（山东专用）2020届高考数学一轮复习第三章导数3.1导数的概念及运算课件.pptx

1、高考数学 (山东专用),第三章 导数3.1导数的概念及运算,1.(2018课标全国,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x,A组山东省卷、课标卷题组,五年高考,答案Df(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,解得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,故曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.,解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题: (1)首先应判断所给的点是不是切点,如果不是,那么需要设出切

2、点. (2)切点既在原函数的图象上,又在切线上,可先设出切线方程,再将切点代入两者的解析式建立方程组. (3)切点处的导数值等于切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.,2.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是() A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x3,答案A设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1,y1),(x2,y2),且x1x2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f (x1)f (x2)=-1即可.y=f(x)=sin x的导函数为f (x)=c

3、os x,则f (0)f ()=-1,故函数y=sin x具有T性质;y=f(x)=ln x的导函数为f (x)=,则f (x1)f (x2)=0,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex 的导函数为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)=0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3 x2,则f (x1)f (x2)=90,故函数y=x3不具有T性质.故选A.,3.(2019课标全国理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为.,答案y=3x,解析本题考查导数的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.

4、y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.,解题关键掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.,考点一导数的概念及几何意义,B组课标卷、其他自主命题省(区、市)卷题组,1.(2019课标全国理,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则() A.a=e,b=-1B.a=e,b=1 C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1,答案D本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养.

5、 y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1, 2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1), 将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b, b=-1,故选D.,解题关键正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.,2.(2019课标全国文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为() A.x-y-1=0B.2x-y-2-1=0 C.2x+y-2+1=0D.x+y-+1=0,答案C本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算. 由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos

6、 x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-),即2x+y+1-2=0,故选C.,小题速解由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有C符合.故选C.,3.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为.,答案x+2y-2=0,解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度. y=cos x-,y=-sin x-,y|x=0=-,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-,切线方程为y-1=-(x -0),即x+2y-2=0.,方法总结求曲线在

7、某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:求导函数;把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程.,4.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.,答案(e,1),解析本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 设A(x0,y0),由y=,得k=, 所以在点A处的切线方程为y-ln x0=(x-x0). 因为切线经过点(-e,-1), 所以-1-ln x0=(-e-x0).所以ln x0=, 令g(x)=ln

8、 x-(x0), 则g(x)=+,则g(x)0, g(x)在(0,+)上为增函数. 又g(e)=0,ln x=有唯一解x=e.x0=e.点A的坐标为(e,1).,方法总结求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤: 设切点为(x0, f(x0); 求k=f (x0); 得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0); 由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.,5.(2018课标全国,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.,答案y=2x,解析本题主要考查导数的几何意义. 因为y=,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点, 所以

9、曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.,6.(2018课标全国,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.,答案-3,解析设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得a=-3.,7.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为.,答案1,解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1

10、,a), 所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.,易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.,8.(2016课标全国,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.,答案1-ln 2,解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y=,由y=ln(x+1)得y=,k=,x1=,x2=-1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A ,B,A

11、、B在直线y=kx+b上, ,思路分析先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.,9.(2016课标全国,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.,答案y=-2x-1,解析令x0,则-x0),则f (x)=-3(x0),f (1)=-2,在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y= -2x-1.,思路分析根据函数f(x)是偶函数,求出x0时函数f(x)的解析式,根据导数的几何意义,用点斜式求出切线方程.,评析本题主要考查函数的奇偶性及

12、导数的几何意义,求出x0时f(x)的解析式是解题关键.,10.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P 的坐标为.,答案(1,1),解析函数y=ex的导函数为y=ex, 曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1. 设P(x0,y0)(x00), 函数y=的导函数为y=-, 曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-, 由题意知k1k2=-1,即1=-1, 解得=1,又x00, x0=1. 又点P在曲线y=(x0)上, y0=1,故点P的坐标为(1,1).,11.(2019北京理,19,13分)已知函数f(x)=x

13、3-x2+x. (1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程; (2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x; (3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.,解析本题考查函数图象的切线,函数的极值、最值,考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及运用函数的基本性质分析、解决问题的能力. (1)由f(x)=x3-x2+x得f (x)=x2-2x+1. 令f (x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=. 又f(0)=0, f=, 所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-.

14、 (2)令g(x)=f(x)-x,x-2,4. 由g(x)=x3-x2得g(x)=x2-2x. 令g(x)=0,得x=0或x=. g(x),g(x)的情况如下:,所以g(x)的最小值为-6,最大值为0. 故-6g(x)0,即x-6f(x)x. (3)由(2)知, 当a3; 当a-3时,M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3; 当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3.,1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为.,考点二导数的运算,答案e,解析本题主要考查导数的计算. f(x)=exln

15、x,f (x)=ex, f (1)=e1(ln 1+1)=e.,2.(2017浙江,20,15分)已知函数f(x)=(x-)e-x. (1)求f(x)的导函数; (2)求f(x)在区间上的取值范围.,解析本题主要考查函数的最大(小)值,导数的运算及其应用,同时考查分析问题和解决问题的能力. (1)因为(x-)=1-,(e-x)=-e-x, 所以f (x)=e-x-(x-)e-x =. (2)由f (x)=0,解得x=1或x=.,又f(x)=(-1)2e-x0, 所以f(x)在区间上的取值范围是.,3.本题最易忽略f(x)0这个条件,从而得出: f(x)在上的值域为的错误结论. 因此,在求函数f

16、(x)在区间(a,+)或(-,a)上的值域时,一定要观察f(x)图象的趋势,或先判断f(x)何时为正,何时为负(通常是求出函数f(x)的零点).,3.(2016北京,18,13分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.,解析(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f (x)=(1-x)ea-x+b. 依题设,知即 解得a=2,b=e. (2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex. 由f (x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知, f (x)与1-x+ex-1同号.

17、 令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1. 所以,当x(-,1)时,g(x)0,所以g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值, 从而g(x)0,x(-,+). 综上可知, f (x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).,1.(2017北京文,20,13分)已知函数f(x)=excos x-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.,C组教师专用题组,解析本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为f(x)=exc

18、os x-x,所以f (x)=ex(cos x-sin x)-1, f (0)=0. 又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y=1. (2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1, 则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x. 当x时,h(x)0, 所以h(x)在区间上单调递减. 所以对任意x有h(x)h(0)=0,即f (x)0. 所以函数f(x)在区间上单调递减. 因此f(x)在区间上的最大值为f(0)=1,最小值为f=-.,解题思路(1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,最后利用点斜式求出切

19、线方程.(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,对h(x)求导,进而确定h(x)的单调性,最后求出最值.,方法总结1.求切线方程问题:(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率;(2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.,2.利用导数研究函数的单调性:(1)求出函数f(x)的定义域;(2)求出函数f(x)的导函数f (x);(3)令 f (x)0得到f(x)在定义域内的单调递增区间,令f (x)0得到f(x)在定义域内的单调递减区间.,2.(2015安徽,18,12分)设nN*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标. (1)求

20、数列xn的通项公式; (2)记Tn=,证明:Tn.,解析(1)y=(x2n+2+1)=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2. 从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-=. (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知 Tn=. 当n=1时,T1=. 当n2时,因为= =, 所以Tn=. 综上可得对任意的nN*,均有Tn.,考点一导数的概念及几何意义,三年模拟,A组 20172019年高考模拟考点基础题组,1.(2018福建闽侯第六中学月考,8)设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导

21、数为f (x),且f (x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为() A.6x+y-12=0B.9x+y-16=0 C.6x-y-12=0D.9x-y-16=0,答案Df (x)=3x2+2ax+a-3, 因为f (x)为偶函数, 所以a=0,所以f(x)=x3-3x, 且f (x)=3x2-3, 因此f(2)=2且曲线在点(2, f(2)处切线的斜率k=f (2)=9, 故切线方程为y-2=9(x-2), 整理得9x-y-16=0.故选D.,2.(2019河北唐山期末,10)已知函数f(x)=ex+ax-1的图象与x轴相切,则a=() A.-1B.0C.D.1,答案

22、A设切点坐标为(m,0),f (x)=ex+a,f (m)=em+a=0,即a=-em, 又f(m)=em+am-1=0,em-emm-1=0,即em=,得m=0,a=-em=-1. 故选A.,3.(2019山东淄博实验中学、淄博五中一诊,3)若函数f(x)=ln x+2x2-ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是() A.(-,-6B.(-,-62,+) C.2,+)D.(-,-6)(2,+),答案C函数f(x)=ln x+2x2-ax存在与直线2x-y=0平行的切线, 即f (x)=2在(0,+)上有解, 而f (x)=+4x-a, 即+4x-a=2在(0,+)上

23、有解,即-a=2-, 即a=4x+-2, 因为x0,所以4x+4,当且仅当x=时等号成立,即有a2, 所以a的取值范围是2,+).,4.(2019山东济宁一模,13)曲线f(x)=xex+2在点(0, f(0)处的切线方程为.,答案y=x+2,解析由f (x)=(x+1)ex, 可得曲线在点(0, f(0)处的切线斜率为1,因为f(0)=2, 所以切点坐标为(0,2),所以曲线f(x)=xex+2在点(0,f(0)处的切线方程为y=x+2.,5.(2018山东潍坊青州三模,14)已知曲线y=acos x+sin x在处的切线方程为x-y+1-=0,则 实数a=.,答案-1,解析因为y=acos

24、 x+sin x, 所以y=-asin x+cos x, 所以曲线在处的切线的斜率为-a, 由切线方程为x-y+1-=0, 可得-a=1,即a=-1.,考点二导数的运算,1.(2018甘肃武威十八中月考,5)若f(x)=xcos x,则函数f(x)的导函数f (x)等于() A.1-sin xB.x-sin x C.sin x+xcos xD.cos x-xsin x,答案Df (x)=cos x+x(-sin x)=cos x-xsin x,故选D.,2.(2018河北唐山月考,6)已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x)=2xf (1)+ln x,则f (1)等于 () A.-

25、eB.-1C.1D.e,答案B由f(x)=2xf (1)+ln x,得f (x)=2f (1)+, f (1)=2f (1)+1,f (1)=-1.,3.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为() A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2 C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=ex+x,答案CA选项中, f (x)=-3sin x,其图象不关于y轴对称,排除A选项;B选项中, f (x)=3x2+2x,其图象的对称轴为x=-,排除B选项;C选项中, f (x)=2cos 2x,其图象关于y轴对称;D选项中, f (x)=

26、ex+1,其图象不关于y轴对称.故选C.,4.(2019山东寿光现代中学月考,9)设函数f(x)=x3+x2+4x-1,其中,则f (-1)的 取值范围是() A.3,6B.3,4+ C.4-,6D.4-,4+,答案Af (x)=x2sin +xcos +4, f (-1)=sin -cos +4=2+4=2sin+4. 又0,-, -sin1, 32sin+46,f (-1)3,6.故选A.,1.(2018湖南邵阳三模,4)已知函数f(x)=f (-2)ex-x2,则f (-2)=() A.B. C.D.,B组20172019年高考模拟专题综合题组 时间:40分钟分值:60分 一、选择题(每

27、小题5分,共30分),答案Df (x)=f (-2)ex-2x, f (-2)=f (-2)e-2-2(-2), 解得f (-2)=.故选D.,2.(2018广东深圳二模,7)设函数f(x)=x+b,若曲线y=f(x)在点(a, f(a)处的切线经过坐标原点, 则ab=() A.1B.0C.-1D.-2,答案D由题意可得, f(a)=a+b, f (x)=1-,所以f (a)=1-,故切线方程是y-a-b= (x-a),将(0,0)代入得-a-b=(-a),故b=-,故ab=-2,故选D.,3.(2019山东省实验中学二诊,10)曲线y=x2-ln x上的点到直线x-y-2=0的最短距离是()

28、 A.2B.2C.D.,答案Cy=2x-=1,x=1,y=1, 因此到直线x-y-2=0的最短距离是=,故选C.,4.(2019山东烟台期末,12)设曲线f(x)=2ax+sin x上任意一点处的切线为l,若在曲线g(x)=ln x(x 1)上总存在一点,使得曲线g(x)在该点处的切线平行于l,则实数a的取值范围为() A.B. C.D.,答案Df (x)=2a+cos x, 由cos x-1,1,可得2a+cos x. g(x)=, 设切点坐标为(m,ln m),可得曲线g(x)在点(m,ln m)处的切线的斜率为(0,1, 由题意可得(0,1, 即有2a-0,且2a+1, 解得a,故选D.

29、,5.(2018山东日照5月联考,11)已知f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是曲线f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为() A.y=x或y=x-1B.y=-ex或y=-x-1 C.y=ex或y=x+1D.y=x或y=-x+1,答案C设切点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), f (x)=ex,g(x)=, =,=, 整理得(ln x2+1)(x2-1)=0,解得x2=或x2=1, 直线l的方程为y=ex或y=x+1,故选C.,6.(2018广东阳春第一中学月考,9)丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别是在函

30、数的凹凸性与不等式方向留下了很多宝贵的成果,设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f (x), f (x)在(a,b)上的导函数为f (x),若在(a,b)上, f (x)0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,已知f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸函数”,则实数t的取值范围是() A.3,+)B.(3,+) C.D.,答案C由f(x)=-x3+x2可得 f (x)=x3-tx2+3x, f (x)=3x2-2tx+3. 因为f(x)=-x3+x2在(1,4)上为“凸函数”,所以在x(1,4)时,3x2-2tx+3 恒成立. 令g(x)=. 因为g(x)在(1,4)上递增

31、,所以tg(4)=, 所以实数t的取值范围是,故选C.,二、填空题(每小题5分,共15分),7.(2018甘肃天水月考,15)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为.,答案4,解析曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,g(1)=2. 函数f(x)=g(x)+x2, f (x)=g(x)+2x, f (1)=g(1)+2=2+2=4, 曲线y=f(x)在点(1, f(1)处切线的斜率为4.,8.(2018山东淄博月考,16)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.,答案,解析由题意得y=2ax-, 曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴, y|x=1=2a-1=0,解得a=.,9.(2018河南六市一模,14)已知曲线f(x)=x+b