2020届高三数学立体几何专项训练(文科)

1、2020届高三数学立体几何专题(文科)吴丽康 2019-111.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的点.（）证明：PB / 平面AEC；（）设AP=1，AD=，三棱锥P-ABD的体积V=，求A点到平面PBD的距离.2.如图，四棱锥PABCD中，ABCD，AB2CD，E为PB的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由3如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，PAAD2，四边形ABCD满足BCAD，ABAD，ABBC1.点E，F分别为侧棱PB

2、，PC上的点，且(0)(1)求证：EF平面PAD； (2)当时，求点D到平面AFB的距离4.如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)证明：平面A1BD平面CD1B1；(2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，证明：B1D1l.5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：APGH.6.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.7.(2018北京通州三模,18)如图,在四棱

3、锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PAB为等边三角形,E是PB中点,平面AED与棱PC交于点F.(1)求证:ADEF; (2)求证:PB平面AEFD;(3)记四棱锥P-AEFD的体积为V1,四棱锥P-ABCD的体积为V2,直接写出V1V2的值.8.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点(1)求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论9.(2016高考北京卷)如图，在四棱锥

4、PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC； (3)设点E为AB的中点在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.11.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABBC，ADCD1，ADC120，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PNPB.(1)证明：MN平面PDC；(2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值12.(

5、2016高考四川卷)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD13(2016高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.14.【2014,19】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.15.(2017天津,文17)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD平面PDC,AD

6、 BC, PDPB, AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.16.(2016高考浙江卷)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值17.(2018全国)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由立体几何中的翻折问题18.如图(1)，在

7、直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图(2)中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值19.如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积20如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，

8、BC10，AA18.点E，F分别在A1B1，D1C1上，过点E、F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.(1)求证：A1ED1F；(2)判断A1D与平面的关系2020届高三数学立体几何专题(文科)1解析：（）设AC的中点为O， 连接EO. 在三角形PBD中，中位线EO/PB，且EO在平面AEC上，所以PB/平面AEC. （）AP=1，作AHPB角PB于H，由题意可知BC平面PAB，BCAH，故AH平面PBC又，故A点到平面PBC的距离.2.(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，因为E为PB的中点， 所以EHAB，EHAB，又ABCD，CDAB 所以EHCD，EH

9、CD，因此四边形DCEH是平行四边形， 所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD， 所以CE平面PAD(2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF， 所以AFAB， 又CDAB，所以AFCD，又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形，所以CFAD，又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面PAD， 又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中点F满足要求3.(1)证明(0)，EFBC.BCAD，EFAD.又EF平面PAD，AD平面PAD，EF平面PAD.(2)解，F是PC的中点，在RtPAC中，PA2，AC，PC，PFPC.平面PAC平面ABCD，且平面PAC

10、平面ABCDAC，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABCD，PABC.又ABAD，BCAD，BCAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB， BCPB，在RtPBC中，BFPC.连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，在等腰三角形BAF中，BFAF，AB1，SABF，又SABD1，点F到平面ABD的距离为1，由VFABDVDAFB，得11d，解得d，即点D到平面AFB的距离为.4.证明(1)由题设知BB1DD1且BB1DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以BD平面CD1B1.因为A1D1B1C1B

11、C且A1D1B1C1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1， 所以A1B平面CD1B1.又因为BDA1BB，BD，A1B平面A1BD， 所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面B1D1C直线l，平面ABCD平面A1BD直线BD，所以直线l直线BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1BD，所以B1D1l.5.连接AC交BD于点O，连接MO，因为PMMC，AOOC，所以PAMO，因为PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA平面MBD因

12、为平面PAHG平面MBDGH，所以APGH.6.证明 (1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD， CD平面ABCD，所以PACD，因为ACCD，且PAACA，所以CD平面PAC，而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD而PD平面PCD，所以AEPD因为PA底面ABCD，所以PAAB又因为ABAD且PAADA，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD又因为ABAEA，所以PD平面ABE.7.(1)证明 因为ABCD为正方形,所以ADBC. 因为AD平面P

13、BC,BC平面PBC,所以AD平面PBC.因为AD平面AEFD,平面AEFD平面PBC=EF, 所以ADEF.(2)证明 因为四边形ABCD是正方形,所以ADAB.因为平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,AD平面ABCD,所以AD平面PAB.因为PB平面PAB,所以ADPB.因为PAB为等边三角形,E是PB中点,所以PBAE.因为AE平面AEFD,AD平面AEFD,AEAD=A,所以PB平面AEFD.(3)解 由(1)知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC=23VC-AEFD=23V1,VBC-AEFD=53V1,则VP-ABCD=V1+53V1=83V1, V

14、1V2=38.8.解 (1)证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD(2)证明：如图，连接PG.因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD由(1)知，BGAD，又PG BGG，所以AD平面PGB因为PB平面PGB，所以ADPB(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD证明如下：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，PB平面PGB，GB平面PGB，PBGBB，所以平面DEF平面PGB因为B

15、G平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD9.【解】(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC.又因为DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)证明：因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB又因为PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.理由如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平

16、面CEF，所以PA平面CEF.10.证明(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.11.(1)证明因为ABBC，ADCD， 所以BD垂直平分线段AC.又ADC120，所以MDAD，AM. 所以AC.又ABBC，所以A

17、BC是等边三角形，所以BM，所以3，又因为PNPB，所以3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角，故DPM即为所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPM， 所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为.12.【解】(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM，所以四边形AMCB是平

18、行四边形，从而CMAB又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交所以PA平面ABCD，从而PABD连接BM，因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD所以四边形BCDM是平行四边形所以BMCDAD，所以BDAB又ABAPA，所以BD平面PAB又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD13.证明 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平

19、面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F14.证明：()连接 BC1，则O为B1C与BC1的交点，AO平面BB1C1C. AOB1

20、C， 2分 因为侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，4分BC1平面ABC1，AB平面ABC1，故B1CAB. 6分()作ODBC，垂足为D，连结AD，AOBC，BC平面AOD，又BC平面ABC，平面ABC平面AOD，交线为AD，作OHAD，垂足为H，OH平面ABC. 9分CBB1=60，所以CBB1为等边三角形，又BC=1，可得OD=，由于ACAB1，由 OHAD=ODOA，可得OH=，又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC 的距离为，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 12分另解(等体积法)：CBB1=60，所以CBB1为等边三角形，又BC=1，可得BO=，由于ACAB1，AB=

21、1，AC=，9分则等腰三角形ABC的面积为，设点B1到平面ABC的距离为d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高为。 12分15.(1)解 如图,由已知ADBC,故DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC, 所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP=AD2+PD2=5,故cosDAP=ADAP=55.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明 因为AD平面PDC,直线PD平面PDC, 所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC.又PDPB,所以PD平面PBC.(3)解 过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则D

22、F与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF=CD2+CF2=25, 在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5516.【解】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角在RtBFD中，BF，DF，得cosBDF，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.17.(1)证明由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，