f(x)的图象如图所示,则不

3、等式f(x)0的解集是. 答案:,一,二,三,四,一、借助函数图象解不等式的原理分析 剖析:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵坐标在平面直角坐标系中描出所有的点,这些点就构成了函数的图象.因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值,纵坐标是对应的函数值.二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上的点的坐标的意义也是一样.由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0,位于x轴上的点的纵坐标等于0,位于x轴下方的点的纵坐标小于0,所以二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集,二次函数f(x)=ax2+bx+

4、c的图象上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)=ax2+bx+c0或f(x)0.,一,二,三,四,一,二,三,四,二、简单的一元高次不等式的解法 剖析:一元高次不等式f(x)0用数轴穿根法(或称根轴法,区间法)求解,其步骤是: (1)将f(x)最高次项的系数化为正数; (2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况,偶次方根穿而不过,奇次方根既穿又过); (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集. 即:f(x)0,其中f(x)=a0 xk+a1xk-1+ak,

5、且f(x)能分解为若干个一次因式的积a0(x-x1)(x-x2)(x-xk)0,其中a00,x1x2xk-1xk,如图所示.,一,二,三,四,这k个值将数轴分为(k+1)个区间(xk,+),(xk-1,xk),(xk-2,xk-1),这(k+1)个区间从右到左依次编号为第1,2,3,k+1号,那么f(x)0的解集为第1,3,5,奇数号区间的并集.,一,二,三,四,三、分式不等式的解法 剖析:分母中含有未知数,且分子、分母都是关于未知数的多项式的不等式称为分式不等式,解分式不等式的基本思路是将分式不等式等价转化为整式不等式或整式不等式组.常见的四种形式的分式不等式转化方法如下表所示.,一,二,三

6、,四,一,二,三,四,四、教材中的“?”,2.不等式x2+4x+40的解集是什么?x2+4x+40的解集是什么? 剖析:x2+4x+40相当于(x+2)20,所以不等式的解集为R.x2+4x+40相当于(x+2)20,所以不等式的解集为x|x=-2.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,一元二次不等式的概念 【例1】 x2+x+10,mx2-5x+10,-x3+5x0,(a2+1)x2+bx+c0(m,aR).其中关于x的不等式是一元二次不等式的是.(请把正确的序号都填上) 解析:是;不是;不一定是,因为当m=0时,它是一元一次不等式;不是,因为未知数的最高次数是3;是,与不同,尽管x2的

7、系数含有字母,但a2+10,故答案为. 答案: 反思当所给不等式的二次项系数含字母时,要注意二次项系数是否为零,这一点决定了这个不等式是否为一元二次不等式.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】 下列不等式哪些是一元二次不等式(其中a,b,c,m为常数)?并说明理由. (1)ax20;(2)x3+5x-60;(3)-x-x20;(4)x2+3x0;(5)mx2-5y0;(6)ax2+bx+c0;(7)x- 0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解:,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,一元二次不等式的解法 【例2】 不等式x2+x-20的解集为. 解析:由x2+x

8、-20,即(x+2)(x-1)0, 解得-2x1,故原不等式的解集为x|-2x1. 答案:x|-2x1 反思在具体求解一个一元二次不等式的过程中,当所给不等式是非标准不等式形式时,应先转化为标准形式,再密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象求解.这种方法体现了“化归”思想的运用,要注意体会.,题型一,题型二,题型四,题型五,题型三,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,含参数的一元二次不等式的解法 【例3】 解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30(aR). 分析:这是一个含有参数的一元二次不等式,首先考虑因式分解,分解之后可知方程的根是a,a2,需要对两根进行大小比较,所以要

9、进行讨论. 解:将不等式x2-(a+a2)x+a30变形为(x-a)(x-a2)0. 当a1时,有aa2; 当0a2,解集为x|xa; 当a=0时,解集为x|x0; 当a=1时,解集为x|x1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思解含参数的一元二次不等式一般都需要对参数进行分类讨论,在分类讨论时,一般要注意以下三个方面: (1)对二次项系数是否为0,是正数还是负数进行讨论,以便确定解集的形式; (2)对判别式0,=0,0进行讨论,以便确定一元二次方程根的个数; (3)对相应一元二次方程根的大小进行讨论,以确定出解集.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练3】 解关于x的

10、不等式2x2+ax+20. 解:=a2-16, 当0,即-4a4时,方程2x2+ax+2=0没有实数根,原不等式的解集为R; 当0,即a4或a-4时,方程2x2+ax+2=0的两根为,当a=-4时,原不等式的解集为x|xR,且x1; 当a4或a-4时,原不等式的解集为,当a=4时,原不等式的解集为x|xR,且x-1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,已知一元二次不等式的解集求参数问题 【例4】 若关于x的不等式px2+qx+20的解集为x|-10的解集为(-1,2), 方程px2+qx+2=0的两根是x1=-1,x2=2,且p0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思在本题中,

11、已知不等式的解集,要求确定其系数,这和解不等式的问题(已知系数求其解集)正好是互为逆向的两类问题.这类问题也可以用下面的方法来解:(1)先作出一个解集符合要求的不等式;(2)根据不等式同解的要求,确定其系数的数值.利用此法确定不等式系数时,必须注意:将两不等式化为同向不等式;同向二次不等式的二次项系数同号,否则就会产生错误.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练4】 已知关于x的方程x2+2mx-m+12=0的两个实根都大于2,求实数m的取值范围. 解:设方程x2+2mx-m+12=0的两根为x1,x2.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,分式不等式的解法 【例5】 解下列

12、关于x的不等式:,当a0时,ax(x+1)0 x|x0或x-1.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,反思在把分式转化为整式的过程中应注意分母不能为零,对于“”“”型的分式不等式,转化后应变为不等式组.,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,1 2 3 4 5,1已知集合M=x|x|0,则MN为() A.R B.x|-23 D.x|-3x-2 答案:D,1 2 3 4 5,2函数y= 的定义域是() A.x|x3B.x|-4x3 C.x|x-4或x3D.x|-4x3 解析:要使函数有意义,只需x2+x-120. 方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且与x轴有两个交点(-4,0),(3,0). 故原不等式的解集为x|x-4或x3. 答案:C,1 2 3 4 5,3已知关于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(),解析:因为由x2-2ax-8a20), 得(x-4a)(x+2a)0, 即-2ax4a, 所以x1=-2a,x2=4a. 因为x2-x1=4a-(-2a)=6a=15,答案:A,1 2 3