第二节 等差数列及其前n项和

1、第二节等差数列及其前n项和一、等差数列的概念1定义：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这样的数列叫做等差数列，记作数列，首项记作a1，公差记作d.2符号表示： an1and(nN*)二、通项公式若数列为等差数列，则ana1(n1)dam(nm)d.三、前n项和公式Snna1d.四、等差中项如果三数a，A，b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，即A.五、等差数列的判定方法1定义法： an1and (常数)(nN*)是等差数列2中项公式法： 2an1anan2(nN*)是等差数列3通项公式法： anknb(k，b是常数)(nN*)是等差数列4前n项和公式法：SnAn

2、2Bn(A，B是常数)(nN*)是等差数列六、用函数观点认识等差数列1andna1d，d0时是关于n的一次函数2Snn2n，d0时是关于n的常数项为零的二次函数七、等差数列的重要性质1在等差数列中，若pqmn，则有apaqaman；若2mpq，则有2amapaq(p，q，m，nN*，简称为下标和性质)2在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an，ank，an2k，an3k，为等差数列，公差为kd.3若数列是等差数列，Sn是其前n项的和，那么Sk，S2kSk，S3kS2k(kN*)也成等差数列，公差为k2d.1已知数列an为等差数列，若a23，a1a612，则a7a8a945解析：

3、因为数列an为等差数列，故有解得所以a7a8a93a121d45.2设Sn是等差数列an的前n项和，a12，a53a3，则S9(B)A72B54C54 D72解析：由a12，a53a3得a14d3(a12d)，即da12，所以S99a1d929854，故选B.3各项不为零的等差数列an中，2a3a2a110，则a7的值为4解析：由2a3a2a110，得2(a3a11)a04a7a0，a7(4a7)0.a70，a74.4已知等差数列an的前n项和为Sn，且S9S420，则S13的值为52解析：因为数列an是等差数列，S9S420，所以5a720，即a74，所以S1313452.高考方向1.以选择

4、题、填空题的形式考查等差数列的基本运算与性质.2.在解答题中与等比数列、数列求和等问题综合考查.1(2013新课标全国卷)设AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnCn的面积为Sn，n1，2，3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则(B) ASn为递减数列 BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列 DS2n1为递减数列，S2n为递增数列2(2014安徽卷)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q1解析：利用等差数列、等比数列的通项公式求解设等差数列an的公差为d，则a11a312d，a55a352d成等比数列，所

5、以(a312d)(a352d)(a33)2，解得d1，所以q1.3(2014天津卷)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为解析：根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解等差数列的前n项和为Snna1d，所以S1，S2，S4分别为a1，2a11，4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得a1.1若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2b22，则a5b5(C)A5 B16 C80 D160解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则da2a

6、11，q2，则a5a14d5，b5b1q416，所以a5b580，故选C.2设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知数列是首项为1，公差为1的等差数列(1)求数列的通项公式；(2)令bn，若不等式i对任意nN*都成立，求实数L的取值范围解析：(1)数列是首项为1，公差为1的等差数列，11n.Snn2.当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n22n1.又a11适合上式，an2n1(nN*)(2)bn，ib1b2bn.故要使不等式i对任意nN*都成立，只需对任意nN*都成立，得L对任意nN*都成立令cn，则1.cn1c1.L.实数L的取值范围为.课时作业1等差数列an中，

7、a1a510，a47，则数列an的公差为(B)A1B2 C3 D4解析：由等差中项的性质知a35.又a47，da4a32.故选B.2等差数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行235第二行8614第三行11913则a4的值为(A)A18 B15 C12 D20解析：由题意可得 a13，a28，a313，故此等差数列的公差为5，故a4a3d18，故选A.3已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的斜率是(A) A4 B3 C2

8、 D1解析：由题意知解得a13，d4.直线的斜率为4，故选A.4设an是等差数列，若a23，a713，则数列an的前8项之和为(C)A128 B80 C64 D56解析：根据等差数列的性质知a1a8a2a7，则S84(a2a7)4(313)64，故选C.5设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5(D)A0 B.C. D.解析：f(a1)f(a2)f(a5)(2a1cos a1)(2a2cos a2)(2a5cos a5)5，即2(a1a2a5)(cos a1cos a2 cos a5)5，而an是公差为的等差数列，代入2(a

9、1a2a5)(cos a1cos a2cos a5)5，即10a3cos(a3)cos(a3)cos a3cos(a3)cos(a3)10a3(2cos 2cos1)cos a35，cos a3不是的倍数，10a35.a3.f(a3)2a1a5.故选D.6已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10(12x)dx，S2017，则S30为(A)A15 B20 C25 D30解析：S10(12x)dx(xx2)33200212，由S10，S20S10，S30S20为等差数列，解得S3015.7(2013广东卷)在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a720解析：依题意2a19d10，所以3a5

10、a73(a14d)a16d4a118d20.或3a5a72(a3a8)20.8(2013重庆卷)已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S864解析：因为a1，a2，a5成等比数列，则aa1a5，即(1d)21(14d)，d2.所以an1(n1)22n1，S84(115)64.9将正奇数排列如下表，其中第i行第j个数表示aij(iN*，jN*)，例如a329，若aij2 009，则ij60135791113151719解析：由2n12 009，求得n1 005，由此可知将正奇数按从小到大的顺序排列，2 009 位于第1 005个，而数表自上而下，

11、每行所放的奇数个数，恰好与行数相等，设2 009位于第i行，则123 i1 005，且123(i1)1 005，于是得1 005且1 005i(1i)2 010，i(i1)2 010，并注意到iN*，所以i45，而j1 0051 00522451 00599015，故ij451560.10已知数列an满足an1，nN*，且a10.(1)求a2，a3；(2)若存在一个常数，使得数列为等差数列，求的值；(3)求数列an的通项公式解析：(1)a2，a3.(2)若为等差数列，则有，将a1，a2，a3代入，解得1.(3)由an1，得an111，取倒数，即，为等差数列，(n1)d1(n1)n，整理得an，nN*.11已知数列an满足a10，an11an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，且数列S11，S21，S31，Sn1，是首项和公比都为4的等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Tn，求的值解析：(1)