第七讲_矩阵的乘法运算

1、第二章矩阵及其运算第二讲矩阵的乘法运算1一、定义设A = (aij )是一个m s矩阵，B = (bij )是一个s n矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵C = (cij )其中scij= ai 1b1 j + ai 2b2 j+ L + ais bsj= aik bkjk =1, n)(i = 1, 2,并把此乘积记作例如:, m; j = 1, 2,C = AB.2注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。例如不存在.3注意：1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵的

2、第j列对应元素乘积之和.2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的 乘积才有意义.3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的 行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩 阵的列数.4又如5()()1234-2034A =例3设,=B-11()109121014AB =解()()0-1100B =设A =,例4-1()()-1 00-10110BA =AB =,解6 b1B = b2, 求AB、BA例5设 bn 7()()()-3-21510103A =C =例6求,B,设-1-19AC、BC()()()3-210031-13-3=AC解：-11()()()-510031-13-

3、3=BC-119此处8方程组的矩阵表示：+ a12 x2 + a13 x3 a11 x1 aaa x1112131a23 x2 = a21 x1+ a22 x2+ a23 x3 a21a22 a32 a a31a33 x3 x+ a+ axx311322333+ a12 x2 + a13 x3 = b1a11 x1a+ a+ ax= bxx(1)对方程组2112222332a+ a+ ax= bxx a1131 1a12 a22 a323223333a13 x1 b1 A = a21x = x2 ,b = b2 a23 ,记 a31a33 x3 Ax = b. b3 则方程组(1)可表示为9又

4、如：+ a12 x2 + a13 x3 = b1a11 x1(2)对方程组a+ a+ ax= bxx2112222332(),()xaaab1A =x = x2 ,b =记1112131a21a22a23 xb2Ax = b.3 则方程组(2)可表示为10二、矩阵乘法运算规律定理1.设A、B、C、O、E在下面各式中相应的乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：(1)结合律：A（BC）=（AB）C；k（AB）=A（kB） 分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA OA=O ； AO=O(2)(3)(4)EA=A； AE=A.注：单位矩阵E和数1的作用一样。11注意矩阵不满换律，

5、即：AB B A()- 11111A =,B = - 1设如：-11AB = 00,BA = 22,则 - 2- 2 00AB BA.故由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.12此例不仅表明矩阵的乘法不满换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即1) 若AB = O, 且A O, 不能推出B = O;2) 若A( X - Y ) = O, 且A O, 不能推出X = Y.但也有例外，比如设- 1,B = 1A = 20, - 11BA = 2 02则有 AB = 2- 2,- 2 AB = BA.- 2- 222若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.13小结：1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时