ch7_2抽取与内插滤波器

1、数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地多速率信号处理基础信号的内插与抽取抽取滤波器和内插滤波器多相分解半带滤波器两通道滤波器组抽取滤波器和内插滤波器抽取滤波器抽取滤波的时域表示内插滤波器内插滤波器的时域表示MATLAB计算抽样率变换抽样率变换中的滤波器抽取滤波器X(ejW)W-ppMM-可用理想低通滤波器滤除X(ejW)中的高频分量W= 1 / MH (e jW )0 / M W 但理想低通滤波器无法实现。抽样率变换中的滤波器xkyk MH(z)抽取滤波器X(ejW)W-ppMWmM若Wm/M为X(ejW)中需保留的最高频率分

2、量，则有W W m / M= 1H (e jW ) / M W 0抽样率变换中的滤波器xkyk MH(z)抽取滤波器更一般地，抽取滤波器的幅度响应可为1,W W m / M= H (e jW2l - W2l + W)0, W m ,l = 1,2,L, M - 1M m M抽样率变换中的滤波器xkyk MH(z)X(ejW)W-ppW0WmMWMjX (eM )WMp-p- WmWMW0mW +2pjX (e)MWMp-p- WmMW- 2 Wm0- Wm MW0 - 2 Wm2 - Wm 2 + Wm W0MM例：设信号xk需保留的最高频率分量为0.1p，试设计M=4，等波纹FIR抽取滤波器

3、。1,W W m / M= H (e jW )2l - W2l + W0, W m ,l = 1,2,L, M -1M m MWm=0.1p M=0.4p，解：通带为0，0.1pl=1时，要求的阻带为(2p-0.4p)/4,(2p+0.4p)/4=0.4p,0.6p l=2时，要求的阻带为(4p-0.4p)/4,(4p+0.4p)/4=0.9p,1.1p l=3时，要求的阻带为(6p-0.4p)/4,(6p+0.4p)/4=1.4p,1.6p 综上所述，抽取滤波器阻带为 0.4p,0.6p，0.9p, p选滤波器的通带波动dp=0.01，阻带波动ds=0.001x=firls(511,00.1

4、0.1 0.50.51,111000);0.001;f=0.10.40.60.9;a=100;dev=0.010.001%设计滤波器N,fo,ao,w=remezord(f,a,dev);h=remez(N,fo,ao,w);xd=filter(h,1,x);y=xd(1:4:end); w=linspace(0,pi,512); mag=freqz(h,1,w);subplot(3,1,1);plot(w/pi,20*log10(abs(mag);xlabel(Normalizedfrequency);ylabel(Gain,dB);X=freqz(x,1,w);Y=freqz(y,1,w)

5、;subplot(3,1,2);plot(w/pi,(abs(X);xlabel(Normalizedfrequency);ylabel(magnitude);title(Spectrum Subplot(3,1,3);plot(w/pi,abs(Y);of x);xlabel(Normalizedfrequency);ylabel(magnitude);title(Spectrumof y);10.80.60.40.20 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91Normalized frequency信号xk 的频谱0.250.20.150.10.05000.10.20.3

6、0.40.50.60.70.80.91Normalized frequency 抽取滤波后信号 的频谱0.250.20.150.10.05000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Normalized frequency 直接抽取后信号 的频谱magnitudemagnitudemagnitude抽取滤波的时域表示 vk xkykH(z)vk = xnhk - nnyk = vkM抽样率变换中的滤波器yk = xnhMk - nn M抽取滤波的计算量(computationalrequirements)在单速率信号处理中，实现相同指标的滤波器，IIR所需的计算量较小(和FIR

7、相比较)。 vk抽取滤波器xkykH(z)如果H(z)是长度为N的FIR，用直接型N -1vk = hnxk - nn=0由于不必计算出所有点卷积值，只需每M点计算一点的卷积，计算量只有原先的1/M抽样率变换中的滤波器 M抽取滤波的计算量(computationalrequirements)K如果H(z)是K阶IIR- nb zV (z)nH(z) = n= 0KX(z)1 + a z- nnn=1用直接型完成则有wk = -a1wk -1 - a2wk - 2 -LL- aK wk - K + xkvk = b0 wk + b1wk -1 +LL+ bK wk - K vk 只需每M点计算一

8、点, 而wk每一点都需算出！所以IIR 的计算量的减小达不到原来的1/M。抽样率变换中的滤波器内插滤波器(interpolation filter)xIkxkykXI(ejW)W0LL-可用理想低通滤波器滤除XI(ejW)中的镜像分量W= 1 / LH (e jW )0 / L W 抽样率变换中的滤波器H (z) L内插滤波器(interpolation filter)X(ejW)W-p-WmWm0p2p-WmX(ejW)-ppW0L2 - WW2 + W m L m L m L内插滤波器的幅度响应为1,W W m/ L= H (e jW )2l - W2l + W0, W m ,l = 1,

9、2,L, L -1L m L抽样率变换中的滤波器内插滤波器的时域表示xIkxkykyk = nxInhk - n=xn / Lhk - nn是L的整数倍抽样率变换中的滤波器yk = xnhk - nLnH (z) L例：(分数倍抽样率变换)已知用4kHz抽样后的一序列xk的频谱如图所示，试用数字的方法得出按5kHz抽样后的序X (e jW )列yk。W- 7- 5- 257 26666xkxI k yk (e jWX I)W57 192917- 53030Y (e jW )30303030滤波器1:通带0, p/6,阻带 7p/30, pW滤波器2:通带0, p/6,2- 2阻带 7p,17p

10、 /30, 19p,29p /3033 4H(z) 5利用MATLAB 计算抽样率变换(1) 抽取y = decimate(x,M)用8阶Chebyshev I 型 IIR 低通滤波器进行滤波。为保证零相位，对序列进行正向和反向滤波。M=255;x = firls(M,0 0 0 0);0.250.250.50.51,111x1=x(1:4:end); x2=decimate(x,4); w=linspace(0,pi,512);X=freqz(x,1,w);X1=freqz(x1,1,w); X2=freqz(x2,1,w);抽样率变换中的滤波器利用MATLAB计算抽样率变换10.80.60

11、.40.200pp/43p /4p/2W抽样率变换中的滤波器原信号的谱抽取后信号的谱抽取信号滤波后的谱利用MATLAB 计算抽样率变换M=4;x,Fs,bits = wavread(mother); wavplay(x,Fs);x1=x(1:M:end); wavplay(x1,Fs/M); x2=decimate(x,M); wavplay(x2,Fs/M);抽样率变换中的滤波器利用Matlab 计算抽样率变换(2)内插y,h = interp(x,L)使内插后的信号的均方误差最小来确定FIR滤波器。h: 所用FIR的系数。M=255; L=4;x = firls(M,00.50.51,11

12、10);x1=zeros(1,L*length(x); x1(1:L:end)=x; x2=interp(x,4); w=linspace(0,pi,512); X=freqz(x,1,w);X1=freqz(x1,1,w);X2=freqz(x2,1,w);抽样率变换中的滤波器2100p/4p/23p/4p2100p/4p/24倍内插后信号的谱3p/4p 50p/4 p/24倍内插滤波后信号的谱3p/4p0原信号的谱利用MATLAB 计算抽样率变换(3)分数倍抽样滤改变y,h = resample(x,L,M);L：内插的倍数M：抽样的倍数。例：离散信号xk是由抽样频率为10Hz,试求出抽样

13、频率为15Hz的序列yk。f=0.35;N=40;fs=10;fs1=15; k=0:N-1;t=k/fs;k1=0:N*1.5-1;t1=k1/fs1; x=cos(2*pi*f*t); xr=cos(2*pi*f*t1); y=resample(x,3,2); subplot(3,1,3);stem(k1,abs(y-xr);title(error);抽样率变换中的滤波器x10.50-0.5-105101520y25303540210-10102030error4050600.40.30.20.100102030405060抽取FIR滤波器的分级设计例: 试设计M=30, dp=0.002

14、, ds=0.001(60dB)的抽取FIR滤波器，fsam=12kHz。xkyk400Hz12kHz解：选Wp=3p/100，Ws=p/30直接设计： 由M = remezord(3/100 1/30,1 0,0.002 0.001)得FIR滤波器的阶数M =1827系统每秒的乘法数RM,H=(M+1)fsam/M=731200 30H(z)抽取FIR滤波器的分级设计例: 试设计M=30, dp=0.002, ds=0.001(60dB)的抽取FIR滤波器，fsam=12kHz。xkyk400Hz12kHz解：分级设计xk12kHzyk800Hz400Hzxk12kHzyk800Hz400Hz 2G(z) 15F(z) 2 15G(z15)F(z) 30H(z)|H(ejW)|xk12kHzyk800Hz400HzWp/3002pp3p/100|G(ejW)|W02pp/2p3p/2|G(ej15W)|W0p/30|F(ejW)|2pp3p/30W03p/1002pp3p/30 2 15G(z15)F(z)xk12kHzyk800Hz400HzG(z)的指标：dp,G=dp/2=0.001,ds,G= ds=0.001,Wp,G=15Wp=45p/100，Ws,G=15Ws=p/2F(z)的指标：dp,F=dp/2