高数下册积分重点

1、.微积分下册常见六种积分考试重点二重积分、三重积分第一型曲线积分、曲面积分第二型曲线积分、曲面积分精品.二重积分/累次积分1） 在有界闭区域d上进行积分的积分符号；d oxy平面上的有界闭区域，积分区域；f(x,y) 被积函数（其在d上连续才可积），比如可以是区域d的密度大小，也可以表示底面是d的曲顶柱体的高。2）d oxy平面上微小区域面积，面积元素（d 微分； d中微小区域，微小曲顶柱体的底面积）。3）微小面质量=微小面密度微小面积；微小曲顶柱体面积=微小曲顶柱体高微小曲顶柱体底面长度；f(x,y)d 微小面质量或者微小面积，被积表达式。4） 曲面d的质量，曲顶柱体面积。此处应注意：f(x

2、,y)0时，二重积分积分的现实意义才成立。5）6）二重积分的计算：化二重积分为二次积分三重积分1）在有界闭区域上进行积分的积分符号； oxyz空间中的有界闭区域，积分区域，代表一几何体；f(x,y,z) 被积函数（其在上连续才可积），可以是区域的密度大小。2）dv oxyz空间中微小区域体积，体积元素（d 微分，v 中的微小几何体）。精品.3）微小体质量=微小体密度微小体积；f(x,y,z)dv 微小体质量，被积表达式。4） 几何体的质量。此处应注意：f(x,y,z)0时，三重积分积分的现实 意义才成立。5）6）三重积分的计算：化三重积分为三次积分精品.精品.第一型曲线积分第一型曲线积分又叫作

3、对弧长的曲线积分，或数量值函数的曲线积分1）在线段l上进行积分的积分符号；l 当被积函数是二元函数时，其是oxy平面上一条光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是oxyz空间中一条光滑曲线；f(x,y,z) 被积函数，一函数值，比如可以是线l的密度大小，也可以表示底边是l的曲边梯形的高。2）ds 微小弧长（d 微分；s 微小线段，微小曲边梯形的底边长度）。3）微小线质量=微小线密度微小线长度；微小曲边梯形面积=微小曲边梯形高微小曲边梯 形底边长度；f(x,y,z)ds 微小线质量或者微小曲边梯形面积，被积表达式。4） 线质量，曲边梯形面积。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分的现实意

4、义才成立。5）6）第一型曲线积分计算公式精品.第一型曲面积分第一型曲面积分又叫作对面积的曲面积分，或数量值函数的曲面积分1)在有界光滑曲面上进行积分的积分符号；一空间有界光滑曲面；f(x,y,z) 被积函数，一函数值，比如可以是曲面的密度大小，也可以表示底面是的曲面体的高（有限制）。2）ds微小曲面面积（d 微分；s微小曲面）。3）微小曲面面质量=微小面密度微小面积；微小曲面体面积=微小曲面体高微小曲面体底面长度；f(x,y,z)ds 微小体质量或者微小曲面体体积（有限制），被积表达式。4） 面质量，曲面体体积（有限制）。此处应注意：f(x,y,z)0时，第一型曲线积分的现实意义才成立，即使如

5、此，其现实意义亦不明显。5）6）第一型曲面积分计算公式 若计算中须带入线方程，带入的方程应按上线方程的前四种形式之一带入，若计算中须带入面方程，带入的方程应按上面方程的后三种种形式之一带入，至于带哪一种形式，须看哪一种形式利于解题。比如，若线方程可以化为圆的形式，则常常采用圆的参数形式带入。再如，平面a截柱面b得的面，其方程不是二者联立解得的方程，因为其相交的部分是线而不是面，解得的方程是交线的方程；显然b的方程不能作为截得的面的方程，因为二者公共部分是一条线，而a包含截得的面，因而截得的面的方程可以用a的方程表示。注：二重积分与第一型曲面积分只是在积分区域上有差别。二重积分，积分区域在oxy

6、面上，而第一型曲面积分积分区域在oxyz空间中。精品.第二型曲线积分第二型曲线积分又叫作对坐标的曲线积分，或向量值函数的曲线积分1）在有向线段上进行积分的积分符号； 当被积函数是二元函数时，其是oxy平面上一条有向光滑曲线，当被积函数是三元函数时，其是oxyz空间中一条有向光滑曲线；p(x,y,z)、q(x,y,z) 、r(x,y,z) 被积函数，力的三个分向值。2）微小功=力微小线长度()；p(x,y,z)dx+q(x,y,z)dy +r(x,y,z)dz 微小功。3） 力在有向线段上做的功。4）两种曲线积分的关系5）第二型曲线积分计算公式精品.第二型曲面积分第二型曲面积分又叫作对坐标的曲面

7、积分，或向量值函数的曲面积分1)在取定了侧的有界光滑曲面上进行积分的积分符号； 取定了侧的空间有界光滑曲面；p(x,y,z)、q(x,y,z) 、r(x,y,z) 被积函数，场强的三个分向值。2）微小通量=场强微小面积()；p(x,y,z)dydz+q(x,y,z)dzdx +r(x,y,z)dxdy 微小通量。3） 场在取定了侧的上的通量。4)两种曲面积分的关系5） 第二型曲线积分计算公式精品.green公式设平面闭区域d由分段光滑的曲线l围成，如果函数证明：公式左端直接展开按二重积分计算可化为右端的计算式，过程略。应用：在green公式中，令p=-y，q=x得平面曲线积分与路径无关的条件设

8、g是平面上的单连通域，如果，则下面四个条件等价：（1） 沿d内的任意一条光滑的闭曲线l，有（2） 曲线积分在d内与路径无关(此处l在d内任取，无须闭合)（3） 是d内某个二元函数u(x,y)的全微分，即在d内有（4） 在d内每点处成立证明：采用循环证法，过程略。注意：设g是平面上的单连通域，这两个条件是极为关键的。单连通域：平面区域内任意一条闭曲线所围成的部分都属于该区域复连通域：平面区域内存在至少一条闭曲线所围成的部分不属于该区域正向：沿闭曲线给定方向走，其所围区域在左手侧负向：沿闭曲线给定方向走，其所围区域在右手侧精品.gauss公式设平面闭区域由分段光滑的曲面围成，如果函stokes公式设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分段光滑的有界曲面，的正向与的侧向符合右手规则，函数p(x,y,z)，q(x,y,z)，r(x,y,