人教版初中数学第二十四章圆知识点

1、第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.1圆1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 其中， 定点称为圆心，定长称为半径， 以点 o为圆心的圆记作“ o”，读作“圆o” .2.确定圆的基本条件： （ 1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合.4.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.6.在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.

2、1.2垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即： ab 是直径 abcd cede 弧 bc弧 bd 弧 ac弧 ad中任意 2 个条件推出其他3 个结论 .推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 即：在 o 中， ab cd弧 ac弧 bdacdooabecdb

3、24.1.3弧、弦、圆心角1. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2. 圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等 . 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：aobdoe ； abde ；efodacb oc of ； 弧 ba 弧 bd在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，那他们所对的优弧劣弧分别相等.24.1.

4、4圆周角1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半.即：aob 和 acb 是弧 ab 所对的圆心角和圆周角 aob 2 acb3. 圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 o 中，c 、d 都是所对的圆周角cd推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 .即：在 o 中， ab 是直径或c90c90 ab 是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.即：在 abc 中， oc

5、oaob abc 是直角三角形或c90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理 .注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角.cboad cboacbaocbao4. 一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆 .圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补.cd推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角.即：在 o 中， 四边形 abcd 是内接四边形bae cbad 180bd 180daec24.2点和圆、直线和圆的位置关系24.2.1点和圆的位置关系1.

6、点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径 r 的大小关系决定的.（ 1）点在圆内dr点 c 在圆内；（ 2）点在圆上dr点 b 在圆上；ad（ 3）点在圆外dr点 a 在圆外；rbo2. 不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个.3. 三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，dc外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.4. 与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 . 三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三

7、条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角 .24.2.2直线与圆的位置关系1. 如果圆 o的半径为 r ，圆心 o到直线 l 的距离为d，那么：（ 1）直线与圆相离（ 2）直线与圆相切（ 3）直线与圆相交d r d r d r无交点；有一个交点；有两个交点；rd=rrdd2. 直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.（ 1）切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： mnoa 且 mn 过半径 oa 外端 mn 是 o 的切线oman（ 2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半

8、径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为：“见切点连半径得垂直”切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径.3. 切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角.即： pa 、 pb 是的两条切线p pa pbpo 平分bpa4.

9、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（ 1）公切线长：rt o1o2c 中， ab2co12o1o22co22 ；ac（ 2）外公切线长：co2 是半径之差；内公切线长： co2是半径之和 .o224.3正多边形和圆. 解决与圆的boabo1各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆.经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆.正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心. 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径. 正多边形每一边所对的

10、外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距.正 n 边形的半径r 与边心距 r 把正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形.关系式：中心角n =3600；边长 an =2 rsin1800;1800nn边心距 rnrcos; r2r212;周长 cnnan ;n(an )211面积 sn =2an rn ?n= 2cn ? rn .（ 1）正三角形cobad在 o 中 abc 是正三角形，有关计算在rt bod 中进行： od : bd : ob1:3 : 2 ；（ 2）正四边形同理，四边形的有关计算在rt oae 中进行， oe : ae : oa 1:1:2