线面垂直习题精选

1、线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图 1，在正方体 abcda1b1c1d1 中， m 为 cc1 的中点， ac交 bd于点 o，求证： a1o平面 mbd证明：连结 mo， a1m ， db a1 a ， db ac， a1 aac a ， db平面 a1 acc1 ，而 ao1平面 a1acc1db a1o 设正方体棱长为a ，则 a1o 23 a 2 ， mo 23 a2 24在 rt a1c1m 中， a1m 29 a2 a1o 2mo 2a1m 2 ， ao1 om om4= ，a1o平面db ombd评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大

2、小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2如图 2，p是所在平面外的一点，且平面，平面平面求证：平面abcpaabcpacpbcbcpac证明：在平面pac内作 ad pc交 pc于 d因为平面 pac平面 pbc，且两平面交于pc，ad平面 pac，且 adpc， 由面面垂直的性质，得ad平面 pbc又 bc平面 pbc，ad bc 平面，bc平面， paabcabcpa bc adpa=a， bc平面 pac（另外还可证分别与相交直线，垂直，从而得到平面）bcad acbcpac评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线

3、与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定判定线面垂直面面垂直这三者性质性质之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明saabcdascsb，sc，sde，f，gaesb3 如图所示，abcd且垂直于的平面分别交于求证：，为正方形，平面，过agsd 证明：sa平面abcd，bcsabaesabbc aescaefgscaesa b

4、cabbc，平面平面平面又，ae 平面 sbc aesb同理可证 agsd 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4 如图，在三棱锥 bcd中， bc ac， ad bd，作 becd， 为垂足，作 ahbe于求证： ah平面 bcd证明：取 ab的中点 ，连结 cf，df acbc ， cfab adbd ， dfab cdf又cfdff，ab平面cdcd平面cdfab，又 cdbe ， beabb ，cd平面abe cdah， ahcd ， ahbe ， cdbe e

5、 ， ah 平面 bcd评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5如图，ab是圆的直径，是圆周上一点，pa平面abcae pc，为垂足，是pbaef若上任意一点，求证：平面平面pbc证明： ab是圆 的直径， acbc pa平面abcbc平面abcpa，bcbcapc平面bc平面，pbc平面平面apcpbc，平面平面，ae pcapcpbc pc平面aepbcae平面，平面平面aefaefpbc评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直， 而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线

6、线垂直的关系6.空间四边形 abcd中，若 ab cd，bcad，求证： ac bdadboc证明：过 a 作 ao平面 bcd于 oab cd， cdbo 同理 bc do o为 abc的垂心于是 bd co bd ac7. 证明：在正方体 abcda1b1c1 d1 中， a1 c平面 bc1dd 1c1a 1b 1dcab证明：连结acbdacac为 a1c 在平面 ac上的射影bda1ca1c 平面 bc1 d同理可证 a1c bc18.如图，pa平面 abcd， abcd是矩形， m、 n 分别是 ab、 pc的中点，求证：mnabpndcamben / 1 dc.证：取 pd中点

7、e，则2pendcamben / amae / / mn又cd adcd aepacd平面 padcd / / abmn ab平面 ac平面 padae / / mnae9 如图在abc中， ad bc， ed=2ae， 过 e 作 fg bc，且将afg沿 fg折起，使 aed=60，求证 :ae 平面 abc分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。解： fgbc，adbcacdg ae fg ae bc设 ae=a，则 ed=2a由余弦定理得：222ad=ae +ed-2 ?ae ?edcos602=3aeabf222 ed=ad +ae ad ae ae 平面 abc1

8、0 如图 ,在空间四边形 sabc中, sa平面 abc,abc= 90 , an sb于 n, am sc于 m。求证 : an bc; sc 平面 anm分析 :要证, 转证 ,bc平面。an bcsab要证sc平面,转证 ,垂直于平面内的两条相交直线 ,即证,。要证, 转证an平面, 就可anmscanmsc am sc ansc ansbc以了。证明 : sa 平面 abc sa bc又, 且ab sa=abc ab bc 平面 sab an 平面 sab an bc an bc, an sb, 且 sbbc= b an 平面 sbc scc平面 sbc an sc又 am sc, 且

9、 aman= a sc 平面 anm11 已知如图， p平面 abc，pa=pb=pc， apb= apc=60， bpc=90 求证：平面abc平面 pbc分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然bc中点 d，证明 ad垂直平 pbc即可证明：取 bc中点 d连结 ad、pdpa=pb； apb=60 pab为正三角形同理pac为正三角形设 pa=a在 rtbpc中， pb=pc=abc=2 apd=2 a 在 abc中 ad= ab 2 bd 22=2 aad2+pd2=2 ad平面 pbc平面 abc平面 pbc222 a2 a =a2=ap2

10、 apd为直角三角形即ad dp又 ad bc2213 以 ab为直径的圆在平面内， pa于 a，c 在圆上，连pb、pc过 a 作 aepb于 e，afpc于 f，试判断图中还有几组线面垂直。pefabc解：pabcpa面 pacbcbcafbcab为直径acbcaf面 pacafpcafpbpbaf 面 pbcaepb面 aef例 1 如图 9 39，过 s 引三条长度相等但不共面的线段sa、sb、sc，且 asb=asc=60，bsc=90，求证： 平面 abc平面 bsc【证明】 sb=sa=sc， asb=asc=60 ab=sa=ac取 bc的中点 o，连 ao、 so，则 ao

11、bc， so bc，2 aos为二面角的平面角，设sa=sb=sc=a，又 bsc=90， bc=2 a， so= 2a，11222222222ao=acoc=a 2 a = 2 a ， sa=ao+os， aos=90，从而平面abc平面 bsc【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角这也是证两平面垂直的常用方法例 2如图 940，在三棱锥s abc中， sa平面 abc，平面 sab平面 sbc图 9 40（ 1）求证： abbc；（ 2）若设二面角 s bc a 为 45， sa=bc，求二面角 ascb 的大小（ 1）【证明】作 ahsb 于 h，平面 sab平面 sbc平面

12、sab平面 sbc=sb， ah平面 sbc，又 sa平面 abc， sabc，而 sa在平面 sbc上的射影为 sb， bcsb，又 sa sb=s，bc平面 sab bc ab（ 2）【解】 sa平面 abc，平面 sab平面 abc，又平面 sab平面 sbc， sba为二面角 s bc a 的平面角， sba=45设 sa=ab=bc=a，236作 于，连，则，为二面角的平面角，而ah= 2 a，ac=2 a，sc=a，ae= 3 aae sceehehscaehasc b3 sin aeh= 2 ，二面角 ascb 为 60【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法例 3如图 941

13、，pa平面 abcd，四边形 abcd是矩形， pa=ad=a，m、n分别是 ab、pc的中点（ 1）求平面 pcd与平面 abcd所成的二面角的大小；（ 2）求证：平面 mnd平面 pcd（ 1）【解】 pa平面 abcd， cd ad，pdcd，故 pda为平面 abcd与平面 pcd所成二面角的平面角，在rt pad中， pa=ad， pda=451（2）【证明】取pd中点 e，连结 en，ea，则 en2 cdam，四边形enma是平行四边形，ea mnaepd，aecd， ae平面 pcd，从而 mn平面 pcd， mn平面 mnd，平面 mnd平面 pcd【注】证明面面垂直通常是先

14、证明线面垂直，本题中要证mn平面 pcd较困难，转化为证明ae平面 pcd就较简单了另外，在本题中，当 ab 的长度变化时，可求异面直线pc与 ad所成角的范围例 4如图 942，正方体 abcda1b1 c1 d1 中，e、 f、m、n 分别是 a1 b1 、bc、c1d1 、b1c1 的中点图 9 42（1）求证：平面mnf平面 enf（ 2）求二面角m ef n的平面角的正切值（1）【证明】 m、n、e 是中点， eb 1 b1 nnc 1 c1m enb 1mnc 1 45 mne 90 即 mnen，又 nf平面 a1c1， mn平面 a 1c1 mnnf，从而 mn平面 enf m

15、n平面 mnf，平面 mnf平面 enf（2）【解】过 n作 nh ef 于 h，连结 mh mn平面 enf，nh为 mh在平面 enf内的射影，23由三垂线定理得mhef， mhn是二面角 mefn 的平面角在 rt mnh中，求得 mn= 2a，nh=3a，mn66tan mhn=nh2 ，即二面角 mefn 的平面角的正切值为2 例5在长方体 1 1 1 1中，底面abcd是边长为2 的正方形，侧棱长为3， 、f分别是1、1的中点，求证：平面1abcd a b c deabcbd ef平面 ab1c【证明】如图943， e、f 分别是 ab1、cb1 的中点，图 9 43 ef ac

16、ab1 =cb1，o为 ac的中点 b1 oac故 b1 oef在 rt b1bo中， bb1 = 3 ， bo=11 bb1o=30，从而 ob1d1=60，又 b1d1=2，b1 o1 = 2 ob1=1（o1 为 bo与 ef 的交点） d1 b1o1 是直角三角形，即b1od1 o1 ， b1 o平面 d1 ef又 b1 o平面 ab1 c，平面 d1ef平面 ab1c1棱长都是2 的直平行六面体abcd a1b1c1 d1 中， bad=60，则对角线a1 c 与侧面 dcc1d1 所成角的正弦值为_【解】过 a1 作 a1 gc1d1 于 g，由于该平行六面体是直平行六面体，a1

17、g平面 d1 c，连结 cg， a1cg即为 a1c 与侧面dcc1d1 所成的角3a1 g= a1d1 sin a1d1 g=2sin60 =2 2 =3 而ab2bc 22 ab bc cos12022222 2 2 (1 ) 2 3a1 a2ac2412 4ac=21， a c=a1g33sin a1cg=a1c4 【答案】42 e、f 分别是正方形abcd的边 ab和 cd的中点， ef、bd相交于 o，以 ef 为棱将正方形折成直二面角，则bod=【解析】设正方形的边长为2a2a 22a 26a 21222222222222222 cos dob= 22a2a2则 do=a+a =2

18、a ob=a +a =2a db=df+fb=a +4a +a =6a dob=1203如图 944，已知斜三棱柱abc a1b1c1 的各棱长均为2，侧棱与底面成3 的角，侧面 abb1a1 垂直于底面，图 9 44（1）证明： b1cc1a（ 2）求四棱锥bacc1a1 的体积（1）【证明】过111 1底面 abc，面abb 1a 1 面abc ab11b作 b oab于 o，面 abba b o面 abc， b ba是侧棱与底面所成角， b1 ba= 3 ，又各棱长均为2， o为 ab的中点，连co，则 coab，而 ob1 co=o， ab平面 b1 oc，又 b1 c 平面 ob1c

19、，b1 cab，连 bc1， bcc1b1 为边长为 2 的菱形， b1cbc1 ，而 ab bc1=b， b1 c面 abc1a1 c 面 abc1b1c ac13 ，3 3， vb a1 b1c11（ ）【解】在rt1中，1， 1柱=sh=4=3柱=1，2bbobb =2bo=1 b o=v4= 3 vvb aa1c1c =v柱 vb a1b1c1 =31=24如图 945，四棱锥 p abcd的底面是边长为a 的正方形， pa底面 abcd，e 为 ab 的中点，且 pa=ab图 9 45（ 1）求证：平面 pce平面 pcd；（ 2）求点 a 到平面 pce的距离（ 1）【证明】 pa

20、平面 abcd，ad是 pd在底面上的射影，又四边形abcd为矩形， cdad， cdpd， ad pd=d cd面 pad， pda为二面角pcdb 的平面角，pa=pb=ad， pa ad pda=45，取 rt pad斜边 pd的中点 f，则af pd， af面 pad cd af，11又 pdcd=daf平面pcd，取pc的中点g，连gf、ag、eg，则gf2cd又 ae2cd，gfae四边形 agef为平行四边形af eg， eg平面 pdc又 eg平面 pec，平面 pec平面 pcd（ 2）【解】由（ 1）知 af平面 pec，平面 pcd平面 pec，过 f 作 fhpc于 h

21、，则 fh平面 pec fh为 f 到平面 pec的距离，即为 a 到平面 pec的距离在 pfh与 pcd中， p 为公共角，fhpf而 fhp=cdp=90， pfh pcd cdpc ，设 ad=2， pf= 2 ， pc= pd 2cd 284 2 3 ，26623 到平面的距离为fh=2 3a3pec5已知直四棱柱abcd a1b1c1 d1 的底面是菱形，对角线ac=2，bd=23 ，e、 f 分别为棱 cc1、 bb1 上的点，且满足ec=bc=2fb图 9 46（1）求证：平面aef平面 a1acc1；（ 2）求异面直线ef、a1c1 所成角的余弦值1（1）【证明】 菱形对角线

22、ac=2，bd=23 bc=2，ec=2，fb=1，取 ae 中点m，连结mf，设 bd与 ac交于点o，mo2ecfb平面aef平面acc1a1（2）在aa1 上取点n，使an=2，连结ne，则neaca1 c1故 nef为异面直线a1c1 与ef 所成的角，连结nf，在直角梯形nabf中易求得nf=5 ，同理求得ef=5 3455在 enf中， cos nef=22555，即 ef 与 a1 c1 所成角的余弦值为5 【解题指导】 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和