导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

1、最新资料推荐导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2 洛必达法则可处理0，1，0，型。0 ，0003 在着手求极限以前，首先要检查是否满足0 ，0，0 ，0 ，型定式，0102010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第21 题中的第2 步，由不等式恒成立来求参数的否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。则不适用，应从另外途径求极限。洛必达法则简介：4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。法则 1 若函数 f(x) 和 g(x) 满足下列条件： (1)lim

2、fx0 及 lim g x0；二高考题处理x ax a1.(2010 年全国新课标理 )设函数 f (x)ex1xax2 。(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0；fx（ 1） 若 a 0，求 f(x) 的单调区间；(3) liml ，x a gxfx= limfx那么 limgl 。xa g xx ax法则 2若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件： (1)lim f x0 及 lim g x0 ；xx(2)A0， f(x)和 g(x) 在, A 与 A,上可导，且 g(x)0；(3)limfxl ，x g xfx= limfx那么 liml 。xg

3、xxgx法则 3若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件： (1) lim fx及 lim g x；x ax a(2) 在点 a 的去心邻域内， f(x)与 g(x)可导且 g(x)0；(3)limfxl ，gxx afx= limfx那么 limxgl 。xa gx ax利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1 将上面公式中的xa，x换成 x +， x - ，xa ， xa 洛必达法则也成立。（ 2）若当 x 0 时 f ( x)0，求 a 的取值范围原解：（ 1）a 0 时， f ( x)ex1 x ， f ( x)ex 1.当 x (,0) 时， f ( x

4、)0 ；当 x (0,) 时， f ( x)0 .故 f ( x) 在 (,0) 单调减少，在(0,) 单调增加（ II ） f (x)ex1 2ax由（ I ）知 ex1x ，当且仅当 x0 时等号成立 .故f ( x)x2ax(12a)x ，从而当 12a0，即 a10 ( x0) ，而 f (0)0 ，时， f ( x)2于是当 x0 时， f ( x)0 .由 ex1x(x0) 可得 e x1x(x0).从而当 a1时，2f ( x)ex12a(e x1)e x (ex1)(ex2a) ，故当 x (0,ln2a) 时， f(x)0 ，而 f (0) 0，于是当 x(0,ln 2a)

5、时， f (x) 0 .综合得 a 的取值范围为, 121最新资料推荐原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解 :（ II ）当 x0 时， f ( x)0 ，对任意实数a,均在 f ( x)0 ；xx1当 x0时， f ( x)0 等价于 ae2xxx1x2xx 2exexx令 gx2(x0), 则 g (x)e3，令 h xx2xxeexx1 ， h xxex则 h xxe e0 ，知 h x在 0,上 为 增 函 数 ， hx h 0 0 ； 知 h x在 0,h xh 00；gx0 ， g(x) 在0,上为增函数。xx1xx1由洛必达法则知，lim elim el

6、im e2，x0xx02xx 0221故 a2综上，知 a 的取值范围为, 1。22（ 2011 年全国新课标理）已知函数，曲线yf (x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为（）求 a 、 b 的值；（）如果当x0，且 x1时， f (x)ln xk ，求 k 的取值范围。x1x( x1ln x)b原解：（） f (x)x(x1)2x21f (1)1,由于直线 x2 y30的斜率为(1,1)，故1 ,即，且过点f (1)22b1,ab1 ,解得 a1 ， b1。22（）由（）知f ( x)ln x1 ，所以x 1xx 2 x 0 ，f ( x)( ln xk )1(2ln x(k1)(x

7、21) 。x1x1x2x考虑函数 h( x)2ln x(k1)(x21) (x0) ，则 h (x)(k1)( x21) 2x 。上 为 增 函 数 ，xx2（ i）设k 0，由h ( x)k (x21)( x1)2知，当x1时，h (x)0hx）递减。而h(1) 0x2， （故当 x(0,1) 时， h(x)0 ，可得12 h(x)0 ；1 x当 x （1， +）时， h（ x） 01x2从而当 x0, 且 x1 时， f （ x） -（ ln x+ k）0，即 f（ x） ln x + k .x1xx1xx 2y 3 0 。（ ii） 设 0k0, 故 h（ x）0,1k.1k而 h（ 1

8、） =0，故当 x（ 1，1）时， h（ x） 0，可得1 2h（ x） 0,而 h（ 1）=0，故当 x（ 1， +）时， h（ x） 0，可得1h（ x） 0,与题设矛盾。1x 2综合得， k 的取值范围为（-， 0原解在处理第（II ）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：2最新资料推荐解：应用洛必达法则和导数另解：（II ）由题设可得，当 x0, x 1 时， k h1 =02上为减函数，在所以 g ( x) 在 (0,) 上单调递减，且 g (x) 0 .因此 g ( x ) 在 (0,) 上单调递减，hx在 0,上为增函数22h 1 =0且 g ( x)0 ，故f( x)g (

9、x)0 ，因此xsin x在 (0,) 上单调递减 .x4f ( x)x32当 x(0,1)时， hx0 ，当 x（ 1， +）时， h x0由洛必达法则有limf ( x)xsin xlim1 cos xlimsin xcos x1当 x(0,1)时， gx0，当 x（1， +）时， gx0limx33x2lim，x 0x 0x 0x 06x x066gx在 0,1上为减函数，在1,上为增函数即当 x110 时， g (x)，即有 f (x).66由洛必达法则知 lim g2limx ln x1ln x1x1212lim2x1 2210故 a1x3(0, ) 恒成立 .x1x1xx 1时，不等式 sin xax 对于 x62k0 ，即 k 的取值范围为（ -，0通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： 可以分离变量；规律总结：对恒成立问题中的求参数