高三数学教案：10.3组合(二)

1、 题 ： 10 3 组合(二 )教学目的：1 掌握 合数的两个性 ，并能运用 合数的性 行化 ；2. 一步理解排列与 合的区 和 系，熟 掌握 合数的 算公式，并且能 运用公式解决一些 的 用 教学重点： 合数的性 教学 点： 合数的性 授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 教学 程 ：一、复 引入：11 分 数原理： 做一件事情，完成它可以有n 法，在第一 法中有m1 种不同的方法，在第二 法中有m2 种不同的方法，在第n 法中有 mn 种不同的方法 那么完成 件事共有nm1m2lmn 种不同的方法2. 分步 数原理： 做一件事情，完成它需要分成n 个步 ，做第一步有 m1

2、 种不同的方法，做第二步有m2 种不同的方法，做第n 步有 mn 种不同的方法，那么完成 件事有 n m1 m2lmn种不同的方法3排列的概念： 从 n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元素（ 里的被取元素各不相同）按照一定的 序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列4排列数的定 ：从 n 个不同元素中，任取m （ m n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出m 元素的 排列数 ，用符号anm 表示5排列数公式：anmn( n 1)(n 2)l( nm1) （ m, n n, m n ）61 乘： n! 表示正整数1 到 n 的 乘 ，叫做n 的 乘 定

3、0!17排列数的另一个 算公式：anm =n!( nm)!81 合的概念： 一般地，从 n 个不同元素中取出m mn 个元素并成一 ，叫做从 n个不同元素中取出m 个元素的一个 合 明： 不同元素；“只取不排”无序性；相同 合：元素相同9 合数的概念： 从 n 个不同元素中取出mm n 个元素的所有 合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 合数 用符号 c m 表示n第 1页共 4页10组合数公式：manmn(n1)(n2)l (n m1)cnammm!或 c mnn!(n,mn ,且 mn)m!(n m)!二、讲解新课：12 组合数的性质1： cnmc nn m 一般地，从 n

4、 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m 个元素因为从n 个不同元素中取出 m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应，所以从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数， 等于从这 n 个元素中取出 nm个元素的组合数， 即：c nmc nn m 在这里，主要体现： “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想证明： cnn m(nn!(nn!m)! nm)! m!(n m)!又 c nmn!m)!， cnmcnn mm!( n说明：规定：c n01 ；等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；此性质作用：当mn 时，计算 cnm 可变为计算 cnn m ，能够使运算简化 .2例

5、如 c 20022001 c 200220022001 c 20021=2002； c nxc nyx y 或 x y n 2组合数的性质2： c nm 1 c nm +c nm 1 一般地，从 a1 , a2 , an 1 这 n+1 个不同元素中取出m个元素的组合数是 c nm1 ，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1 ，一类不含有 a1 含有 a1 的组合是从 a2 , a3 , an 1这 n 个元素中取出m1 个元素与 a1 组成的，共有c nm 1个；不含有 a1 的组合是从a2 , a3 , , an 1 这 n 个元素中取出m个元素组成的，共有c nm 个根据分类计数原理，可

6、以得到组合数的另一个性质在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想， “含与不含其元素”的分类思想证明： c nmcnm 1n!n!1)!m! (n m)! (m1)! n(m(n m1m)n!(n1)!m! (nm1)!m! (nm1)!n! (nm1)n! mm! (nm1)!c nm 1第 2页共 4页 c nm 1 c nm + c nm 1 说明： 公式特征： 下标相同而上标差1 的两个组合数之和，等于下标比原下标多1 而上标与大的相同的一个组合数；此性质的作用：恒等变形，简化运算三、讲解范例：例 1一个口袋内装有大小不同的7个白球和 1 个黑球，（ 1）从口袋内取出 3 个球，共有多少

7、种取法？（ 2）从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？（ 3）从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（ 1） c8356 , 或 c 83c72c 73 ，；（2） c 7221 ；（ 3） c7335 例 2（ 1）计算： c 73c 74c85c 96 ；（ 2）求证： c mn 2 c mn + 2c mn 1 +cmn 2 解：（ 1）原式c84c85c96c95c96c106c104210 ；证明：（ 2）右边(cmnc mn 1 )(c mn 1cmn2 )cmn1cmn 11c mn2左边例 3 解方程：（ 1） c13x1c132x

8、3 ；（ 2）解方程： c xx22c xx231 ax33 10解：（ 1）由原方程得x1 2x3或 x12x313， x4或 x5，1x 113又由 12 x313 得 2x8且 xn，原方程的解为x4或 x5xn上述求解过程中的不等式组可以不解, 直接把 x4 和 x5 代入检验 , 这样运算量小得多 .（2）原方程可化为 cxx321ax33，即 cx531 ax33 ，(x3)!( x 3)! ，10105!( x2)!10 x!11，2)!10 x( x 1)( x120( x2)! x2x120 ，解得 x4 或 x3，经检验： x4是原方程的解四、课堂练习：1方程 c28xc2

9、83x 8 的解集为（）a 4b 9c d 4,92式子 c10m 2c1017 m （ mn ）的值的个数为（）第 3页共 4页a 1b 2c 3d 43化简： cm9cm91 cm8；4若 cn10cn8，则 c20n的值为；5有 3 张参观券，要在5 人中确定 3 人去参观，不同方法的种数是；6要从 5 件不同的礼物中选出3 件分送 3 位同学，不同的方法种数是；7 5 名工人分别要在3 天中选择1 天休息，不同方法的种数是；8集合 a 有 m 个元素，集合 b 有 n 个元素，从两个集合中各取出1 个元素，不同方法的种数是9从 1,2,3,l, 20 这 20个数中选出2 个不同的数，使这两个数的和为偶数，有_种不同选法10正 12 边形的对角线的条数是11已知 c17x 2c172x ，求 c8x 的值；12解方程： c42 xc42 x 1c65c6613 6 人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？14在所有的三位数中，各位数字从高到低顺次减小的数共有个答案： 1.d2.a3. 04. 1905. 106. 607. 2438.mn9. 9010. 5411. 28或者 5612.