模糊控制系统课件2.1

1、第2章 模糊逻辑与模糊推理,美国加州大学控制专家L.A.Zadeh教授于1965年创立了模糊集合理论。模糊理论是在模糊集合理论的基础上发展起来的，主要包括模糊集合理论、模糊逻辑、模糊推理和模糊控制等方面的研究。,2.1.1 模糊集合及其表示 (1)模糊集合的概念 集合：具有本质属性的全体事物的总和。 例：“山东科技大学的学生”可以作为一个集合。 用大写字母A、BX、Y、Z等表示。包含多个个体元素；一个概念的外延就是一个集合。 元素：集合中的个体，用小写字母u，v表示。 论域：集合的全体；所研究全部对象的全体。 用大写字母U、V表示。,2.1 模糊集合及其隶属函数,分类：有限集合、无限集合、连续

2、集合、离散集合 普通集合：两个元素之间只能有“属于”、“不属于”，“非此即彼”，不能模棱两可。外延、内涵均清晰，有局限性。 例：不大于100的自然数。即：0、1、2、3. 模糊集合：一群人身高“高、较高、一般高、不高”，没有一个划分标准。 例1：“青年人”是一个模糊概念，问题： “青年人”的年龄界限是什么？ 假设界限为035岁，在此界限内，是否完全属于青年人的范畴？ 设3个人分别为26、35、55岁，属于青年人的程度一样？ 例2：学生的百分制成绩“优”，设2个学生成绩为91，98，认为98分分属于“优”这个集合的程度比91分要高。 注：模糊集合用大写英文字母下加波浪线表示，如 、 。以后为简化

3、，省略下划线，A、B。 L.A.Zadeh提出模糊集合理论。,2.1.1 模糊集合及其表示,隶属度 定义：论域U中的模糊子集A，是以隶属函数表征的集合，即由映射 （模糊子集A的隶属函数） ：U0，1 ；在0,1闭区间内可连续取值 （u对A的隶属度） u (u) ；表示论域中的元素u属于模糊子集A 的程度 将普通集合中的特征函数的取值0，1，拓展到闭区间的0，1，即可用01之间的一个数来表达。 (u)=1，表示u完全属于A； (u)=0，u完全不属于A； 0 (u)1，表示u隶属于A的程度。,2.1.1 模糊集合及其表示,例1：年龄论域U=0，100，Zadeh给出了模糊集合“青年人”的隶属函数

4、 u代表年龄， u=26时， u=35时， u=55时， 说明：随着u的增大，隶属于青年人的程度越来越低。,2.1.1 模糊集合及其表示,上述定义表明： 论域U中的元素是分明的，即U本身是普通集合，只是U的子集是模糊集合，故称A为U的模糊子集，简称模糊集。 隶属函数A(u)是用来说明u隶属于A的程度的，A(u)的值越接近于1，表示u隶属于A的程度越高；当A(u)的值域变为0,1时，隶属函数A(u)蜕化为普通集合的特征函数，模糊集合也就蜕化为普通集合。,2.1.1 模糊集合及其表示,模糊集合完全由其隶属函数来刻画。隶属函数是模糊数学的最基本概念，借助于它才能对模糊集合进行量化。,图2.1 普通集

5、合对温度的定义,图2.2 模糊集合对温度的定义,2.1.1 模糊集合及其表示,(2)模糊集合的表示方法 1)Zadeh表示方法（列举表示法） 当U为离散有限论域U=u1，u2，un时，模糊集合A表示为： 当U为连续无限论域时，模糊集合A表示为：,2.1.1 模糊集合及其表示,2)向量表示法 当模糊集合A的论域由有限个元素构成时，模糊集合A表示成向量形式： 注意：应用向量表示时，隶属度等于零的项不能舍弃，必须依次列入。 例2：设备运行速度论域U=200，400，600，800，1000，1200，1400， 单位：r/min。“速度高”是一个模糊概念，表示一个模糊集合。 Zadeh表示法： 速度

6、高= 向量表示法： 速度高=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0,2.1.1 模糊集合及其表示,3)序偶表示法 序偶：许多事物中，成对地出现，而且具有一定的顺序，例如：师，生；中央，地方；父，子；x,y等。通常把这样两个具有固定次序的客体构成一个序偶，表达了两个客体间的关系，表示为，和等 序偶可以作为具有两个元素的集合，但元素的顺序是不允许改变的，即而在一般集合中a,b=b,a,因此，它与通常的集合不同，序偶可以是二元组的，也可以是三元组的，四元组的n元组的 若将论域U中的元素ui与其对应的隶属度A(ui)组成序偶(ui，A(ui)，A可表示为：,上例：速度高=（200，0），（

7、400，0.2），（600，0.4），（800，0.6）， （1000，0.8），（1200，1.0），（1400，1.0）,2.1.1 模糊集合及其表示,4)隶属函数法 用隶属函数的解析表达式表示出相应的模糊集合。 例：年龄论域U=0，100，Zadeh给出了模糊集合“老年人”的隶属函数：,2.1.1 模糊集合及其表示,对于任一uU，若A=0，则称A为空集 ； 若A=1，则称A=U为全集 ，通常全集记为E。 定义 设A、B是论域U上的两个模糊集合，即A，BF(U)， 若对任一uU，都有B(u) A(u)，则称B包含于A，或称A包含B，记作B A； 若对任一uU，都有B(u)=A(u)，则称B

8、等于A，记作B=A。,幂集：若给定集合A，则以A的全体子集为元素构成的集合被称为集合A的幂集，记为F(A)。 其中论域U可以看作为一个空集，因此F(U)也就是U的幂集 例：集合A2，4，6幂集F(A)可以写成： F(A)，2,4,6,2,4,2,6,4,6,2,4,6 如果有限集合A有n个元素，则其幂集F(A)有2n个元素上例元素个数为238 定义 论域U中模糊子集的全体，称为U中的模糊幂集，记作F(U)，即,2.1.2 模糊集合的基本运算及其法则,设A、B是论域U上的两个模糊集合，隶属函数分别为A和B，常用的运算有： 1)“并”运算AB 2)“交”运算AB 3)“补”运算A,其中：“ ”，“

9、 ”称为Zadeh算子，为模糊逻辑中的运算符号，在无限集合中，表示sup和inf，在有限元素之间，则表示max和min，即取最大值和最小值。,2.1.2 模糊集合的基本运算及其法则,例1：设论域U=x1,x2,x3,x4,x5中的模糊子集为 A=0.1/x1+0.8/x2+0.2/x3+0.5/x4+0.3/x5 B=0.3/x1+0.4/x2+0.2/x3+0.7/x4+0.1/x5 试求 ， ， ， 。,2.1.2 模糊集合的基本运算及其法则,普通集合 只能表达“非此即彼”的概念。 特征函数只能取0和1两个值，即特征函数与0，1两个值对应。 模糊集合 反映了人的认识的主观性，表达“亦此亦彼

10、”的现象。 特征函数在0，1区间连续取值。,2.1.3 模糊集合与普通集合的关系,(1)确定隶属函数的原则 在实际工作中，隶属函数选择的好坏的标准只能看是否符合客观实际。在选择隶属函数时带有很大的主观性，但仍有一些基本的原则。 例：速度高= 这显然不符合逻辑。 每个人对同一模糊概念的认识和理解存在差异，因此确定隶属函数又含有一定的主观因素。但主观的反映和客观的存在是有一定联系的，是受到客观制约的。,2.1.4 模糊集合的隶属函数,隶属函数的确定应遵守一些基本原则。 1)表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 凸模糊集：设实数论域中模糊子集A，在任意区间x1,x2上，对于所有的实数 都满足 ，则

11、称A为凸模糊集，否则为非凸模糊集。,2.1.4 模糊集合的隶属函数,某专家根据他本身的经验对“舒适”温度的隶属函数定义如下：,图2.3 隶属函数向最大值两边延伸的差别 图2.4 非凸模糊集合隶属函数,2.1.4 模糊集合的隶属函数,2)变量所取隶属函数通常是对称和平衡的，且一般取奇数39个。 规则太多，计算时间增加，设计困难加大。 规则太少，响应灵敏下降。 3)隶属函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠 模糊控制系统隶属函数的选择通常应遵循： 论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域； 对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度； 当

12、两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于等于1。,2.1.4 模糊集合的隶属函数,图2.5 交叉越界的隶属度函数示意图 图2.6 重叠指数定义,2.1.4 模糊集合的隶属函数,(2)确定隶属函数的方法 1)模糊统计法 以调查统计所得结果，绘制出经验曲线作为隶属函数，利用数学中曲线回归的方法，找出隶属函数的解析表达式。 2)专家经验法 由专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权息数来确定隶属函数的方法。 3)二元排序法 实用的方法。通过对多个事物之间两两队比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。 4)典型函数法 如三角函数、梯形函数 。,2.1.4 模糊集合的隶属函数,图2.7 基本隶属函数图形 (a)Z函数；(b)函数；(c)S函数,(3)常用隶属函数的图形 基本的隶属函数图形可分成三类：左大右小的偏小型下降函数(称做Z函数)、对称型凸函数(称作函数)和右大左小的偏大形上升函数(称做S函数) 。,图2.8 直线型隶属函数 (a)三角形函数；(b)梯