高三数学教案：极限的概念

1、极限 的 概 念（ 4 月 27 日）教学目的 ：理解数列和函数极限的概念；教学重点 ：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点 ：数列和函数极限的理解教学过程 ：一、 例引入：例： 国 代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用 一句 ： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。 ”也就是 一根 一尺的木棒，每天截去一半， 的 程可以无限制地 行下去。（ 1）求第 n 天剩余的木棒 度 an (尺 )，并分析 化 ； （ 2）求前 n 天截下的木棒的 度 bn (尺 )，并分析 化 。 察以上两个数列都具有 的特点：当 数n 无限增大 ，数列的 an 无限 近于某个常数 a（即 ana 无限 近于0）。an

2、无限 近于常数a，意指“ an 可以任意地靠近 a，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我 所希望的那么近。”即“ 点 an 到 a的距离 ana 可以任意小。二、新 授1、数列极限的定 ：一般地， 如果当 数 n 无限增大 ，无 数列 an 的 无限 近于某个常数 a（即an an a 无限 近于0），那么就 数列 an 的极限是 a， 作lim anan注：上式 作“当n 向于无 大 ，an 的极限等于a”。“ n”表示“ n 向于无 大”，即 n 无限增大的意思。 lim ana 有 也 作当 n ， anan引例中的两个数列的极限可分 表示 _ ， _思考：是否所有的无 数列

3、都有极限？例 1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有， 明理由（ 1） 1，1 ， 1 ，1 ， ；（2） 1 ， 2 ， 3 ，n，；2 3n2 34n1（ 3） 2， 2， 2， 2，；（ 4） 0.1， 0.01， 0.001， ( 0.1) n ，；（ 5） 1,1， 1， ( 1) n ，；第 1页共 4页注： 几个重要极限：（ 1） lim 10（2） lim cc （ c 是常数）nnn（ 3）无穷等比数列 qn （ q1 ）的极限是 0 ，即 ： lim q n0( q 1)n2、当 x时函数的极限（ 1）画出函数 y1 的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，

4、 函数值的变化情况：x1函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，函数 yyx的极限是 0 ，记作： lim 10xx一般地 ，当自变量 x 取正值且无限增大时，如果函数xoy f ( x) 的值无限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于正无穷大时， 函数 yf (x) 的极限是 a，记作： limf ( x)ax也可以记作，当 x时， f ( x)a（ 2）从图中还可以看出，当自变量1的值无限趋x 取负值而 x 无限增大时，函数 yx近于 0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数y1 的极限是0，记作： lim 10xxx一般地 ，当自变量 x 取负值而x 无限增大时，如果函数

5、yf ( x) 的值无限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数yf ( x) 的极限是 a，记作： lim f (x)ax也可以记作，当 x时， f ( x)a（ 3）从上面的讨论可以知道， 当自变量 x 的绝对值无限增大时，1的值都无限函数 y1x1趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数y0，记作 lim的极限是0xxx一般地 ，当自变量 x 的绝对值无限增大时，如果函数 yf ( x) 的值无限趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于无穷大时，函数yf ( x) 的极限是 a，记作： lim f ( x)ax也可以记作，当 x时， f (x)a特例：对于函数 f (

6、x)c（ c 是常数），当自变量 x 的绝对值无限增大时， 函数 f (x)c的值保持不变，所以 当 x 趋向于无穷大时，函数f ( x)c 的极限就是 c ，即lim c cx第 2页共 4页例 2：判断下列函数的极限：（ 1） lim ( 1 ) x（ 2） lim 10 xx2x（ 3） lim1（4） lim 4x2xx三、 堂小 1、数列的极限2、当 x 函数的极限四、 与作 1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（ 1） 1，1 ， 1 ，1， ；（ 2）7， 7， 7， 7，；49n2（ 3）1 , 1 , 1 , , (1) n,；2482n（ 4） 2， 4，6， 8，

7、2n，；（ 5） 0.1， 0.01，0.001，1，；1 , 2 ,，110 n（ 6） 0，1 ，；23n（ 7）1 ,1 , 1 , ， (1)n11，；234n1（ 8）1,4,9, ， n2，；5555（ 9） 2,0， 2， (1) n1,，2、判断下列函数的极限：（ 1） lim 0.4 x（ 2） lim 1.2 xxx（ 3） lim(1)（ 4） lim1x4xx（ 5） lim ( 1 ) x（ 6） lim ( 5) xx10x4（ 7） lim1（ 8） lim 5x21xx 充： 3、如 ，在四棱 p-abcd中，底面 abcd是矩形， pa平p面 abcd， m、 n 分 是 ab、 pc的中点。（