高一数学教案：线段的定比分点

1、教学案例课题：线段的定比分点教学目的：1 掌握线段的定比分点坐标公式及线段的中点坐标公式；2 熟练运用线段的定比分点坐标公式及中点坐标公式；3 理解点 p 分有向线段 p1 p2 所成比的含义；4 明确点 p 的位置及范围的关系教学重点：线段的定比分点和中点坐标公式的应用教学难点：用线段的定比分点坐标公式解题时区分0 还是授课类型：新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2向量加法的交换律：a + b = b +a3向量加法的结合律：( a +b ) + c = a + (b

2、 + c )4向量的减法向量a 加上的 b 相反向量， 叫做 a 与 b的差 即： ab = a + ( b)5差向量的意义：oa = a,ob = b, 则 ba = ab即 a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量a 的终点的向量6实数与向量的积：实数与向量a 的积是一个向量，记作：a（1） | a |=| | a | ；（ 2） 0时 a 与 a 方向相同； 0(内分 )(外分 ) 0 ( -1)( 外分 ) 0(-1 0)2 定比分点坐标公式：若 点p (x1,y1)， (x2,y2) ， 为 实 数 ， 且 p1 p pp2， 则 点 p 的 坐 标 为x1x2 , y1y2（

3、11），我们称为点 p 分 p1 p2 所成的比设 p1 p = pp2点 p1, p, p2 坐标为 (x1,y1) (x,y) (x2,y2) ，由向量的坐标运算p1p =(x-x1,y-y1)， pp2 =( x2-x, y2-y) p1 p = pp2 (x-x1,y-y1) = ( x2-x, y2-y)第 2页共 7页xx1x21xx1( x2x)yy1y2 yy1( y 2y)1定比分点坐标公式 (1)点 p 分 p2 p1所成的比与点p 分 p p所成的比是两个不同的比，要注意方向123 点 p 的位置与的范围的关系：当时，p1 p 与 pp2同向共线，这时称点p 为 p1p2

4、 的内分点特别地，当时，有p1 p pp2 ，即点p 是线段之中点，其坐标为x1x2 , y1y2（ 22）当 (1)时， p1p 与 pp2反向共线，这时称点 p 为 p1 p2 的外分点探究：若、是直线l 上的两点，点 p 是 l 上不同于、的任意一点，则存在一个实数，使p1 p pp2 ，叫做 p 分有向线段 p1p2 所成的比而且，当点 p 在线段上时，；当点p 在线段或 2 1 的延长线上时，对于上述内容，逆过来是否还成立呢?(1)若，则点p 为线段的内分点；(2)若，则点p 为线段的外分点一般来说， (1)是正确的，而(2)却不一定正确 这是因为，当时，定比分点的坐标公x1 x2y

5、1y2式1和 1显然都无意义，也就是说，当时，定比分点不存在由此可见，当点p 为线段的外分点时，应有且4 线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点o，设 op， op，12由于 p p op op op， pp op op op1122且有 p1 p2 pp2 ，所以 op-a= (b- op ) 即可得ab1bop = 11a1这一结论在几何问题的证明过程中应注意应用三、讲解范例：第 3页共 7页例 1 已知 a(1，3)，b(， )，（，）为三角形的三个顶点， l、m 、n 分别是 bc、ca、 ab 上的点，满足 bl bc cm ca naab，求 l、 m、 n 三点的坐标分

6、析：所给线段长度的比，实为相应向量模的比，故可转换所给比值为点 l、m 、 n 分向量 bc 、 ca 、 ab 所成的比，由定比分点坐标公式求三个点的坐标另外，要求l、 m、 n 的坐标，即求ol 、 om 、 on 的坐标 (这里 o 为坐标原点 )，为此，我们可借用定比分点的向量形式下面给出第二种解法解：（，） ，（，） ，（，） ， oa（，） ， ob （，） ， oc （，）又可得： l 分 cb ， m 分 ac ， n 分 ba 所成的比均为111221 ol 1oc 1ob 3（，）3（ -2，0 ）=（ - 3， 3）11255om = 1oa +1oc= 3(1,3)+

7、3（，）（ 3 ， 3 ）112on 1ob 1oa 3 （，）3（，）（，）2155（ 3 ， 3 ）、（ 3 ， 3 ）、（，）为所求上述两种解题思路，各有特色，各有侧重，望同学们比较选择，灵活应用例 2 已知三点 a(0， 8)， b(， )，（，） ，点内分 ab 的比为，e 点在 bc 边上，且使 bde 的面积是abc 面积的一半，求de中点的坐标分析：要求 de 中点的坐标，只要求得点d、 e 的坐标即可，又由于点 e 在 bc 上， bde 与 abc有公共顶点b，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解db14ab 3解：由已知有 ad 3 db ，则得s又 sbd

8、eabc112 ，而2 db be sindbe，第 4页共 7页12 ab bc sin abc，且 dbe abcdbbe1be2abbc2bc3，即得：be2bc，点 e 分 bc 成比又点 e 在边 bc 上，所以由定比分点坐标公式有xe42521202(3)2ye12,即（，） ，又由01(4)3xd1113yd86113,有 d（，）记线段 de 的中点为 m(x,y), 则2(1)1x222621y2,即 m（ 2 ，）为所求四、课堂练习：1已知点 a(， - )，点（，） ，延长 ab 到 p，使 ap pb ，求点 p的坐标解：因为点 p 在 ab 上的延长线上， p 为 a

9、b 的外分点，所以，ap pb ，又根据 ap pb ，可知，由分点坐标公式易得p 点的坐标为（，） 12已知两点p（，），（，） ，求点 p( 2 ， )分 p1 p2 所成的比及的值第 5页共 7页解：由线段的定比分点坐标公式得13 (8)52117y2349y1，解得22五、小结六、课后作业：1 已知点 a 分有向线段 bc 的比为2，则在下列结论中错误的是（）1a 点 c 分 ab 的比是 - 3b 点 c 分 ba 的比是 -32c 点 c 分 ac 的比是 - 3d 点 a 分 cb 的比是 27p1 p2 所成的2 已知两点 p（，） 、（，） ，点 p（ 3 ，）分有向线段比为

10、，则、的值为（）1111a 4 ，b4 ，c 4 ，d ， 83 abc的两个顶点 a(3，7)和 b(-2，5)，若 ac 的中点在 x 轴上， bc的中点在 y 轴上，则顶点 c 的坐标是（）a (2， -7)b (-7， 2)c (-3， -5)d (-5， -3)4已知点 a(x,2),b(5,1),c(-4,2x)在同一条直线上，那么x=5 abc的顶点 a(2， 3)， b(-4， -2)和重心 g(2， -1)，则 c 点坐标为6 已知 m 为1abc 边 ab 上的一点，且8 ，则m 分 ab 所成的比为7 已知点 a(-1,-4) 、b(5,2)，线段 ab 上的三等分点依次为p、，求、点的坐标以及 a、 b 分 p1p2 所成的比y2 x88 过 p（，）、（，）的直线与一次函数55 的图象交于点p，求 p分 p p 所成的比值129 已知平行四边形abcd一个顶点坐标为a(-2,1)，一组对边 ab、cd 的中点分别为m(3 ，0)、