九年级数学辅导：铁面将军：根的判别式

1、铁面将军：根的判别式【知识要点】1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 根的情况：(1) 当 0 时，方程有两个不相等的实数根；(2) 当 =0 时，方程有两个相等的实数根；(3) 当 0 时，方程无实数根 .2. 根据根的情况，也可以逆推出 的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题 .【经典例题】【例 1】已知关于 x 的方程 (m-2)x 2-2(m-1)x+m+1=0，当 m 为何非负整数时：(1)方程只有一个实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程有两个不等的实数根。【例 2】已知： a、b、c 是 abc 的三边，若方程 ax22 b2c2 x2(bc)2a有两

2、个等根，试判断 abc 的形状 .。第 1页共 6页【例 3】关于 x 的方程 kx2 +(k+1)x+k/4=0 有两个不相等的实数根 .(1)求 k 的取值范围；(2)是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由。【例 4】已知关于 x 的方程 x2+2(a-3)x+a2-7a-b+12=0 有两个相等的实根，且满足 2a-b=0.(1)求 a、 b 的值；(2)已知 k 为一实数，求证：关于x 的方程 (-a+b)x2+bkx+2k-(a+b)=0 有两个不等的实根。第 2页共 6页【例 5】已知： m、n 为整数，关于 x 的二次方程

3、x2+(7-m)x+3+n=0 有两个不相等的实数解， x2 +(4+m)x+n+6=0 有两个相等的实数根， x2-(m-4)x+n+1=0 没有实数根，求 m、 n 的值。【方法总结】1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为“方程是一元二次方程 ”，即二次项系数不为0.【经典练习】一、解答题1.若关于 x 的一元二次方程 mx2-2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ()a.m 1b. m 1 且 m 0c.m1d. m 1 且 m 02.已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0有实数根，则 k 的取值范围是 ()a.k 1b.k1

4、c.k1yx 2m)3.如果方程组 只有一个实数解，那么 m 的值为 (y 23xa. -3/8b.3/8c. -1d.-3/44.一元二次方程 x2 +2x+4=0 的根的情况是()a. 有一个实数根b.有两个相等的实数根c.有两个不相等的实数根d.没有实数根5.下列一元二次方程中，有实数根的是 ()a.x 2-x+1=0b.x 2-2x+3=0c.x2+x-1=0d.x 2+4=0第 3页共 6页6.关于 x 的方程 k2x 2+(2k-1)x+1=0 有实数根，则下列结论正确的是()a. 当 k=1/2 时，方程两根互为相反数b.当 k=0 时，方程的根是 x=-1c.当 k=1 时，方

5、程两根互为倒数d.当 k 1/4 时，方程有实数根7已知关于 x 的方程 x2mx 20 有两个相等的实数根，则 m 的值等于（）.a 2 2b.2 2c.2 2 或 2 2d. 8 或-88若方程 x px 有两个不相等的实数根，则实数 p 的取值范围是（）.a p 0b.1c.11p0 pd. p9要使关于 x 的方程 kx24444x 30 有实数根，则 k 应满足的条件是（）.4b.k4c.k44a k3d.k333二、填空题1关于 x 的方程 x2+(2k-1)x+k 2-7/4=0 有两个相等的实数根，则k=.22关于 x 的一元二次方程 mx -(3m-1)x+2m-1=0, 其

6、根的判别式的值为1，m=3一元二次方程 x 22xm0 ，当 m=时，方程有两个相等的实根；当 m时，方程有两个不相等的实根；当m =时，方程有一个根为04如果关于 x 的方程 k 2 x22k1 x10 有两个实数根，则 k 得取值范围是三、解答题1当 a 是什么实数时， 关于 x 的一元二次方程a1 x2a2ax3 。（1）有两个相等的实数根？（ 2）有两个不相等的实数根？（3）没有实数根？2已知关于 x 的方程 4x24 k1 xk 20 和 2x24k1 x2k 210 ，它们都有实数根，试求实数 k 的取值范围第 4页共 6页3已知关于 x 的方程 x2mx3mn0 根的判别式之值为

7、0，1 为方程的根，求 m、n 的值。4 已知，如图 12-3-1 ，ad为 abc（ab ac）的角平分线， ad的垂直平分线和 bc的延长线交于点 e，设 ce=a，de=b，be=c。求证：关于 x 的二次方程 ax 2 2bx c 0 有两个相等的实根。afbdce6已知关于 x 的二次方程20与2，求证：当pp2( qq) 时，这xp1 x q1xp2 x q2 01212两个方程中至少有一个方程有实根。第 5页共 6页【作业】日期姓名完成时间成绩一、选择题1.方程 x2 -3x+1=0 的根的情况是 ()a. 有两个不相等的实数根b.有两个相等的实数根c. 没有实数根d.只有一个实

8、数根2已知方程 2x23x4 0,12 y 2924 y,5x 29x 0, x2842x ，上述方程中，有两个相等实数根的方程个数是（）a 1b. 2c. 3d. 43已知 a、b、c 是 abc的三边长，方程 b 2 x 2(b 2c2a 2 )xc20 的根的情况是（）a.有两个不相等的实根b. 有两个相等的实根c. 无实根d. 根据 abc的形状确定二、填空题1已知方程 x 22x 1m0 ，当 m时，方程有两个不相等的实数根，当m时，方程有两个相等的实根；当m时，方程无实根。2当 m时，方程 mx22x10 有两个不相等的实数根。3当 m时，方程 (3m 1)x 22(3m1) xm 40 有两个相等的实数根。4若关于 x