名校名师高考总复习各章考点分析押题第十一章极限、导数与积分

1、最新教学推荐十年高考分类解析与应试策略数学第十一章极限、导数与积分考点阐释本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础 .它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用 .重点掌握：1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.2.了解函数在一点处的连续性的定义， 从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值 .3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值.4.掌握微积分的基本公式， 理解定积分的几何意义 .掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法 .试题类编一、填空题1.（ 2002天津理， 15）直线 x=0，y=0， x=2 与

2、曲线 y=（2 ） x 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_.2.（ 1998上海， 3）若 limx2ax3.x332 ，则 a=x13.（ 1996上海理， 16） lim (441) =.x2 x2x2二、解答题4.（ 2002 天津文， 21）已知 a0，函数 f（x）3=x a， x 0， +） .设 x1 0，记曲线 y=f（ x）在点 M（x1， f（ x1）处的切线为 l. （）求 l 的方程；（）设 l 与 x 轴交点为（ x2， 0）.证明：1（ i） x2 a 3 ；1 1（ ii ）若 x1 a 3 ，则 a 3 x2 x1.5.（ 2002 天津理，

3、20）已知 a0，函数 f（ x）=1ax ，x（ 0，+） .设 0x1 2 ，xa记曲线 y=f（ x）在点 M（ x1， f（ x1）处的切线为l.（）求 l 的方程；（）设 l 与 x 轴交点为（ x2， 0），证明：1（ i） 0 x2；a1最新教学推荐（ ii ）若 x1 1 ，则 x1 x2 1 .aa6.（ 2001 天津理， 21）某电厂冷却塔外形是如图11 1 所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴 )旋转所成的曲面 ,其中 A、 A是双曲线的顶点，C、 C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AA =14 m， CC =18 m ，BB =22

4、m，塔高 20 m.（ 1）建立坐标系并写出该双曲线方程.图 11 1（ 2）求冷却塔的容积 （精确到10 m3，塔壁厚度不计， 取 3.14）7.（ 1995 上海文， 22）设 y=f（x）是二次函数,方程 f（ x） =0 有两个相等的实根，且f（ x） =2x+2.（ 1）求 y=f（ x）的表达式；（ 2）求 y=f（ x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.8.（ 1995 上海理， 22）设 y=f（x）是二次函数，方程f（ x） =0 有两个相等的实根，且f（ x） =2x+2.（ 1）求 y=f（ x）的表达式；（ 2）若直线 x= t（ 0t 1）把 y=f（ x）的图象与两

5、坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t 的值 .说明：凡标有 的试题与 2002 年教学大纲及 2003 年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用 .答案解析31.答案：ln 222 ) x 2 dx2解析：由旋转体的体积公式V=(2x )dx0022203.()ln 2ln 2ln 22.答案： 41a3解析：依题意有：1=2， a=433.答案：14解析：原式 = lim (4x22xlim (114 x2)lim4).x 2 x24x 2 x2x 2x 2424.（）解：求f（ x）的导数： f （ x） =3x ，由此得切线l 的方程：（）证明：依题意，切线方程中令y=0，2最新教学推荐

6、x13a2x13ax2=x13x123x12，11 21111（ i） x2a 332(x1 a 3 )2 (2x1a 3 ) 0，(2x1 a3x1 a 3 )23x13x11 x a 3，21当且仅当 x1=a 3 时等号成立 .131（ ii ）若 x1 a 3 ，则 x13 a0， x2 x1= x1a 0，且由（ i） x2 a 3 ，3x121所以 a 3 x2 x1 .5.（）解：求f（ x）的导数： f （ x） =1，由此得切线l 的方程：x2y（ 1 ax1 ）= 1 （ x x1） .x1x12（）证明：依题意，切线方程中令y=0，x2=x1（1 ax1） +x1=x1（

7、 2 ax1），其中 0 x1 2.a（ i）由 0x1 2 ，x2 =x1（ 2ax1 ），有 x2 0，及 x2= a（ x1 1 ） 2+ 1 .aaa 0 x2 1 ，当且仅当x1= 1 时， x2= 1 .aaa（ ii ）当 x1 1a时， ax1 1，因此， x2=x1（ 2 ax1） x1，且由（ i ），x2 1 ，a1所以 x1 x2.a6.（ 1）如图 112 建立直角坐标系， xOy，使 AA在 x 轴上，AA的中点为坐标原点O， CC与 BB 平行于 x 轴 .设双曲线方程为x2y 21a2b 2 =1（ a 0， b 0），则 a=2AA =7.又设 B（ 11，

8、y1）， C（ 9， y2），因为点B、 C 在双曲线上，所以有图 1123最新教学推荐1122y1172b 292y2 2172b2由题意，知 y2 y1=20. 由、，得y1= 12， y2=8. b=72.故双曲线方程为x2y 249=1；98（ 2）由双曲线方程，得x2=1y2+49.2设冷却塔的容积为V（ m3），则82812138V12 xdy12( 2 y49)dy(6y49y) | 12 .经计算，得 V=4.25 103 （m3）.答：冷却塔的容积为4.25 103 m3.评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际

9、问题的能力.7.解：（ 1）设 f（ x） =ax2 +bx+c，则 f（ x） =2 ax+b，又已知f（ x） =2x+2 a=1 ，b=2. f（ x） =x2+2 x+c又方程 f （x）=0 有两个相等实根，判别式=4 4c=0，即 c=1.故 f（ x） =x2+2x+1.（ 2）依题意，有所求面积=01 ( x22x1)dx(1x3x2x) |011.33评述：本题考查导数和积分的基本概念.8.解：（ 1）与 7（ 1）相同 .（ 2）依题意，有1t ( x22x1)dx0t (x22x 1)dx ， (1 x3x2x) | 1t(1 x3x2x) |0t ，33 1 t3+t2t+ 1 = 1 t3 t2+t ， 2t 3 6t2+6 t1=0 ，333 2（ t 1）3= 1，于是 t=1 1.3