高三数学教案：10.4二项式定理(三)

1、 题 ： 10 4 二项式定理 (三 )教学目的：1 理解和掌握二 式系数的性 ，并会 的 用；2. 初步了解用 法是解决二 式系数 ；3. 能用函数的 点分析 理二 式系数的性 ，提高分析 和解决 的能力教学重点： 二 式系数的性 及其 性 的理解和 用教学 点： 二 式系数的性 及其 性 的理解和 用授 型： 新授 安排： 1 课时教具：多媒体、 物投影 教学 程 ：一、复 引入：1二 式定理及其特例：（1） ( a b) ncn0ancn1 anb lcnr a n r brl cnnbn (n n ) ，（2） (1 x) n1 cn1x l c nr xrl xn .2二 展开式的通

2、 公式： tr 1cnr an r br3求常数 、有理 和系数最大的 ，要根据通 公式 r 的限制；求有理 要注意到指数及 数的整数性二、 解新 ：11 二 式系数表（ 三角）( ab)n 展开式的二 式系数，当n 依次取 1,2,3 ，二 项 式系数表，表中每行两端都是 1，除 1以外的每一个数都等于 它 肩上两个数的和2二 式系数的性 ：( ab)n 展开式的二 式系数是cn0 ， cn1 ， cn2 ， cnn cnr可 以 看成以 r 自 量的函数 f (r )定 域是 0,1,2, l , n ，例当 n6 ，其 象是7 个孤立的点（如 ）（1） 称性 与首末两端“等距离”的两个二

3、 式系数相等（cnmcnn m ）直 rn是 象的 称 21)(n 2) l（2）增减性与最大 cnkn(n(nk1)cnk 1nk 1 ，k !k cnk 相 于 c nk 1 的增减情况由n k1 决定， nk11kn1 ，kk2第 1页共 4页当 kn1时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取2得最大值；nn 1n 1当 n 是偶数时，中间一项cn2 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 cn2， cn2取得最大值（3）各二项式系数和： (1 x) n1 c n1 x l cnr xrl xn ，令 x 1 ，则 2ncn0cn1cn2l cnrl cnn三、

4、讲解范例：例 1在 (ab)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证 明 ： 在 展 开 式 (a b)ncn0ancn1 anb lcnr an r brl c nnbn (n n ) 中 ， 令a 1,b1 ，则 (11)nc n0cn1cn2c n3 l( 1)n cnn ，即 0 (cn0cn2l ) (c n1c n3l ) ， cn0cn2l cn1cn3 l ，即在 (ab)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明： 由性质（ 3）及例 1知 cn0cn2lc n1cn3l2n 1.例 2 已知 (12x)7a0a1xa2 x

5、2la7 x7，求：（1） a1a2la7 ；（ 2） a1a3 a5a7 ； （3） | a0 | | a1 | l | a7 | .解：（ 1）当 x1 时， (12x)7(12) 71，展开式右边为a0a1a2la7 a0a1a2l a71，当 x0 时， a01， a1a2la71 12 ，（2）令 x1 ， a0a1a2l a71令 x1 ， a0a1a2a3a4a5a6a737 得： 2(a1a3a5a7 )137 ， a1a3a5 a71 37.2第 2页共 4页（3）由展开式知：a1, a3 , a5 , a7 均 ， a0 , a2 ,a4 , a8 均 正，由（ 2）中 +

6、得： 2(a0a2a4a6 )137 ， a0 a2a4a6137，2 | a0 | | a1 | l| a7 | a0a1a2a3 a4a5 a6a7( a0 a2a4a6 ) (a1a3a5a7 ) 37例 3. 求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x)10 展开式中 x3 的系数解： (1 x ) (12（110(1 x )1(1x )10 x)x）1 (1x )= ( x1)11( x1) ，x原式中 x3 分子中的x4 ， 所求系数 c117例 4. 在 (x2+3x+2) 5 的展开式中，求 x 的系数解： (x 23x2) 5(x1)5 (x2)5在 (x+1)5 展开式中，

7、常数 1，含 x 的 c155x ，在 (2+x)5 展开式中，常数 25=32，含 x 的 c15 2 4 x80 x展开式中含 x 的 1 (80x )5x (32)240x ，此展开式中 x 的系数 240例 5. 已知 (x22 ) n 的展开式中，第五 与第三 的二 式系数之比 14；3，求展开式x的常数 解：依 意 c n4 : c n214 : 33c n414c n2 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=102 r105r 第 r+1 常数 ，又r10 rrr2tr 1c10 ( x )(x 2 )( 2) c10 x令 105r0r2 ，2t2

8、1c 102 (2)2180.此所求常数 180四、 堂 ：第 3页共 4页（1） 2x 5y20，各项系数的和为，二项的展开式中二项式系数的和为式系数最大的项为第项；（2） (x1 )n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为x（3） cn0+ 2cn1+4cn2+l2n c nn729 ，则 c n1c n2cn3 l cnn（）a 63b. 64c. 31d. 32（4）已知： (23x) 50a0 a1xa2 x2 la50x50 ，求： (a0a2 l a50 )2 (a1a3 l a49)2 的值答案：（ 1） 220 ， 320 ， 11；（2） q 展开式中只有第六项的二项式系数最大， n 10 ， t4 c103 ( x) 7 ( 1 )3120x ；x（3） a五、小结： 1性质是组合数公式rn r的再现，性质2 是从函数的角度研究的二项1cncn式系数的单调性，性质3 是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和；2因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：求 0.9986 的近似值，使误差小于0.001解： 0.9986(10.002) 6c60c61 ( 0