矩阵与参数方程

1、精锐教育学科教师辅导讲义年 级：高三 辅导科目：数学 课时数：3课 题 选修部分复习教学目的熟练掌握高考数学中选修部分矩阵以及极坐标参数方程的应用教学内容一、矩阵的基本概念矩阵，是由 个数组成的一个 行 列的矩形表格，通常用大写字母 表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素 表示，其中下标 都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置。比如， 或 表示一个 矩阵，下标 表示元素 位于该矩阵的第 行、第 列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个 矩阵 ，也称为一个 维列向量；而一个 矩阵 ，也称为一个 维行向量。 当一个矩阵的行数 与烈数 相等时，该矩阵称为一个 阶方阵

2、。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个 阶方阵的主对角线上的元素都是 ，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为 ，即： 。二、矩阵的运算1、矩阵的加法 ： 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和 对应元素的和，即： 。 （ 1）交换律： ； （ 2）结合律： ； （ 3）存在零元： ； （ 4）存在负元： 。 2 、数与矩阵的乘法 ： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 3 、矩阵的乘法：设 为 距阵， 为 距阵，则矩阵 可以左乘矩阵

3、（注意：距阵 德列数等与矩阵 的行数），所得的积为一个 距阵 ，即 ，其中 ，并且 。 矩阵的乘法满足下列 运算律（假定下面的运算均有意义）： （ 1）结合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）数与矩阵乘法的结合律： ； （ 5）单位元的存在性： 。 若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， 。 注意： 矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是： （1 ）矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便 有意义， 也未必有意义；倘使 都有意义，二者也未必相等（请读者自己举反例）。正是由于这个原因，一般来讲， ， 。

4、 （2 ）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即 未必能推出 或者。 （3 ）消去律部成立：如果 并且 ，未必有 。 【例】求矩阵 与 的乘积及解 按公式（1.10），有4 、矩阵的转置 ： 定义：设 为 矩阵，我们定义 的转置为一个 矩阵，并用 表示 的转置，即： 。矩阵的转置运算满足下列运算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 5、对称矩阵 ： 定义1.11 阶方阵 若满足条件： ，则称 为对称矩阵；若满足条件： ，则称 为反对称矩阵。若设 ，则 为对称矩阵，当且仅当 对任意的 成立； 为反对称矩阵，当且仅当 对任意的 成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵

5、具有如下性质： （1 ）对于任意 矩阵 ， 为 阶对称矩阵；而 为 阶对称矩阵； （2 ）两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵； （3 ）如果两个同阶（反）对称矩阵 可交换，即 ，则它们的乘积 必为对称矩阵，即 。 【逆矩阵】设 为 阶方阵，若有同阶方阵 使得 则称 是可逆的， 为 的逆阵， 可以证明，如果 是可逆的，则 的逆阵是唯一的，并记 的逆阵为 ，从而上式可写成 定理 1 （矩阵可逆的充分必要条件） 可逆 。 证： ：若 可逆，则存在 ，使得 ， ，所以 。 ：若 ，则由 得 ，故而 可逆。 在证明中可知 这是 的计算公式，其中 是 的伴随阵， 是 的代数余子式。 例： ，

6、，求 。 解： ， ， ， ， ， 。可逆阵的性质： 1 可逆 可逆，且 。 2 可逆， 可逆，且 。 3 可逆，且同阶 可逆，且 。 4 可逆 可逆，且 。 定义负幂次方：设 可逆，则定义 ， 。 方阵的特征值与特征向量 定义：设是 阶方阵，若有数 和非零向量 ，使得 称数是 的特征值，非零向量 是 对应于特征值 的特征向量。 特征值和特征向量的求法： 1 由 得 ，并且由于 是非零向量，故行列式 ，即 （称之为 的特征方程） 由此可解出 个根 （在复数范围内），这就是 的所有特征值。 2 根据某个特征值 ，由线性方程组 解出非零解 ，这就是 对应于特征值 的特征向量。 例 求 的特征值和特

7、征向量。 解 由 ，得 ，解得 ； 对 ，求解 ，得 ，取对应于 的特征向量 ； 对 ，求解 ，得 ，取对应于 的特征向量 。线性变换设 到 的线性变换由下式给出 其逆变换 到 的线性变换则右下式给出 这是因为 ，则 ， 例：线性方程组 有唯一解： 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M，且，（）求实数的值；（）求直线在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程1、选修42：矩阵与变换给定矩阵试求矩阵的特征值及对应的特征向量2、【2010年江苏高考】在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k0，kR，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,A1B

8、1C1的面积是ABC面积的2倍，求实数k的值3、【2011年江苏高考】选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，向量，求向量，使得【例】设点P(x,y)在椭圆上，求的最大、最小值.一、选择题1下列在曲线上的点是（ ）A B C D 2将参数方程化为普通方程为（ ）A B C D 3化极坐标方程为直角坐标方程为（ ）A B C D 二、填空1已知直线与直线相交于点，又点，则_。2直线被圆截得的弦长为_。3、极点到直线的距离是_ _。4、极坐标方程表示的曲线是_ _。5、在极坐标系中，曲线一条对称轴的极坐标方程 .6、在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点.则|AB|= .【2010江苏高考】参数方程与极坐标在极坐标系中，圆=2cos与直线3cos+4sin+a=0相切，求实数a的值