中考必做的36道数学压轴题

1、中考必做的 36 道数学压轴题-作者 : _-日期 : _中考必做的36 道数学压轴题第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例 1(2013 北京， 23,7 分 )在平面直角坐标系 x o y 中，抛物线ymx22mx2 （ m0 ）与 y 轴交于点 a，其对称轴与 x 轴交于点 b（ 1）求点 a， b 的坐标；（ 2）设直线 l 与直线 ab 关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l 的解析式；（ 3）若该抛物线在2x1 这一段位于直线 l 的上方，并且在 2x3 这一段位于直线 ab 的下方，求该抛物线的解析式解：（ 1）当 x 0 时， y 2 . a（ 0， 2）2m抛物线对称轴

2、为 x1，2m b（ 1， 0）（ 2）易得 a 点关于对称轴的对称点为 a（ 2， 2）则直线 l 经过 a 、b .没直线的解析式为 y kxb2kb2,解得 k2,则 k b0.b2. 直线的解析式为 y 2x 2（ 3）抛物线对称轴为 x 1抛物体在 2 x3 一段与在 1x 0 一段关于 称 称， 合 象可以 察到抛物 在 2x 1 一段位于直 l 的上方，在 1 x0 一段位于直 l的下方 抛物 与直 l 的交点横坐 1 ；当 x 1 ， y 2x( 1) 2 4 抛物 点（ 1， 4）当 x 1 ， m 2m 2 4 ，m2 抛物 解析 y2x4x 2 .连接 （2013 江 南

3、京， 26，9 分）已知二次函数 ya（ x m）2 a（ x m）（ a、 m 常数，且 a0）.（ 1）求 ：不 a 与 m 何 ， 函数的 象与 x 有两个公共点；（ 2） 函数的 象的 点 c.与 x 交于 a、b 两点，与 y 交于点 d. 当abc 的面 等于 1 ，求 a 的 ； 当abc 的面 与 abd 的面 相等 ，求m 的 .【答案】 （1） 明： y a（ xm） 2a（xm） ax2（ 2am a） x am2am.因 当 a0 ，（ 2ama） 24a（ am2am） a2 0.所以，方程 ax2（ 2ama）xam2am0 有两个不相等的 数根 .所以，不 a 与

4、 m 何 ， 函数的 象与x 有两个公共点 . 3分（ 2）解： ya（x m） 2a（xm） a（ x 2m1 ）2 a ，所以，点 c 的坐 （ 2m1 ， a ） .2424当 y0 ， a（x m） 2a（xm） 0.解得 x1m，x2 m 1.所以 ab 1.当 abc 的面 等于 1 ， 1 1a 1.24所以 11（ a ） 1，或 11a 1.2424所以 a 8，或 a8. 当 x0 ， y am2 am.所以点 d 的坐 （ 0，am2am）.当 abc 的面 与 abd 的面 相等 ，1 1 a 1 1am2am2421 1（ a ）= 1 1（am2 am），或 1 1

5、a = 11（ am2am）.242242所以 m 1，或 m1 2 ，或 m 12 .9分222变式 : （2012 北京， 23，7 分）已知二次函数 y(t1)x22(t 2) x3 在 x0 和2x 2 的函数 相等。（ 1） 求二次函数的解析式；（ 2） 若一次函数 ykx6 的 象与二次函数的 象都 点a( 3，m) ，求 m和 k 的 ；（ 3） 二次函数的 象与 x 交于点 b ，c （点 b 在点 c 的左 ），将二次函数的 象在点 b ，c 的部分（含点 b 和点 c ）向左平移 n( n 0) 个 位后得到的 象 g ，同 将（ 2）中得到的直 y kx 6 向上平移 n

6、 个 位。 合 象回答：当平移后的直 与 象g 有公共点 ， n 的取 范 。【答案】 （1） 方法一： 二次函数 y(t1)x22(t2) x3 在 x 0 和2x2 的函数 相等 34(t1)4(t2)3.23 .2 t21 x23 个二次函数的解析式是 yx2 2 方法二：由 意可知：二次函数 象的 称 x 1则2(t2)2(t11) t3 .21 x23 这个二次函数的解析式是 yx2 2 .（ 2） 二次函数的图象过 a( 3,m) 点. m1 ( 3)2( 3)36 .22又 一次函数 ykx6 的图象经过点 a 3k 6 6 k 4（ 3）令 y1x2x3022解得： x11 x

7、23由题意知，点 b、 c 间的部分图象的解析式为 y1 ( x 3)( x 1) ，2（ 1 x 3 ）.则向左平移后得到图象g 的解析式为： y1 (x3 n)( x1 n) ，（ n 1 x 3n ）.2此时平移后的一次函数的解析式为y4 x6 n .1 (x若平移后的直线 y4 x6n 与平移后的抛物线 y3n)( x 1n) 相切 .12则 4x6n( x3n)( x1n) 有两个相等的实数根。21 x21 n29即一元二次方程(n3) x0 有两个相等的实数的根。 判别式 =(n24 (1)(2203)21n29)解得： n0与 n0 矛盾 .222 平移后的直线 y4 x6n 与

8、平移后的抛物线 y13n)( x 1n) 不相切 .(x2 结合图象可知，如果平移后的直线与图象g 有公共点，则两个临界交点为( n1,0) 和 (3n,0) .2则 4(n1)6n0 ，解得： n34(3n)6n0，解得： n6 2 n 63第 2 题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（ 2012 湖南湘潭， 26， 10 分） 如图，抛物线 y ax 2 3 x 2(a0) 的图象与2x 轴交于 a 、 b 两点，与 y 轴交于 c 点，已知 b 点坐标为 4,0 .（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）试探究 abc 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（ 3）若点 m 是线段

9、bc 下方的抛物线上一点，求 mbc 的面积的最大值，并求出此时 m 点的坐标 .【答案】 解：（ 1）将 b（4， 0）代入 yax23 x2( a0) 中，得： a122 抛物线的解析式为： y1 x23 x 2(a0)（ 2） 当 1 x 23 x222 0 时，解得 x14 ， x2122a 点坐标为（ 1，0），则 oa=1当 x=0 时， y1 x 23 x 2222c 点坐标为（ 0,2），则 oc=2在 rtaoc 与 rtcob 中， oaoc1ocob2 rtaocrt cob aco= cbo acb=aco+ocb= cbo+ocb=90那么 abc 为直角三角形所以

10、abc 的外接圆的圆心为 ab 中点，其坐标为（ 1.5，0）（3）连接 om.设 m 点坐标为（ x， 1x 23x 2 ）22则 s mbcsobmsocms obc= 14 (1 x23 x 2)12 x12 4222222= ( x2)4当 x=2 时， mbc 的面积有最大值为4，m 的坐标为（ 2， 3）变式（ 2011 安徽芜湖24）面直角坐标系中， ?aboc 如图放置，点a、 c 的坐标分别为（ 0，3）、（ -1，0），将此平行四边形绕点o 顺时针旋转90，得到?aboc （ 1）若抛物线过点 c，a ， a，求此抛物线的解析式；（ 2） ?aboc 和?aboc 重叠部分

11、 ocd 的周长；（ 3）点 m 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 m 在何处时 ama 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 m 的坐标第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”（例题） 23（ 2012 河南， 23，11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1 x1与抛物线 yax2bx3 交于 a、b 两点，点 a 在 x 轴上，点 b 的纵2坐标为 3点 p 是直线 ab 下方的抛物线上一动点（不与 a、b 重合），过点 p作 x 轴的垂线交直线 ab 与点 c，作 pdab 于点 d（1）求 a、 b 及 sin acp 的值；（2）设点 p 的横坐标为 m用含 m 的代

12、数式表示线段 pd 的长，并求出线段 pd 长的最大值；连接 pb，线段 pc 把 pdb 分成两个三角形，是否存在适合的 m 值，使这两个三角形的面积之比为 9:10?若存在，直接写出 m 值；若不存在，说明理由ycbdaoxp第 23 题图【答案】 （1）由 1x10 ，得 x2, a( 2,0)由 1 x213 ，得 x4, b(4,3)2 yax2bx3 经过 a, b 两点， (-2) 2a -2b-3=0 a1 , b142a+4b-3=322设直线 ab 与 y 轴交于点 e ，则 e(0,1) pc y 轴，acpaeo . sinacpsinaeooa225ae55（ 2）由

13、可知抛物线的解析式为y1x21x 3 p(m, 1 m21 m3), c (m, 1 m221)222pc1 m 1 ( 1 m21 m 3)1 m2m 42222在 rtvpcd 中， pdpcgsinacp(1 m2m 4)25255 (m1)295 .5550 当 m1时， pd 有最大值 9555 或 325存在满足条件的 m 值， m29【提示】分别过点 d、b 作 df pc，bgpc，垂足分别为 f、g在 rtvpdf 中， df1pd1(m22m 8).55又 bg 4m,svpcddf1 (m22m 8)m25bg4m5svpbcsvpcdm29时，解得 m5；当5102sv

14、pbc当 svpcdm210 时，解得 m32 svpbc599变式一 27（ 2011 江苏泰州， 27， 12 分）已知：二次函数y=x2bx3 的图像经过点 p（ 2,5）（ 1）求 b 的值，并写出当 1 x3 时 y 的取值范围；（ 2）设点 p1（m,y1）、 p2（ m+1,y2）、 p3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上当 m=4 时， y1、y2、y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、y2、 y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由【答案】解：（ 1）把点 p 代入二次函数解析式得5= （ 2）22b 3，解

15、得b=2.当 1x3 时 y 的取值范围为 4y0.（ 2） m=4 时， y1、 y2、 y3 的值分别为 5、12、 21，由于 5+1221，不能成为三角形的三边长当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1、 y2、y3 的值分别为 m22m3、m2 4、m22m3，由于， m22m3m2 4 m22m3，（ m2）2 8 0，当 m 不小于 5 时成立，即 y1 y2 y3 成立所以当 m 取不小于 5 的任意实数时， y1 、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，变式二（ 2013重庆 b 卷， 25， 10 分）如图，已知抛物线yx 2bxc 的图像与 x 轴的一个交点为 b

16、（5，0），另一个交点为a，且与 y 轴交于点 c(0， 5).（ 1）求直线 bc 与抛物线的解析式；（ 2）若点 m 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点m 作 mn/y 轴交直线bc 于点 n，求 mn 的最大值；（ 3）在（ 2）的条件下， mn 取得最大值时，若点 p 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以 bc 为边作平行四边形 cbpq，设平行四边形 cbpq 的面积为s1 ，abn 的面积为 s2 ，且 s16s2 ，求点 p 的坐标 .yco abx【答案】 解：（ 1）设直线 bc 的解析式为 ymxn ，将 b（5，0）， c（ 0，5）代入有：5mn 0m1n解

17、得：n所以直线 bc 的解析式为 yx 555再将 b（5，0）， c（0， 5）代入抛物线 yx2bx c有：255bc0解得：b6c5c所以抛物线的解析式为：5y x26x5（2）设 m 的坐标为（ x， x 26x5 ），则 n 的坐标为（ x，x 5 ），mn= ( x5)(x 26 x 5)= x2 5x当 x5 时， mn 有最大值为2254ycno abxqp1m p2（3）当 yx26x50 时，解得 x11， x25故 a（ 1,0）， b（5,0），所以 ab=4由（ 2）可知， n 的坐标为（ 5 ， 5 ）2215 s2452 2则 s1 6s2 30 ，那么 s cb

18、p 15在 y 上取点 q(-1，0)，可得 scbq15故 qp bc则直线 qp 的解析式为 yx1当 x26x 5x 1时，解得 x12 ， x23所以 p 点坐标为（ 2， 3 ），（ 3 ，4 ），第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（ 2012四川资阳， 25， 9 分）抛物线 y1 x2 x m 的顶点在直线 y x 3 上，4过点 f ( 2,2) 的直线交该抛物线于点m、 n 两点（点 m 在点 n 的左边），ma x 轴于点 a，nb x 轴于点 b（1）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含 m 的代数式表示），再求 m 的值；（2）(

19、3 分)设点 n 的横坐标为 a ，试用含 a 的代数式表示点 n 的纵坐标，并说明 nf nb；100（3）(3 分)若射线 nm 交 x 轴于点 p，且 papb，求点 m 的坐标（第 25 题图）答案：解 （ 1） y1 x2x m1 ( x 2)2( m 1)44顶点坐标为 ( 2 , m 1 )顶点在直线 yx3 上， 2+3= m 1 ，得 m =2（2） 点 n 在抛物线上，点 n 的纵坐标为 1 a2a 24即点 n( a , 1a2a 2 )4过点 f 作 fc nb 于点 c，在 rtfcn 中， fc= a +2， nc=nb-cb= 1 a2a , nf 2 nc 2f

20、c 2 ( 1 a22) 2 = ( 1 a24a) 2(aa)2(a24a)444而 nb 2 = ( 1 a2a 2) 2 (1 a2a) 2(a24a) 444 nf 2 nb2 ，nf=nb（3）连结 af、bf由 nf=nb，得 nfb=nbf，由（ 2）的结论知， mf=ma， maf= mfa,ma x 轴， nb x 轴， manb, amf+bnf=180 maf 和 nfb 的内角总和为 360,2maf+2 nbf=180， maf+nbf=90, mab+nba=180， fba+fab=90又 fab+ maf=90 fba=maf= mfa又 fpa=bpf， pf

21、a pbf， pfpb ，papfpf 2pa pb = 10098过点 f 作 fg x 轴于点 g,在 rtpfg 中， pg=pf 2fg 2=，3 po=pg+go= 14 ， 3 p( 14 , 0)3设直线 pf： ykxb ，把点 f（ 2 , 2）、点 p( 14 , 0)代入 ykx b 解3得 k = 3， b = 7， 直线 pf： y3 x74242解方程 1 x2x23 x7 ，得 x =3 或 x =2（不合题意，舍去）442当 x =3 时， y = 5 ， m（ 3 , 5 ）44变式一 25已知抛物线y=ax2 +bx+c（a0）顶点为 c（ 1， 1）且过原

22、点o过抛物线上一点 p（ x，y）向直线 y=5作垂线，垂足为 m，连 fm4（如图）（ 1）求字母 a，b， c 的值；（ 2）在直线 x=1 上有一点 f(1 ， 3 ) ，求以 pm为底边的等4腰三角形 pfm的 p 点的坐标，并证明此时 pfm为正三角形；（ 3）对抛物线上任意一点 p，是否总存在一点 n（1，t ），使 pm=pn恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由解：（ 1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）顶点为 c（1，1）且过原点 o，可得 - b =1， 4acb2 =1， c=0，2a4a a=-1， b=2，c=0（ 2）由（ 1）知抛物线的解析式为y=-

23、x 2+2x，故设 p 点的坐标为（ m，-m2 +2m），则 m点的坐标（ m， 5 ），4 pfm是以 pm为底边的等腰三角形 pf=mf，即（ m-1）2+（-m2+2m-3 ）2 =（ m-1）2+（ 3 - 5 ）2444 -m2+2m-3 = 1 或 -m2+2m-3 =- 1 ，424231当 -m2 +2m-=时，即 -4m2 +8m-5=0 =64-80=-16 0此式无解2+2m-3=-12-2m=-1当 -m42时，即 m4 m=1+ 3 或 m=1- 322、当 m=1+3时， p 点的坐标为（ 1+3， 1）， m点的坐标为（ 1+3 ，22425）4、当 m=1-3

24、时， p 点的坐标为（ 1-3， 1）， m点的坐标为（ 1-3 ，22425），4经过计算可知 pf=pm， mpf为正三角形， p 点坐标为：（ 1+3 ， 1）或（ 1-3 ， 1 ）2424（ 3）当 t= 3 时，即 n与 f 重合时 pm=pn恒成立4证明：过 p 作 ph与直线 x=1 的垂线，垂足为 h，在 rt pnh中，pn2=（x-1 ）2 +（ t-y ）2=x2-2x+1+t 2 -2ty+y 2，pm2=（ 5 -y ）2=y2-5 y+ 25 ，4216p 是抛物线上的点， y=-x 2 +2x； pn2=1-y+t 2 -2ty+y 2=y2 - 5 y+ 25

25、 ， 2 16 1-y+t 2-2ty+y 2 =y2- 5 y+ 25 ，216移项，合并同类项得： - 3 y+2ty+ 9 -t 2 =0，216 y（ 2t- 3 ）+（ 9 -t 2 ）=0 对任意 y 恒成立2 16 2t- 3 =0 且 9 -t 2=0，2 16 t= 3 ，故 t= 3 时， pm=pn恒成立44存在这样的点变式二（ 2012山东潍坊， 24， 11 分）如图 12，已知抛物线与坐标轴分别交于a（ 2，0）、 b（2，0）、 c（0， 1）三点，过坐标原点 o 的直线 y kx 与抛物线交于 m、n 两点分别过点 c、d（0， 2 ）作平行于 x 轴的直线l1

26、、l2（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以 on 为直径的圆与直线l 1 相切；（3）求线段 mn 的长（用 k 表示），并证明m、n 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 mn 的长yna obmxcl1l2d图 12【答案】 解：（ 1）设抛物线对应二次函数的解析式为y ax2bx c ，04a2bca14由 04a2bc ，解得 b0 1cc1所以 y1 x214（2）设 m（x1，y1）， n（x2，y2），因为点 m、 n 在抛物线上，所以 y1 1x121 ， y21x221 ，所以 x224( y21) ；44又 on 2 = x22y2 2 = 4( y21) y2

27、2 = ( y2 2)2 ，所以 on= y22 ，又因为 y2 1，所以 on= y22设 on 的中点为 e，分别过点 n、 e 向直线 l1 作垂线，垂足为p、 f，则 ef= ocnp = 2y2 ，22所以 on=2ef，即 on 的中点到直线 l1 的距离等于 on 长度的一半，所以以 on 为直径的圆与直线 l1 相切（3）过点 m 作 mh np 交 np 于点 h，则mn 2mh 2nh 2 = ( x2x1 ) 2 + ( y2y1 )2 ，1122( y2 y1 )2=k 2 ( x2x1 )2，又 y =kx ，y =kx ，所以所以 mn 2(1 k 2 )( x2

28、x1 ) 2 ；又因为点 m、 n 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，所以 kx1x21 ，即 x24kx40 ，4所以 x =4k16k 2 1621k2，=2k2所以 ( x2x1 ) 2 =16(1 k 2 ) ，所以 mn 216(1 k 2 ) 2 ，所以 mn= 4(1 k 2 ) 延长 np 交 l 2 于点 q，过点 m 作 msl 2 于点 s，则 ms + nq = y12 y2= 1 x1 2 11 x2 21 4 = 1 ( x12x2 2 ) 2 ，444又 x12x22 = 24k24(1k2 ) 16k 28，所以 ms + nq = 4k 222 = 4(1

29、k2 )=mn即 m 、n 两点到直线 l2 的距离之和等于线段mn 的长ynaeobmhxcfp l 1sdq l 2第 24 题第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题（ 2012 浙江宁波， 26，12 分）如图，二次函数yax2bxc 的图象交 x轴于 a（ 1， 0）， b(2，0)，交 y 轴于 c（0， 2），过 a，c 画直线(1)求二次函数的解析式；(2)点 p 在 x 轴正半轴上，且 pa =pc，求 op 的长；(3)点 m 在二次函数图象上，以m 为圆心的圆与直线ac 相切，切点为 h若 m 在 y 轴右侧，且 chm aoc（点 c 与点 a 对应），求点 m

30、 的坐标；若 m 的半径为 45 ，求点 m 的坐标5【答案】 解： (1)设该二次函数的解析式为：ya( x1)(x2)将 x=0，y=2 代入，得 2= a(0+1)(02)解得 a=1抛物线的解析式为y( x1)( x2) ，即 yx2x2 (2)设 op =x，则 pc=pa =x +1在 rtpoc 中，由勾股定理，得x222(x1)2解得 x3 ，即 op3 22(3) chm aoc， mch=cao情形 1：如图，当 h 在点 c 下方时， mch=cao， cmx 轴， ym2 ， x2x 22 ，解得 x=0（舍去），或 x=1， m(1， 2)情形 2：如图，当 h 在点

31、 c 上方时 mch=cao，由 (2)：得， m为直线 cp 与抛物线的另一交点，设直线 cm的解析式为 y=k x 2把 p（ 3 ， 0）的坐标代入，得3 k 2 0 ，22解得 k4 ， y4 x 2 由 433x2 x2x2 ，3解得 x=0（舍去），或 x 7 ，3此时 y10 ， m (7 ,10) 939在 x 轴上取一点 d，过点 d 作 deac 于点 e，使 de 4 5 5 coa= dea=90， oac=ead，ade aoc， adde ，acocad455，解得 ad=25 2 d(1，0)或 d（ 3，0）过点 d 作 dm ac，交抛物线于 m则直线 dm

32、的解析式为： y2x2 或 y2x6 当 2x 6= x2 x 2 时，方程无实数解当 2x+2x2 x 2 时，解得 x11 17 , x2117 22点 m 的坐标为 m ( 1217 ,37) 或 m ( 1 17 ,37)2变式一25如图，抛物线y=1 x 2+x+3 与 x 轴相交于点 a、b，与 y 轴相交于4点 c，顶点为点 d，对称轴 l 与直线 bc相交于点 e，与 x 轴相交于点 f（ 1）求直线 bc的解析式；（ 2）设点 p 为该抛物线上的一个动点，以点 p为圆心， r 为半径作 p当点 p 运动到点 d 时，若 p 与直线 bc相交，求 r 的取值范围；若 r=4 5

33、 ，是否存在点 p 使 p 与直线 bc相切？若存在，请求出点p的坐5标；若不存在，请说明理由提示：抛物线 y=ax2+bx+x（a0）的顶点坐标（b， 4ac b22a4a），对称轴 x=b 2a变式二22（ 2012 广东省， 20， 9 分）如图，抛物线 y= 1 x2 - 3 x-9 与 x 轴交 2 2于 a、b 两点，与 y 轴交于点 c，连接 bc、ac.(1)求 ab 和 oc 的长；(2)点 e 从点 a 出发，沿 x 轴向点 b 运动 (点 e 与点 a、b 不重合 )，过点 e 作直线 l 平行于 bc，交 ac 于点 d.设 ae 的长为 m， ade 的面积为 s，求

34、 s关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接ce，求 cde 面积的最大值；此时，求出以点e 为圆心，与bc 相切的圆的面积(结果保留).【答案】 (1)当 y=0 时， 1 x2 - 3 x-9=0 ，解得 x1= 3， x2= 6. ab=|x1x2|=| 3 2 2 6|=9.当 x=0 时， y= 9.oc= 9.(2)由(1)得 a(3,0)，b(6,0)，c(0,9)，3 直线 bc 的解析式为 y=x9，直线 ac 的解析式为 y= 3x9. ae 的长为 m， e(m3,0).又直线 l 平行于直线 bc，直线 l 的解析式为 y= 3 x 3 (m-3) .22y3x9x= m9由3 x- 3得3，点 d( m 9 , m).y(m-3)32 2y-m ade 的面积为： s=1 ae|d 纵 |=1 (m3)|m|=1m2 -3m .(0m9)2222(3)cde 面积为： sm 9 ace