大一《高等数学》期末考试题(精编汇总题)

1、.一、单项选择题( 本大题有 4小题 ,每小题 4 分,共 16 分)1.设 f ( x )cos x ( xsin x ), 则 在 x0处 有 () .（ a） f (0)2（ b） f(0)1 （ c） f(0)0 （d） f ( x) 不可导 .设( x)1x ， (x)333，则当x1时（）2.1xx.（a） (x)与 ( x) 是同阶无穷小， 但不是等价无穷小；（b） (x)与 (x) 是等价无穷小；（c） (x) 是比( x) 高阶的无穷小；（d）( x) 是比 (x) 高阶的无穷小 .f ( x)x(2t x) f (t)dt3.若二 阶可 导且0， 其中 f ( x) 在 区

2、 间 上 ( 1,1)f ( x ) 0 ，则（） .（a）函数 f ( x) 必在 x0处取得极大值；（b）函数 f ( x) 必在 x0处取得极小值；（c）函数 f ( x) 在 x0 处没有极值，但点 (0, f (0) 为曲线 yf (x) 的拐点；（d）函数 f (x) 在 x0 处没有极值，点 (0, f (0) 也不是曲线 yf ( x) 的拐点。设 f ( x )是连续函数，且f ( x )x21)4.f ( t )dt , 则 f ( x ) (0x2x22（ a） 2（b） 21（d） x 2 .（ c） x二、填空题（本大题有 4 小题，每小题4 分，共 16 分）5.6

3、.2lim ( 13 x ) sin xx 0.已知 cosx 是 f ( x) 的一个原函数 ,则 f ( x) cosx d xxx.lim(cos2cos2 2cos2n 1)7.nnnnn.12 x 2 arcsin x1 11 x 2dx8.2三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9.设函数 y y(x) 由方程 ex ysin( xy)1 确定，求 y ( x ) 以及 y (0) .1 x 710. 求 x(1 x 7 ) dx.xe x，x01设 f ( x )求f ( x )dx11.2 xx 2 ， 0x 13;.1lim f ( x)12.g( x

4、)f ( xt )dta设函数 f (x) 连续，0，且 x 0x，a 为常数 . 求g( x) 并讨论 g( x) 在 x0 处的连续性 .113.求微分方程 xy2 yx ln xy(1)满足9的解 .四、 解答题（本大题10 分）14.已知上半平面内一曲线yy( x)( x0) ，过点 (01,) ，且曲线上任一点m ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、 y 轴、直线 x x0 所围成面积的 2 倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程 .五、解答题（本大题 10 分）15.过坐标原点作曲线 yln x 的切线，该切线与曲线 yln x 及 x 轴围成平面图形 d.(1)

5、 求 d 的面积 a；(2) 求 d 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积v.六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 8 分）16. 设函 数 f ( x ) 在0,1 上 连 续 且单 调 递减 ，证 明对 任意 的 q 0, 1 ，q1f ( x) d x q f ( x)dx00.17.设函数 f ( x) 在 0,f ( x ) dx0f ( x ) cos x dx 0上连续，且 0，0.证明：在 0,内至少存在两个不同的点1,2 ，使 f ( 1 )f ( 2 )0.（提xf ( x )f ( x )dx示：设0）一、单项选择题 ( 本大题有 4小题 ,每小题 4

6、 分,共 16分)1、 d 2 、 a 3 、c 4 、c二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）5.e6. 6.1 (cosx ) 2c2 .8.3.2x.7.三、解答题（本大题有5 小题，每小题 8 分，共 40 分）9. 解：方程两边求导ex y (1 y )cos(xy)( xyy) 0y ( x)exyy cos(xy)exyx cos(xy)x 0, y0， y (0)1;.10. 解： ux77 x6 dxdu原式1(1u) du1 ( 12 )du7u(1u)7u u112ln | u1|)c(ln | u |71 ln | x7 | 2 ln |1 x7

7、| c771012x x2 dx11. 解：f ( x)dxxe xdx3300e x )11( x 1)2 dxxd(03xe xe x00cos2d (令 x1sin)3242e3112. 解：由 f (0)0 ，知 g(0)0 。x1xtuf ( u )du0g( x )f ( xt )dtx( x0)0xxf ( x)f (u)dug ( x)0( x0)x 2xf (u)dulim f ( x)ag (0)lim 0x2x0xx 02 x2xf ( x)f ( u)duaalim g ( x)lim0x2a2 ， g ( x) 在 x0 处连续。x 0x 02dy2 yln x13.

8、 解： dxxy2 dx2 dxe x(e xln xdx c )1x ln x1xcx 2391 x ln x1 xy(1)1 , c0y9，39四、 解答题（本大题10 分）14. 解：由已知且 y2xyd x y ，0将此方程关于 x 求导得 y2yy特征方程： r 2r20解出特征根： r11,r22.;.其通解为yc1e xc 2 e2 x代入初始条件 y(0)y(0)1，得c12,c 2133y2e x1e2 x故所求曲线方程为：33五、解答题（本大题10 分）yln x01( x x0 )15. 解：（1）根据题意，先设切点为 ( x0 , ln x0 ) ，切线方程：x0由于切

9、线过原点，解出 x0e ，从而切线方程为：y1 xe11a(e yey)dye1则平面图形面积02（ ）三角形绕直线xe一周所得圆锥体体积记为v1，则v11e 2=32曲线 yln x 与 x 轴及直线 x =e 所围成的图形绕直线 x =e 一周所得旋转体体积为 v21e y )2 dyv2( e0vv1v 2(5e212e 3)d绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 12 分）q1qq1f ( x) d xqf ( x)dxf ( x) d xq(f ( x) d xf ( x)dx)16. 证明： 0000qq1(1q)f ( x)

10、 d x qf ( x)dx0q1 0,q 2 q,1f (1 )f (2 )q (1 q) f ( 1 ) q (1 q) f ( 2 )0故有：q1f ( x) d x q f ( x )dx00证毕。17.xf ( x)f ( t)dt , 0x。其满足在 0, 上连续，在 (0, )证：构造辅助函数：0上可导。 f ( x)f ( x) ，且 f (0)f () 00f ( x) cosxdxcosxdf ( x) f ( x) cosx|0sin xf ( x)dx由题设，有000，;.f ( x) sin xdx0( 0,) ，使 f () sin0 即有 0，由积分中值定理，存在

11、f ( )0综上可知 f ( 0)f ()f ( ) 0,(0, ) . 在区间 0, , , 上分别应用罗尔定理，知存在1(0, ) 和2( ,) ，使 f ( 1 )0 及 f ( 2 )0 ，即 f (1 )f ( 2 )0 .高等数学 i解答一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 本大题有4 小题 ,每小题 4 分, 共 16 分 )1. 当 xx0 时，x , x 都是无穷小，则当 xx0 时（ d）不一定是无穷小 .xx2(a)(b)2x2 x(x)(c)ln 1 ( x)(x)(d)( x)1sin xx alim2.极限 x a sin

12、a的值是（ c）.（ ）1（ ） e（ ） ecot a（ ） etan aabcdsin xe2ax10f ( x)xx3.ax0 在 x0处连续，则 a= （ d） .（ ）1（ ）0（ ）e（ ）1abcd设 f (x) 在点 xlimf (a h)f ( a2h)（ a）.4.a处可导，那么 h 0h（a） 3 f (a)（b） 2 f (a)(c)f ( a)（d）1 f ( a)3二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）lim ln( x a)ln a( a 0)15.极限 x 0x的值是a .6.由ex yy ln xcos2 x确 定 函 数y( x) ，则

13、 导 函 数 y;.2sin 2xyyexyxe xyx.ln x7.直线 l 过点 m (1,2,3) 且与两平面 x2yz0,2 x3y5z 6 都平行，则直x1y2z3线 l 的方程为111.8.求函数 y2xln( 4 x) 2的单调递增区间为（ ， 0）和（ 1，+） .三、解答题（本大题有4 小题，每小题 8 分，共 32 分）1(1x)xelimx.9.计算极限 x011x) 1(1x) xeln(11ln(1x)xeexlimxelimxe limx22解： x 0x 0x 010.已知： | a |3 ， | b |26 ， a b30 ，求 | ab | 。cosab5,s

14、in1cos212解：a b1313， a b72xf ( x)( xt ) f (t)dtx a,b11.设 f (x) 在 a，b 上连续，且a，试求出 f ( x) 。xxf ( x)xf (t )dttf (t)dt解：aaxxf ( x)f (t )dtxf ( x)xf ( x)f (t )dtaaf ( x)f ( x)x cos x dx.12. 求sin 3 xx cos x dx1xd sin 2 x解：sin 3 x21 x sin 2 x1sin 2 xdx1 x sin 2 x1 cot xc2222四、解答题（本大题有4 小题，每小题8 分，共 32 分）2dx13

15、. 求2xx 213.令1tx1原式23211(12 )dt11ttt 2;.3dt32211t2arcsin t 1622y2x14.求函数1 x2的极值与拐点 .解：函数的定义域（，+ ）y2(1x)(1 x)y4x(3 x2 )(1x2 ) 2(1x2 )3令 y0 得 x 1 = 1, x 2 = -1y (1)0x1 = 1 是极大值点， y (1)0 x2 = -1是极小值点极大值 y(1)1，极小值 y(1)1令 y0 得 x 3 = 0, x 4 =3 , x 5 = -3x(-,-3 )(-3 ,0)(0,3 )( 3 ,+ )y+33故拐点（ -3 ，-2 ），（0， 0）

16、（3 ， 2）求由曲线 yx3x 215.4 与 y3x所围成的平面图形的面积 .解 : x33xx 2 ,x 312x4 x20,4x( x6)( x2)0,x1s0x3x2)dx2(3x(3x64043 x2x3)( 3 x 2( x0162362452 147 13 316. 设抛物线 y 4 x2 上有两点p(x, y) 使 abp 的面积最大 .解：6,x20,x 2x 3)dx43 4x x ) 23 16 0a( 1,3) ， b(3,x32.5) ，在弧a b 上，求一点连线方程：y2x10ab45ab点 到ab的距离2xy1x 22x3( 1 x 3)p55的面积abps(x

17、)1 4 5x 22x 32( x 22 x 3)25s (x)4x 4 当 x 1s ( x) 0;.s (x)40当时取得极大值也是最大值x 1 s( x)此时 y3所求点为 (1， 3)另解：由于abc的底一定故只要高最大而过c点的抛物线ab,的切线与 ab平行时 , 高可达到最大值, 问题转为求 c( x0 ， 4 x02 ), 使 f ( x0 )2 x05 3312,解得 x0 1,所求 c点为 (1,3)六、证明题（本大题4 分）17.设 x0 ，试证 e2 x (1x) 1x .证明：设 f ( x)e2x (1x)(1 x), x0f( x)e2x (12x)1， f( x)

18、4xe2 x ，x0,f ( x)0 ，因此 f (x) 在（ 0，+）内递减。在（ 0，+）内， f ( x)f ( 0)0, f (x) 在（ 0，+）内递减，在（ 0，+）内， f (x)f (0), 即 e2 x (1x) (1 x)0亦即当 x0 时， e2x (1x) 1x。高等数学 i a一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）( 本大题有 4 小题 ,每小题 4 分,共 16 分)18. 函数ln( x1) , x 1x1f ( x)tanx,0x12xsin x,x0的全体连续点的集合是（）(a)(-,+)(b)(-,1)(1,+)(c)(

19、-,0)(0,+)(d)(-,0)(0,1)(1,+)lim ( x 21axb)0a, ba, b）为19.设 xx1，则常数的值所组成的数组（）（a） （1，0） （ b） （ 0， 1） （ c） （ 1， 1） （ d） （ 1，-1 ）20.设在 0 ，1 上 f (x) 二阶可导且 f (x) 0 ，则（）（a） f(0)f (1)f (1)f (0)(b)f (0)f (1)f (0)f (1);.(c)f (1)f(0) f (1)f (0)（d） f (1)f (0) f (1)f (0)m2sin x cos4 xdx, n2(sin 3 xcos4 x)dx p2( x

20、2 sin 3 xcos4 x)dx1x 221.222则（）（a）m n p（c）p m n二填空题（本大题有1. 设（ b） p n m（ d）n m p4 小题，每小题 4 分，共 16 分）x1d ( x2 arctanx1)）2.设f (x)dxsin x c,则f ( n)(x)dx（）x4yz53.直线方程 2mn6p ，与 xoy 平面， yoz 平面都平行，那么 m, n, p 的值各为（）nii 2nlim2 e4.xn（）i 1三解答题（本大题有3 小题，每小题8 分，共 24 分）lim11sin 2xx 21.计算x0f ( x)x 2 cos 1 ,x0x2.设xx

21、0 试讨论 f (x) 的可导性，并在可导处求出 f (x)3.设函数 yf ( x) 在(,) 连续，在 x 0 时二阶可导，且其导函数 f ( x) 的图形如图所示，给出f ( x) 的极大值点、极小值点以及曲线 yf (x) 的拐点。yxaobcd四解答题（本大题有4 小题，每小题9 分，共 36 分）( x2) 2 dx1.求不定积分x1x;.eln x dx2.1计算定积分 e3.l 1: xyz 1l 2: x 1y 2z 3已知直线123254 , 求过直线 l 1 且平行于直线 l 2 的平面方程。4.过原点的抛物线yax2 及 y=0, x=1 所围成的平面图形绕 x 轴一周

22、的体积为815 ，确定抛物线方程中的 a，并求该抛物线绕 y 轴一周所成的旋转体体积。五、综合题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 8 分）1. 设 f ( x)(x 1) 2 f(x) ，其中 f (x) 在区间 1,2上二阶可导且有 f (2)0 ，试证明存在（ 12 ）使得 f ( )0 。xf ( x)(tt 2 ) sin 2n tdt ( x 0)2.0（1） 求 f ( x) 的最大值点；f (x)1(2n2)( 2n3)（2） 证明：一、单项选择题 b d b c.二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16 分）x (14 arctanx1)dx5.dy2x1.f

23、(n )( x) dxcos( xn)dxsin( xn )c6.22.7.m2, p6, n 0 .1 ( e 1)8. 2.三、解答题（本大题有3 小题，每小题 8 分，共 24 分）9. (8 分) 计算极限lim(11)解： x 0sin 2 x x2xsin x xlim3x0x1cos x2lim3x2x 0lim(11sin2xx2 )x 0.lim x2sin 2 xx0 x2 sin2xsin xx13;.f ( x)x 2 cos 1 , x0xxx0 ，试讨论 f ( x) 的可导性，并在可导处求出10. (8 分) 设f (x) .x11解：0 , f ( x) 2x

24、cossin当xx ；当 x 0 , f ( x) 1x2 cos 10x 0x 0f (0)limx0 f(0)lim1x0xx 0x112x cos0fxsinxxx故 f( x) 在 x=0 处不可导。1x011. (8 分 ) 设函数 yf ( x) 在 (,) 连续，在 x0 时二阶可导，且其导函数f (x) 的图形如图 .给出 f ( x)的极大值点、极小值点以及曲线y f ( x) 的拐点.yxaobcd解：极大值点： xa xd极小值点： x b拐点 (0,f (0),( c, f (c)四解答题（本大题有4 小题，每小题9 分，共 36 分）( x2) 2dx12. (9 分) 求不定积分x ( x1)2.( 413)dx解：原式 =x( x1)2x 14ln x13lnx1cx1=elnxdx113.(9 分) 计算定积分e.1e1解：原式 = eln x dxx ln xx111eln xdxex ln xx 122e;.l1: xyz 1l2 : x 1y 2z 314. (9 分) 已知直线123，254 , 求过直线 l 1 且平行于直线 l 2 的平面方程 .解： ns1 s2 (1,2,3) (2,5, 4) (7, 2,1)取直线l1 上一点1于是所求平面方程为m(0,0,1)7 x 2 y(