三角形内外角平分线性质定理.ppt

1、三角形内角与外角平分线性质定理,本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理” 的题目直接围绕定理展开，难度不大.,教材分析,平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例,定理的基本图形：,如图，因为ADBECF， 所以AB：BC=DE：EF; AB：AC=DE：DF； BC：AC=EF：DF 也可以说AB：DE=

2、BC：EF； AB：DE=AC：DF； BC：EF=AC：DF,推论的基本图形:,平行线分线段成比例定理推论:,平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线），所得的对应线段成比例,例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.(文字语言),已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于 点D、E.求证： (符号语言),(图形语言),分析：由平行线分线段 成比例定理的推论可直 接得到AD:AB=AE:AC.,为了证明AE:AC=DE:BC， 需要构造一组平行线，使 AE、AC、DE、BC成为 由这组平行线截得的线段. 故作EF/AB.,

3、证明：过点E作EF/AB,交BC于点F, DE/BC, AD:AB=AE:AC. EF/AB, BF:BC=AE:AC. 且四边形DEFB为平行四边形. DE=BF. DE:BC=AE:AC.,已知:如图,DE/BC分别交AB、AC于点D、E.求证：,(图形语言),法2：为了证明 ，需用平行线分线段成比例定理.故作CG/AB,且与DE的延长线交于点G.,证明:过点C作CG/AB,且与DE的延长线交于点G. DE/BC, AD:AB=AE:AC CG/AB, DE:DG=AE:AC 四边形DEFB为平行四边形， DG=BC.,例1：,证明：,（平行于三角形一边的直线截其他两边， 所得的对应线段成

4、比例）,同理可得 :,例2：,证明：,（平行于三角形的一边，并且和其他两边 相交的直线所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。）,例3,证明：,三角形内角平分线定理：,A,B,C,D,三角形外角平分线定理：,A,B,C,D,E,三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 已知：如图8-4甲所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC; 思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。 证明1：过C作CEDA与BA的延长线交于E。 则： BA/AE=BD/DC; BAD=AEC；（两线平行，同位角相等） CAD=

5、ACE；（两线平行，内错角相等） BAD=CAD；（已知） AEC=ACE；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。,思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-4乙所示，AD是ABC的内角BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 证明2：过D作DEAB于E，DFAC于F； BAD=CAD；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/SDAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/SABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC,结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰

6、三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？,三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。,三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例.,已知：如图8-5甲所示，AD是ABC中BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。 证明1：过C作CEDA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC DAF=CEA；（两线平行，同位角相等） DAC=ECA；（两线平

7、行，内错角相等） DAF=DAC；（已知） CEA=ECA；（等量代换） AE=AC； BA/AC=BD/DC 。 结论1：该证法具有普遍的意义。 角度看问题的方法了吗？,思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-5乙所示，AD是ABC内角BAC的外角CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC. 证明2：过D作DEAC于E，DFBA的延长线于F； DAC=DAF；（已知） DE=DF； BA/AC=SBAD/DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=SBAD/DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） BA/AC=BD/DC,结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看BAD和DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。你学会这种变换,内角平分线性质定理证明,