对一道高考试题的研究

1、对一道高考试卷的研究高中数学“含参不等式恒成立问题”可以把不等式、函数、导数内容有机结合起来，渗透换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，具有较好的融合性，所以倍受命题专家的青睐，是高考中常考常新的热点之一。年高考数学试卷中（包括全国卷和各省自主命题试卷）有十余套试卷出现了关于“含参不等式恒成立问题”的试卷。本文结合这些高考试卷的类型，总结了解决此类问题的三种常用方法，仅供参考。一、 数形结合法例、不等式3x 2log a x0 在 x(0, 1) 时恒成立，求实数 a 的取值范围3解： 3x 2log ax03x 2log a x ，即在区间 (0, 1 ) 内曲线 y 3x 23恒在曲

2、线 ylog ax 的下方。作出 y3x 2 ( x 0) 与1 时， 3 x21 ，即点 P(11yy log a x 的草图，当 x,) 在曲3333线 y3x2 上。若曲线 ylog a x 过 P(1,1) ，则 a1 。由区px3327间 ( , 1 )0内曲线 y3x2恒在曲线 ylog a x 的下方，根据对数03函数的性质可知， a1 ,127评注：充分利用已知基本函数的图象特点，可以简化计算。二、 分离参数法例、（全国理）（）略；（）设函数在区间(2 , 1 ) 内是减函数，求的取值范围 .3321解：函数f ( x). 在区间 (,)即 f ( x )0 在 ( 2 , 1

3、 )33内是减函数，恒成立 .f( x)3x22ax1, a R.2ax3x 21 在 ( 2 ,1) 恒成立33x(2 ,1) ， a3x 21在 (2 ,1 ) 恒成立，332x33即研究 g( x)3x21在 (2 ,1 ) 的最大值 .2 x333x 213 (x12 ,3 ) 单调递减，g (x)3 ) 在 (2x2x331 / 3在 (3 ,1) 单调递增，且g(2)7， g(1)2 ，33343g( x)g(1) 2 ，a2 即 a2,3评注：若所研究不等式中的参数可以分离到不等式的一边，则问题转化为研究确定函数（不含参数的函数）的最值问题。三、构造函数法、构造一次函数例、（辽宁

4、文）函数 f ( x)x 39x2 cos48 x cos18 sin 2，g( x) f ( x) ，且对任意的实数均有g(1t)0 ， g(3sin t )0e（1） 求函数 f ( x) 的解读式（）若对于任意的 m26,6，恒有 f ( x)x3mx11 ，求 x 的取值范围解：（）略。f(xx 39x 224x)（）任意的 m26,6，恒有 f (x)x 39x 224 xx3mx 11即不等式 mx9x 224 x110 在 m26,6 恒成立构造关于的一次函数g (m) xm 9x 224 x11 g(m)mx 29x 224 x110 在 m26,6 恒成立g ( 26)26x

5、9x224x1101x124x11 0解得3g (6) 6 x 9 x2、构造二次函数例、（辽宁理）函数 f (x)e2 x2t(exx)x22t 21 。（）、（）略；（）证明：f ( x)32（）证明：要证 f (x)3 ，即不等式 e2 x2t(exx)x 22t 210 恒成立，212构造关于的二次函数f (t )2t 22t(exx)e2 xx22只需证 f (t )0 恒成立，即 f (t) 最小值08(e2xx 21)4(exx) 2(exx)21 f (t) 最小值4222设 H ( x) exx21 ，令 H ( x) 2 exx ?( ex1) 0 ，2 / 3 exx0，

6、 x 0根据(,0)(0, )得 H ( x)0 f (t) 最小值H ( x)0H ( x)32f (x)H (x)2、构造复杂函数例、（全国理）函数 f (x)exe x（1） 证明： f( x)2 （）若对于所有x 0 ，都有 f (x)ax ，求 a 的取值范围（）证： f ( x)exe x2ex ?e x2 ，当且仅当 exex 即 x0 时取等。（）解：对所有 x 0 ，都有f (x)ax ，即不等式 exe xax 0 在 0,恒成立构造关于 x 的函数gxexe xax( )若 a 2 ，当 x0 时， g( x) exe xa2a0 g( x) 在 0,上为增函数 g (x)g(0)0 ， f ( x)ax若 a2 ，令 g (x)exe xa0 ，得正根为 x0 ln aa 242当 x(0, x0 ) 时， g ( x)0， g (x) 在该区间为减函数 g ( x)g(0) 0，与f ( x)ax 恒成立矛盾。综上， a2评注：若所研究不等式的参数不能分离出来，则可通过构造新函数，转化为研究新函数在给定区间上 0 （ 0 ）或 0 （ 0 ）恒成