高三数学教案：2.3函数的极限(二)

1、课题： 2.3 函数的极限 (二 )教学目的：1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点： 掌握当xx0 时函数的极限教学难点： 对“ xx0 时，当 xx0 时函数的极限的概念”的理解授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：上节课我们学习了当x 趋向于即 x时函数 f(x)的极限 .当 x 趋向于时，函数 f(x)的值就无限趋近于某个常数a.我们可以把看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点 x0，当 x 趋向于 x0 时，函数 f(

2、x)的值是否会趋近于某个常数a 呢？教学过程 ：一、复习引入：1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 an 的项 an 无限趋近于 某个常数 a （即ana 无限趋近于0），那么就说数列 an 以 a 为极限， 或者说 a 是数列 an 的极限 记作lim ana ，读作“当 n 趋向于无穷大时，an 的极限等于a ” “ n”表示“ n 趋向于n无穷大”，即 n 无限增大的意思lim ana 有时也记作：当n时， ana n2. 几个重要极限：（ 1） lim 10（ 2） lim cc （ c 是常数）nnn（ 3）无穷等比数列 q n （ q1）的极限是0，即 l

3、im q n0( q 1)n3. 函数极限的定义:(1) 当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f ( x) 无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f ( x) 的极限是 a.记作： lim f ( x)= a，或者当 x +时， f ( x) a.x(2) 当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f ( x) 无限趋近于一个常数a，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数f ( x) 的极限是a.记作 lim f ( x)= a 或者当 x时， f ( x) a.x(3) 如果 lim f ( x)= a 且 lim f ( x)= a，那么就说当x 趋向于无穷大时，函

4、数f ( x) 的极xx第 1页共 5页限是，a记作： lim f ( x)= a 或者当 x时， f ( x) a.x4. 常数函数 f ( x)= c.( x r) ，有 lim f ( x)= c.xlim f ( x) 存在，表示 lim f ( x) 和 lim f ( x) 都存在，且两者相等. 所以 lim f ( x) 中的既有 +xxxx，又有的意义，而数列极限liman 中的仅有+的意义x二、讲解新课：1. 研究实例(1) 探讨函数 y x2 ，当 x 无限趋近于 2 时的变化趋势当 x 从左侧趋近于2 时，记为： x2x1.11.31.51.71.91.991.9991.

5、99992y=x21.211.692.252.893.613.96013.9963.99964当 x 从右侧趋近于2 时 ,记为： x2.x2.92.72.52.32.12.012.0012.00012y=x 28.41.7.296.255.254.414.044.0044.00044发现（ 左极限） lim x22 ,（右极限）lim x22 , 因此有 lim x22 x2x2x2(2)我们再继续看yx 21x 无限趋近于 1（ x1 ）时的变化趋势 :x, 当1x21x1,( x1) , 当 x 从左侧趋近于1 时，即 x 1时， y2 y1x当 x 从右侧趋近于1 时 ,即 x1 时，

6、 y2 即（ 左极限） limx21x1lim ( x 1)2 ，x1x1（ 右极限）limx21lim (x1)2x1x1x 1limx21lim (x1) 2x1x 1x1第 2页共 5页x1(x0)(3)分段函数f (x)0( x0)当 x0 的变化趋势 .x1(x0)y1ox-1x 从 0的左边无限趋近于0，则 f (x) 的值无限趋近于1.即 limf ( x)1x0x 从 0的右边无限趋近于0，则 f (x) 的值无限趋近于1. 即 limf ( x)1x0可 以 看 出 limf ( x)lim f ( x) ， 并 且 都 不 等 于 f (0)0 象 这 种 情 况 ， 就

7、称 当x x0x x0x 0 时， f ( x) 的极限不存在 2. 趋向 于 定 值 的 函 数 极 限 概念 ： 当 自 变 量 x 无限趋近于x0 （ xx0 ）时，如果函数y f ( x) 无限趋近于一个常数a ，就说当 x 趋向 x0 时，函数 yf (x) 的极限是 a ，记作lim f (x) ax x0特别地， lim cc ； lim xx0x x0xx03. lim f ( x) alimf ( x)limf (x) ax x0x x0xx0其 中 lim f ( x)a 表 示 当 x 从左侧趋近于x0 时的 左极限 ， limf ( x) a 表 示 当 x 从右x x

8、0x x0侧趋近于 x0 时的 右极限三、讲解范例：例 1 求下列函数在x 0 处的极限x 21x2x , x0（ 2 ） lim（ 3 ） f ( x)0, x0（ 1） limxxx 0 2x 21x 01 x2, x0解：（ 1） limx21limx112x 1x 0 2xx 0 2x 1x1, limx1x（ 2 ） limxlim不存在x 0 xx 0x0 x第 3页共 5页2x, x0（ 3） f (x)0, x01 x2 , x 0limf ( x)lim(1x2 )1,limf ( x)lim 2x1x 0x0x0x 0limf ( x)lim f ( x) 1limf (x

9、)1 x 0x0x0y2 x1+x 21ox四、课堂练习：1y2x 1填写下表，并画出函数的图象，观察当 x 无限趋近于1时的变化趋势，对于函数说出当 x1时函数 y2x 1的极限x0.10.90.990.9990.99990.9999912对于函数x1.51.11.011.0011.00011.000011y=2x 1y=2x 1yx21 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于 3时的变化趋势，说出当x3 时 函 数y x2 1的极限x2.92.992.9992.99992.999992.99999933. 求 如 下x 23.13.013.0013.00013.000013.0000013y=x 1极限：y=x2 1limx 21;lim(x1)3(13x); lim 2(sincosx2)x 1x 22x3xxx 1 2x 2x 0x2lim12x3lima 2xa0） ;1x2;x（ a limx 4x 0x0 x答案： limx2 1limx 12 lim (x1)3(13x)lim x33x 1 2x2 x 1x 1 2x 1 3x 0x2 2x3x 0 1 2xx2)212x3