三角函数的图像与性质练习题

1、.三角函数的图像与性质练习题正弦函数、余弦函数的图象A 组1.下列函数图象相同的是()A. y= sin x 与 y=sin(x+ )B.y= cos x 与 y= sinC.y= sin x 与 y=sin( -x)D.y=- sin(2+x )与 y= sin x解析 :由诱导公式易知y= sin= cos x,故选 B .答案 :B2.y= 1+ sin x,x 0,2 的图象与直线y= 2 交点的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :作出 y= 1+ sin x 在 0,2 上的图象 ,可知只有一个交点.答案 :B3.函数 y= sin(-x),x0,2 的简图是 ()解析 :y

2、=sin( -x)=- sin x,x 0,2 的图象可看作是由y= sin x,x 0,2 的图象关于x 轴对称得到的 ,故选B.答案 :B4.已知 cos x=- ,且 x 0,2 ,则角 x 等于 ()A.B.C.D.解析 :如图 :;.由图象可知 ,x=.答案 :A5.当 x 0,2 时 ,满足 sin - 的 x 的取值范围是 ()A.B.C.D.解析 :由 sin - ,得 cos x - .画出 y=cos x,x 0,2 ,y=- 的图象 ,如图所示 .cos= cos=- ,当 x 0,2 时,由 cos x - ,可得 x.答案 :C6.函数 y= 2sin x 与函数 y

3、=x 图象的交点有个.解析 :在同一坐标系中作出函数y= 2sin x 与 y=x 的图象可见有3 个交点 .答案 :37.利用余弦曲线,写出满足cos x0,x 0,2 的 x 的区间是.解析 :画出 y= cos x,x 0,2 上的图象如图所示. cos x0 的区间为答案 :8.下列函数的图象 :y= sin x-1;y=.其中与函数 y= sin xy=| sin x|;y=- cos x; y=图象形状完全相同的是.(填序号 );.解析 :y=sin x-1 的图象是将y=sin x 的图象向下平移1 个单位 ,没改变形状 ,y=- cos x 的图象是作了对称变换 ,没改变形状

4、,与 y= sin x 的图象形状相同, 完全相同 .而 y=| sin x|的图象 ,y=| cosx|的图象和 y=| sin x|的图象与y= sin x 的图象形状不相同.答案 :9.若函数 y=2cos x(0 x 2)的图象和直线 y= 2 围成一个封闭的平面图形 ,求这个封闭图形的面积 . 解: 观察图可知 :图形 S1 与 S2 ,S3 与 S4 是两个对称图形 ,有 S1=S 2,S3=S 4,因此函数 y= 2cos x 的图象与直线y= 2 所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC 的面积 .因为 |OA|= 2,|OC|= 2,所以 S 矩形 OABC = 22= 4.

5、故所求封闭图形的面积为4.10.作出函数y=- sin x,x -,的简图 ,并回答下列问题.(1) 观察函数图象 ,写出满足下列条件的 x 的区间 :y 0;y0 时 ,x(-,0);当 y cos x 成立的 x 的取值范围是 ()A.B.C.D.解析 :如图所示 (阴影部分 )时满足 sin x cos x.答案 :C4.在 0,2 内 ,不等式 sin x-的解集是.解析 :画出 y= sin x,x 0,2 的草图如下 :;.因为 sin,所以 sin=-,sin=-.即在 0,2 内 ,满足 sin x=-的是 x=或 x=.可知不等式sinx-的解集是.答案 :5.(2016 南

6、南阳一中期末河) 函数 y=的定义域是.解析 :由题意 ,得2k+ x 2k+ ,k Z.故函数 y=的定义域为,kZ .答案 :,k Z6 利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是.解析 :y=2sin x 的部分图象如图.当 x= 时 ,ymax= 2,当 x= 时 ,ymin= 1,故 y 1,2 .答案 :1,27.画出正弦函数y= sin x(x R)的简图 ,并根据图象写出:(1) y 时 x 的集合 ;(2) - y 时 x 的集合 .;.解:(1) 画出 y=sin x 的图象 ,如图 ,直线 y= 在 0,2 上与正弦曲线交于两点 ,在 0,2区间内,y 时 x 的集合

7、为.当 x R 时,若 y ,则 x 的集合为.(2) 过两点分别作x 轴的平行线 ,从图象可看出它们分别与正弦曲线交于点(k Z),(k Z)和点(k Z),( k Z),那么曲线上夹在对应两点之间的点的横坐标的集合即为所求,故当 - y时 x 的集合为.8.作出函数y= 2+ sin x,x 0,2的简图 ,并回答下列问题:(1) 观察函数图象 ,写出 y 的取值范围 ;(2) 若函数图象与y=在 x 0,上有两个交点 ,求 a 的取值范围 .解 : 列表 :x02sin x 0 1 0 -1 02+sin2 3 2 12x描点、连线 ,如图 .(1)由图知 ,y 1,3 .;.(2)由图

8、知 ,当 2 3 时 ,函数图象与y=在 0,上有两个交点 ,即 -5 0)的最小正周期为,则 =.解析 :y= sin的最小正周期为T=,= 3.答案 :38.若 f(x)(x R)为奇函数 ,且 f(x+ 2)=f (x),则 f(4)=.解析 :f(x+ 2)=f (x),f(x)的周期为T= 2. f(4)=f (0) .又 f(x)( x R)为奇函数 ,f(0)= 0.f(4)= 0.答案 :09.判断函数 f(x)= cos(2-x) -x3sin x 的奇偶性 .解: 因为 f(x)= cos(2-x)-x3sinx= cos x-x3sin x 的定义域为 R ,f(-x)=

9、 cos(-x)-(-x)3sin (-x)= cos x-x3 sin x=f (x),所以 f( x)为偶函数 .10.若函数 f(x)是以 为周期的偶函数 ,且 f=1,求 f的值 .解: f(x)的周期为,且为偶函数 ,f=f=f=f.而 f=f=f=f= 1, f= 1.B 组1.下列是定义在R 上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是();.解析 :显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度图象重复出现.而 A,C 中每经过一个单位长度,图象重复出现 .B 中图象每经过2 个单位 ,图象重复出现 .所以 A,B,C 中函数是周期函数,D 中函数不是周期函数 .答案 :D2.函数

10、 y= cos(k 0)的最小正周期不大于2,则正整数 k 的最小值应是 ()A.10B.11C.12D.13解析 :T= 2,k 4.又 k Z,正整数 k 的最小值为 13.答案 :D3.将函数 y=sin x 的图象向左平移个单位 ,得到函数 y=f (x)的图象 ,则下列说法正确的是 ()A. y=f (x)是奇函数B.y=f (x)的周期为 C.y=f (x)的图象关于直线 x=对称D.y=f (x)的图象关于点对称解析 :y=sin x 的图象向左平移个单位 ,得 y=f (x)= sin= cos x 的图象 ,所以 f(x)是偶函数 ,A 不正确;f(x)的周期为2,B 不正确

11、 ;f(x)的图象关于直线x=k (k Z)对称 ,C 不正确 ;f(x)的图象关于点(k Z)对称 ,当 k=- 1 时,点为,故 D 正确 .综上可知选 D.答案 :D4.若函数 f(x)是以 为周期的奇函数 ,且当 x时 ,f(x) =cos x,则 f= ()A.B.C.-D.-解析 :f(x)的最小正周期是,f=f=f.又 f(x)是奇函数 ,f=-f=- cos=- .答案 :C5.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f (x+ 2),当 x 3,4 时 ,f(x)=x- 2,则有下面三个式子 :ff;ff;f(sin 1) sin cos 0,1 sin 1 cos

12、1 0,1 cos sin 0,ff,f(sin 1)f.答案 :6.已知函数y= sin x+ | sin x|.(1) 画出这个函数的简图 ;(2) 这个函数是周期函数吗 ?如果是 ,求出它的最小正周期 .解:(1) y= sin x+ | sin x|=函数图象如图所示.(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2重复一次 ,故函数的最小正周期是2.7.定义在 R 上的函数f( x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是,且当 x时,f(x)= sinx.(1) 求当 x - ,0 时 ,f(x)的解析式 ;(2) 画出函数 f(x)在 -,上的简图 ;(3) 求当 f(x)

13、 时 x 的取值范围 .解:(1) f(x) 是偶函数 ,f(-x) =f (x).当 x时 ,f(x)= sin x, 当 x时 ,f(x)=f (-x) =sin( -x)=- sinx.又当 x时 ,x+ ,f(x)的周期为, f(x)=f (+x )= sin(+x )=- sin x.当 x -,0时 ,f(x)=- sinx.(2)如图 .(3)在 0,内 ,当 f(x)= 时 ,x=,在 0,内 ,f(x) 时 ,x.;.又 f(x) 的周期为, 当 f( x) 时 ,x,k Z.正弦函数、余弦函数的性质(二 )A 组1.函数 y=| sin x|的一个单调增区间是()A.B.C

14、.D.解析 :画出 y=| sin x| 的图象即可求解.故选 C.答案 :C2.(2016 建三明一中月考福) y=cos(- x )的值域为 ()A.B. -1,1C.D.解析 :因为 - x ,所以 -.所以 - cos 1,y= cos( - x)的值域为.答案 :C3.函数 f( x)= 3sin在下列区间内递减的是()A.B. -,0C.D.解析 :令 2k+ x+ 2k+,k Z 可得 2k+x 2k+,k Z,函数 f(x)的递减区间为,k Z .从而可判断,在 x时 ,f(x)单调递减 .答案 :D4.函数 f( x)= 2sin( 0)的最小正周期为4,当 f(x)取得最小

15、值时,x 的取值集合为();.A.B.C.D.解析 :T= 4,= .f(x)= 2sin.由 x- = 2k- (k Z), 得 x= 4k-(k Z).答案 :A5.已知函数f(x)= sin,x R,下列结论错误的是()A. 函数 f(x)的最小正周期为2B.函数 f(x)在区间上是增函数C.函数 f(x)的图象关于y 轴对称D.函数 f(x)是奇函数解析 :f(x)= sin=- sin=- cos x,周期 T= 2,选项 A 正确 ;f(x)在上是增函数 ,选项 B 正确 ;定义域是 R ,f(-x)=- cos(-x)=- cos x=f (x), f(x)是偶函数 ,其图象关于

16、 y 轴对称 ,选项 C 正确 ,选项 D 错误 .答案 :D6.函数 y= sin |x|+ sin x 的值域是.解析 :y= sin |x|+ sin x=-2 y 2.答案 : -2,27.函数 y= cos x 在区间 -,a 上为增函数 ,则 a 的取值范围是.解析 :y= cos x 在 -,0 上为增函数 ,又在 -,a上递增 , -,a? -,0. a 0.又 a- ,- a 0.答案 :(-,08.若函数 f(x)= sin x(0 2)在区间上单调递增 ,在区间上单调递减 ,则 =.;.解析 :由题意知函数f( x)在 x= 处取得最大值, = 2k+ ,= 6k+ ,k

17、 Z .又 0 0)的最小正周期为.(1) 求 f(x)在上的值域 ,并求出取最小值时的x 值 ;(2) 求 f(x)的单调递增区间 .解: 由已知得=,= 1,f(x)= sin.(1)当 x时 , 2x+.-sin 1.f(x) 值域为.当 2x+时 ,f(x)取最小值 - , x= 时 ,f( x)取最小值 .(2)令 2k- 2x+ 2k+ (k Z),得 k- x k+ (k Z).f(x)的递增区间为(k Z).10.已知函数f(x)= 2asin+a+b 的定义域是,值域是 -5,1, 求 a,b 的值 .解: 0 x , 2x+.- sin1.a 0 时 ,解得a 0 时 ,解

18、得因此 a= 2,b=- 5 或 a=- 2,b= 1.B 组1.若 0 ,a=sin,b=sin,则()A. abC.ab;.解析 :0 , + +.而正弦函数y=sin x 在 x上是增函数 ,sin sin.sinsin,即 a 1,0 x 2,则函数 y= sin2x+ 2asin x 的最大值为 ()A.2 a+ 1B.2a- 1C.-2a-1D.a2解析 :令 sin x=t ,则 -1 t 1,原函数变形为y=t 2+2at= (t+a )2-a2. a 1,当 t= 1 时 ,ymax = 12+2a1= 2a+ 1,故选 A .答案 :A3.函数 y= cos的单调递增区间是

19、()A.,k ZB.,k ZC.,k ZD.,k Z解析 :函数 y= cos= cos,令 2k- 2x- 2k,k Z,得 k- x k+ ,k Z ,故单调递增区间为,k Z .答案 :B4.函数 y= 2sin-cos(x R )的最小值为.解析 :,y= 2sin-cos;.= 2cos-cos= cos. ymin=- 1.答案 :-15.若函数 f(x)= sin x( 0)在区间上单调递增 ,则当 取最大值时 ,函数 f(x)= sin x 的周期是.解析 :令 2k- x 2k+ 可得 x,k= 0 时,f(x)在上递增 .又 f(x)在上递增 ,解得 0 .的最大值为. 周

20、期 T=.答案 :6.对于函数f(x)=给出下列四个命题:该函数是以为最小正周期的周期函数;当且仅当x= +k (k Z)时 ,该函数取得最小值-1;该函数的图象关于直线x=+ 2k(k Z)对称 ;当且仅当2kx+ 2k(k Z)时 ,0f (x).其中正确命题的序号是.解析 :画出 f(x)在一个周期 0,2上的图象 .由图象知 ,函数 f(x)的最小正周期为2,在 x= +2k(k Z)和 x=+ 2k(k Z) 时 ,该函数都取得最小值 ,为 -1,故 错误 .由图象知 ,函数图象关于直线x=+ 2k(k Z)对称 ,在 2kx+ 2k(k Z)时 ,0 0,| |,若函数 y=f (

21、 x)的图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线 x= 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴.(1) 求 的值 ;(2) 求 y=f (x)的单调递增区间 ;(3) 若 x,求 y=f (x)的值域 .解:(1) 因为函数y=f (x) 的图象与x 轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T= ,所以= 2.(2)因为直线x= 是函数 y=f (x)图象的一条对称轴,所以 2 + =k + ,k Z,=k +,k Z.又 | 0)的图象的相邻两支截直线y= 所得线段长为 2,则 a 的值为 ()A.B.C.D.1解析 :由已知得 f(x)的周期为 2, = 2. a= .答案

22、 :A4.函数 f( x)=的奇偶性是 ()A. 是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数解析 :f(x)的定义域为,;.f(-x)=-f (x). f(x)是奇函数 .答案 :A5.下列图形分别是y=| tan x|;y= tan x;y= tan(-x); y=tan |x| 在 x内的大致图象,那么由 a到 d 对应的函数关系式应是()A. B. C.D.解析 :y=tan(-x)=- tan x 在上是减函数 ,只有图象 d 符合 ,即 d 对应 .答案 :D6.已知函数y= 3tan的最小正周期是,则 =.解析 :由题意知 ,T=,= 2.答案 :27

23、.函数 y= 3tan的对称中心的坐标是.解析 :由 x+,kZ ,得 x=,k Z ,即对称中心坐标是(k Z) .答案 :( k Z)8.满足 tan-的 x 的集合是.;.解析 :把 x+看作一个整体 ,利用正切函数的图象可得k- x+k +,k Z,解得 k- xk + ,kZ .故满足 tan -的 x 的集合是.答案 :9.求函数 y=tan的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.解: 由 4x- k+ ,得 x,所求定义域为,值域为 R,周期 T= .又 f没有意义 ,f= tan=0, f(x)是非奇非偶函数 .令 - +k 4x-+k ,k Z,解得x 0),y=f

24、 (x)的图象与直线y=2 的两个相邻交点的距离等于2,求 f( x)的单调递增区间.解 : 由题意知 ,函数 f(x)的周期为 2,则 = 2,由于 0,故 = .所以 f(x)= 2tan.再由 k-x+ k + ,k Z,得 2k- x 2k+ ,k Z,即函数 f(x)的单调递增区间为,k Z .11.求函数 y=- tan2x+ 4tan x+1,x的值域 .解 : - x ,-1 tan x 1.令 tan x=t ,则 t -1,1 . y=-t 2+ 4t+ 1=- (t-2)2 +5.;.当 t=- 1,即 x=-时 ,ymin=- 4,当 t= 1,即 x=时 ,ymax=

25、 4.故所求函数的值域为- 4,4.B 组1.函数 y=的定义域为 ()A.B.C.D.解析 :由题意知即得故 x (k Z).答案 :A2.函数 f( x)= tan与函数 g(x)= sin的最小正周期相同,则 = ()A. 1B.1C.2D.2解析 :函数 g(x)的周期为= , = , = 1.答案 :A3.设 a= lotan 70 ,b= losin 25 ,c=,则有 ()A. abcB. bcaC.cbaD.ac tan 45 = 1, a= lotan 70 0.又 0sin 25 lo= 1.;.而 c=(0,1), bca.答案 :D4.已知函数y= tan x 在内是减

26、函数 ,则 的取值范围为.解析 :由题意可知 0,又.故 -1 0.答案 :-1 0,| |,由 可得答案 :2-6.方程-tan x=0 在 x内的根的个数为.解析 :分别画出 y=与 y= tan x 在 x内的图象 ,如图 .易知 y=与 y= tan x 在相应区间内有2 个交点 ,原方程有2 个根 .;.答案 :27.函数 f( x)= tan(3x+ )图象的一个对称中心是,其中 0 ,试求函数 f(x)的单调区间 .解: 由于函数 y=tan x 的对称中心为,其中 k Z,则 + =,即 =.由于 0 ,所以当 k= 2时 ,= .故函数解析式为f(x)= tan.由于正切函数

27、y=tan x 在区间(k Z)上为增函数 ,则令 k- 3x+ k + ,解得x,k Z,故函数的单调增区间为,k Z.没有单调减区间 .8.设函数 f(x)= tan.(1) 求函数 f(x)的定义域、周期和单调区间 ;(2) 求不等式 -1 f(x) 的解集 ;(3) 作出函数 y=f (x)在一个周期内的简图 .解:(1) 由+k (k Z),得 x + 2k,f(x)的定义域是.= ,周期 T= = 2.由 - +k +k (k Z),得 -+ 2kx 0, 0)在一个周期内的简图时,列表如下 :x+ 02xy02 0-2 0则有 ()A. A= 0,=,= 0B. A= 2,= 3

28、,=C.A= 2,= 3,=-D.A= 1,= 2,=-解析 :由表格得 A= 2,= 3.x+ = 3x+ .当 x= 时 ,3x+ = + = 0,=- .答案 :C;.3.将函数 f(x)= sin x(其中 0)的图象向右平移个单位长度 ,所得图象经过点,则 的最小值是()A.B.1C.D.2解析 :把 f(x)= sin x 的图象向右平移个单位长度得y=sin的图象 .又所得图象过点,sin= 0.sin= 0,=k (k Z).= 2k(k Z). 0, 的最小值为2.答案 :D4.把函数 y=sin的图象向左平移个单位 ,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2 倍 ,

29、横坐标不变 ,得到函数g(x)的图象 ,则函数 g( x)为 ()A. 最大值为的偶函数B.周期为 的偶函数C.周期为 2,且最大值为2 的函数D.最大值为2 的奇函数解析 :y=siny= sin= sin 2xy= 2sin 2x,即 g( x)= 2sin 2x,故 g(x)的最大值为2,周期 T= ,g(x)为奇函数 ,故选 D.答案 :D5.(2016 川成都石室中学期中四)为了得到函数y= 3cos 2x 的图象 ,只需把函数y=3sin的图象上所有的点 ()A. 向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度解析 :函数 y= 3cos 2x= 3sin= 3sin,把函数 y= 3sin的图象上所有的点向左平移个单位长度 ,可得函数y= 3cos 2x 的图象 .;.答案 :D6.把 y= sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的倍,得到的图象 .解析 :将 y= sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得 y= sin 3x的图象 ,纵坐标再缩短为原来的倍得到 y= sin 3x 的图象 .答案 :y= sin 3x7.已知函数f(x)= sin( 0)的最小正周期为,为了