第二十四章圆知识点及典型例题

1、一、圆的概念集合形式的概念：1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相

2、等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 c 在圆内；2、点在圆上dr点 b 在圆上；ad3、点在圆外dr点 a 在圆外；ro三、直线与圆的位置关系bd1、直线与圆相离d r无交点；只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即： ab 是直径 abcd cede 弧 bc弧 bd中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 o 中， ab cdcd弧 ac弧 bdo六、圆心角定理ab圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等， 弦心距相等。此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出

3、其它的3 个结论，即： aobdoe ； ab de ； oc of ； 弧 ba 弧 bd七、圆周角定理1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： aob 和 acb 是弧 ab 所对的圆心角和圆周角aob2 acb 弧 acoacb弧 adefdbcoc2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系( 选记 )外离无交点drr ；外切有一个交点drr ；相交有两个交点rrd r r ；内切有一个交点drr ；内含无交点drr ；五、垂径定理2、圆周角定理的推论：d推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

4、相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 o 中，c 、d 都是所对的圆周角bcd推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 o 中， ab 是直径或 c 90c 90 ab 是直径b推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 abc 中， ocoaob abc 是直角三角形或c 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上b的中线等于斜边的一半的逆定理。acoacaocao垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。a推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

5、；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；o（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦e八、圆内接四边形圆的内接四边形定理： 圆的内接四边形的对角互补， 外角等于它的内对角。即：在 o 中，四边形 abcd 是内接四边形cbdcd所对的另一条弧b以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中， cbad 180bd 180daecae九、切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是切线；o两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： mnoa 且 mn 过半径 oa 外端mn 是 o 的切线man（ 2）性质定理

6、：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相b等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： pa 、 pb 是的两条切线po pa pbpo 平分 bpaa十一、圆幂定理 ( 选记 )（ 1）相交弦定理 ：圆内两弦相交， 交点分得的两条线段的乘积相d等。bo即：在 o 中，弦 ab 、 cd 相交于点 p ，p pa pbpc pdca（ 2）推论

7、：如果弦与直径垂直相交， 那么弦的一半是它分直径所c成的两条线段的比例中项。即：在 o 中，直径 ab cd ，bo ea ce 2ae bed（ 3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线a长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。de即：在 o 中， pa 是切线， pb 是割线po pa2pc pbcb（ 4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。即：在 o 中， pb 、pe 是割线 pc pb pd pea十二、两圆公共弦定理 ( 选记 )o2o1圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。b如图： o1o2

8、 垂直平分 ab 。即： o1 、 o2 相交于a、 两点 o1o2 垂直平分abb十三、圆的公切线 ( 选记 )ab两圆公切线长的计算公式：co1（1）公切线长： rt o1 o2 c 中， ab2co12o1o22co22 ；o2（2）外公切线长： co2 是半径之差； 内公切线长： co2 是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算 ( 选记 )正多边形计算的解题思路：正多边形连接 oab 转化等腰三角形作垂线段 od 转化直角三角形可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。（1）正三角形c在 o 中 abc 是 正三 角 形， 有关 计算 在 rt bod 中

9、进 行：obdaod : bd : ob1: 3 : 2 ；bco（2）正四边形aed同理，四边形的有关计算在rt oae 中进行， oe : ae : oa 1:1:2 ：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在rt oab 中进行， ab : ob : oa1:3 : 2 .o十五、扇形、圆柱、圆锥和弓形的相关计算公式baa1、扇形：（1）弧长公式： ln r ；180osl（2）扇形面积公式：sn r21 lrb3602n ：圆心角r ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长s ：扇形面积2、圆柱：d（1）圆柱侧面展开图ad1s表 s侧2s底 = 2rh2r 2母线长b底面圆周长c1（2）圆柱

10、的体积： vr 2hcb13、圆锥orcarb（ 1）侧面展开图 s表s侧s底 =rrr 2（ 2）圆锥的体积： v 1 r 2 h34、弓形（ 1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（ 2）弓形的周长弦长弧长（ 3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形oamb的面积和 aob的面积计算出来，就可以得到弓形 amb的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图1 所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2 所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3 所示，圆有关问题辅助线的常见作法半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切

11、线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。例题 1、 基本概念1下面四个命题中正确的一个是（）a平分一条直径的弦必垂直于这条直径b平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦c弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心d在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（）a过弦的中点的直线平分弦

12、所对的弧b过弦的中点的直线必过圆心c弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心d 弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1、 在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm，那么油面宽度 ab是 _cm.2、在直径为 52cm的圆柱形油槽内装入一些油后， ，如果油面宽度是 48cm，那么油的最大深度为 _cm.3、如图，已知在 o 中，弦 abcd ，且 abcd ，垂足为 h ， oeab 于 e ， ofcd于 f .（1）求证：四边形 oehf 是正方形 .（2）若 ch3 ， dh9 ，求圆心 o 到弦 ab 和 cd 的距离 .4、已知：

13、 abc内接于 o， ab=ac，半径 ob=5cm，圆心 o到 bc的距离为 3cm，求 ab的长5、如图， f 是以 o为圆心， bc为直径的半圆上任意一点， a 是的中点， adbc于 d，求证： ad=1bf.f2aeb doc例题 3、度数问题已知：在 o 中，弦 ab 12cm ， o 点到 ab 的距离等于 ab 的一半，求： aob 的度数和圆的半径 .例题 4、平行问题在直径为 50cm的 o中，弦 ab=40cm，弦 cd=48cm，且 abcd，求： ab与 cd之间的距离 .例题 8、利用切线性质证明角相等如图，已知： ab为 o的直径，过 a 作弦 ac、ad，并延长与过 b 的切线交于 m、 n求证：例题 5、同心圆问题mcn=mdn如图，在两个同心圆中，大圆的弦ab，交小圆于 c、 d两点，设大圆和小圆的半径分别为a, b . 求证： adbda2b2 .例题 6、利用切线性质计算线段的长度例题 9、利用切线性质证线段相等如图，已知： ab是 o的直径， p 为延长线上的一点， pc切 o于 c，cdab于 d，又 pc=4， o的半径为 3求： od的长如图，已知： ab是 o直径， coab，cd切 o于 d，ad交 co于 e求证： cd=ce例题 10、利用切线性质证两直线垂直例题 7、利用切线性质计算角的度数如图，已知：abc中，a