专题二：立体几何---线面垂直、面面垂直

1、专题二：立体几何 - - 线面垂直、面面垂直-作者 : _-日期 : _专题二：立体几何- 线面垂直、面面垂直一、知识点（ 1）线面垂直性质定理（ 2）线面垂直判定定理（ 3）面面垂直性质定理（ 2）面面垂直判定定理线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1如图 1，在正方体 abcda1b1c1d1 中， m 为 cc1 的中点， ac 交 bd 于点 o，求证： a1o平面 mbd 证明：连结 mo， a1m ， db a1 a ， db ac，a1 a i ac a ，a acc，而 ao平面 a acc1 db a o db平面 11111设正方体棱长为 a ，则

2、a1o 23 a 2 ， mo 23 a 2 24在 rt a1c1m 中， a1m 29 a2 a1o 2mo 2a1 m 2 ，4aoom om db=o， a o 平面 mbd 11评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明利用面面垂直寻求线面垂直2如图 2， p 是 abc 所在平面外的一点，且pa平面 abc，平面 pac平面 pbc求证： bc平面 pac证明：在平面 pac 内作 adpc 交 pc 于 d因为平面 pac平面 pbc，且两平面交于 pc，ad平面 pac，且 adpc， 由面面垂直的性质，得ad平面pbc 又 bc平面 pbc， a

3、d bcpa平面 abc， bc平面 abc， pabcadpa=a， bc平面 pac评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系判定线面垂直判定为：线线垂直面面垂直这三者之间的关系非常密性质性质切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明如图所示， abcd为

4、正方形， sa平面 abcd，过 a 且垂直于 sc 的平面分3别交 sb， sc，sd 于 e， f， g 求证：ae，sdsb ag证明： sa平面 abcd， sa bc abbc ， bc平面 sab又 ae 平面 sab，bcae sc平面 aefg， scae ae 平面 sbcae同理可证agsdsb评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化4如图，在三棱锥 bcd中， bcac， adbd，作 be cd，为垂足，作 ahbe于求证： ah平面bcd证明：取

5、ab的中点，连结 cf， df acbc ， cfab adbd ， dfab 又 cf i dff ， ab平面 cdf cd平面 cdf， cdab 又 cdbe ， be i abb ， cd 平面 abe， cd ah ahcd ， ahbe ， cd i bee ，ah平面 bcd评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5如图， ab 是圆的直径， 是圆周上一点， pa平面 abc若 aepc ，为垂足， 是 pb上任意一点，求证：平面aef平面 pbc证明： ab是圆的直径， acbc pa平面

6、abc， bc平面 abc， pabc bc平面 apc bc 平面 pbc，平面 apc平面 pbc aepc，平面 apc平面 pbcpc， ae平面 pbc ae 平面 aef，平面 aef平面 pbc评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系10如图 , 在空间四边形 sabc 中, sa 平面 abc,abc = 90 , an sb 于 n,amsc于 m。求证 : an bc; sc 平面 anm分析 :要证 an bc, 转证 , bc 平面 sab。要证 sc 平面 anm, 转证 , sc

7、垂直于平面 anm 内的两条相交直线 , 即证 sc am, sc an。要证 sc an, 转证 an 平面 sbc, 就可以了。证明 : sa 平面 abcsa bc又 bc ab, 且 absa = a bc 平面 sab an 平面 sab an bc an bc, an sb, 且 sbbc = b an 平面 sbc scc平面 sbc an sc又 amsc, 且 aman = a sc 平面 anm例 2如图 9 40，在三棱锥 sabc 中， sa平面 abc ，平面 sab 平面 sbc图 9 40（1）求证： ab bc；（1）【证明】作 ah sb 于 h，平面 sab

8、 平面 sbc平面 sab平面 sbc=sb， ah 平面 sbc，又 sa平面 abc ， sabc，而 sa 在平面 sbc 上的射影为 sb， bc sb，又 sasb=s，bc平面 sab bcab 例 3如图 9 41，pa平面 abcd ，四边形 abcd 是矩形， pa=ad=a ，m 、 n 分别是 ab 、pc 的中点求证：平面 mnd 平面 pcd1【证明】取 pd 中点enma 是平行四边形，e，连结 en，ea ，则 ea mn en2 cdam ，四边形aepd，aecd ， ae平面 pcd，从而 mn 平面 pcd， mn平面 mnd ，平面 mnd 平面 pcd

9、【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证mn 平面 pcd较困难，转化为证明ae 平面 pcd 就较简单了另外，在本题中，当ab 的长度变化时，可求异面直线pc 与 ad 所成角的范围例 4如图 9 42，正方体 abcd a 1b1c1d1 中， e、f、m 、n 分别是a1 b1、bc、c1d1、b1c1 的中点图 9 42求证：平面 mnf 平面 enf【证明】 m 、n、e 是中点，eb 1 b1n nc1 c1m enb 1mnc1 45 mne90 即 mn en，又 nf平面 a 1c1， mn平面 a 1c1 mn nf，从而 mn 平面 enf mn平面 mnf

10、，平面 mnf 平面 enf4如图 9 45，四棱锥 p abcd 的底面是边长为 a 的正方形， pa底面 abcd ，e 为 ab 的中点，且 pa=ab 图 9 45（1）求证：平面 pce平面 pcd；（ 2）求点 a 到平面 pce 的距离（1）【证明】 pa平面 abcd ，ad 是 pd 在底面上的射影，又四边形 abcd 为矩形， cdad ， cdpd， ad pd=dcd 面 pad ， pda 为二面角 pcdb 的平面角，pa=pb=ad ，paad pda=45，取rtpad 斜边 pd 的中点 f，则 af pd， af 面 pad cdaf ，又 pd cd=da

11、f 平面 pcd，取 pc 的中点 g，连 gf、 ag 、eg，则11gf2 cd 又ae2 cd，gfae 四边形 agef 为平行四边形 af eg， eg平面eg平面 pec，平面 pec平面 pcd（2）【解】由（ 1）知 af 平面 pec，平面 pcd平面 pec，过pdc 又f 作 fh pc于 h，则 fh平面 pecfh 为 f 到平面 pec 的距离，即为 a 到平面 pec 的距离在 pfh 与 pcd 中， p 为公共角，fhpf而 fhp=cdp=90，pfh pcd cdpc ，设 ad=2 ，pf= 2 ，pc= pd 2cd 28 4 2 3 ，26623 a

12、 到平面 pec 的距离为 3 fh= 2 3【拓展练习】一、备选题1如图， ab 是圆 o 的直径， c 是圆周上一点， pa平面 abc （1）求证：平面 pac平面 pbc；（2）若 d 也是圆周上一点，且与 c 分居直径 ab 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面（1）【证明】 c 是 ab 为直径的圆 o 的圆周上一点， ab 是圆 o 的直径bcac ；又 pa平面 abc ， bc 平面 abc ，bcpa ，从而 bc平面 pacbc 平面 pbc，平面 pac平面 pbc（2）【解】平面 pac平面 abcd ；平面 pac平面 pbc；平面 pad 平面 pbd；平面 pab 平面 abcd ；平面 pad 平面 abcd 2abc a bc是正三棱柱，底面边长为 a，d，e 分别是 bb ，cc上的1一点， bd 2 a， ec a（1）求证：平面 ade 平面 acc a；（2）求截面 ade 的面积（1）【证明】分别取a c、ac 的中点 m 、n，连结 mn ，则 mn a a bb，b、m 、n、b 共面， m 为 a c中点，bc=ba ，bm a c，又 bm aa 且aa a c=a bm 平面 a acc 设 mn