高三数学教案：圆的方程3

1、课题： 7.6 圆的方程（三）教学目的：1. 理解圆的参数方程 王新敞2. 熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程王新敞3. 理解参数 的意义 王新敞4. 理解圆心不在原点的圆的参数方程王新敞5. 能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程王新敞6. 可将圆的参数方程化为圆的普通方程王新敞教学重点： 圆的参数方程 ( 分圆心在原点与不在原点的两种情形)王新敞教学难点： 参数方程，参数的概念王新敞授课类型： 新授课王新敞课时安排： 1 课时王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞内容分析 ：本节为 第三课时 讲解圆的参数方程王新敞为了突出重点，突破难点，可以对本节的例题、练习进行适当的调整和组

2、合，并安排一些变式练习王新敞将参数方程化为普通方程时，常用的消参方法有：代入法、加减法、换元法等王新敞要注意不能缩小或扩大曲线中x, y 的取值范围王新敞圆上的点的特征性质，在圆的参数方程中，得到了另一种形式的表示王新敞在涉及圆上的动点距离、面积、定值、最值等问题时，用圆的参数方程来解往往更为简捷王新敞王新敞教学过程 ：一、复习引入：一、复习引入：1圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆王新敞2 求曲线方程的一般步骤为：（ 1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点m 的坐标；（ 2）写出适合条件 p 的点 m 的集合； (可以省略 ，直接列出曲线方程王新敞 )（ 3）

3、用坐标表示条件p（ m），列出方程 f (x, y) 0 ;（ 4）化方程 f ( x, y)0为最简形式；（ 5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点王新敞 (可以省略不写 ,如有特殊情况，可以适当予以说明王新敞 )3建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程王新敞4. 圆的标准方程 ： (x a)2( yb)2r 2 圆心为 c (a,b) ，半径为 r ，第 1 页共 8 页若圆心在坐标原点上，这时ab0 ，则圆的方程就是x2y2r 2 王新敞5圆的标准方程的两个基本要素 ： a,b, r 王新敞yrmc(a,b)6圆的一般方程： 只有当d2e24f0 时， 表

4、220的ox示的曲线才是圆，把形如xydxeyf表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞（ 1）当d2e240d，-e ）为圆心 , 1d 2e 24ff时，表示以 （ -222为半径的圆；（ 2）当2e2f0时，方程只有实数解dexyd，即只422表示一个点（ -d ， - e ） ;22（ 3）当 d2e24f0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞王新敞二、讲解新课：1. “旋转角”的概念 ：一条射线从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置形成的角，叫正角；按顺时针方向旋转形成的角形成的角，叫做负角；若没有旋转，就称为零角 王新敞2圆心为原点半径为r 的圆的参数方程y如图所示在圆 x2y

5、2r 2上，对于的每一个允许值，o由方程组xr cos，所确定的点p( x, y )都在圆yr sinx2y2r2上王新敞r p yx x方程组叫做圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程，为参数 王新敞3圆心为 (a, b) 原点半径为r 的圆的参数方程把圆心为原点o，半径为r 的圆按向量v(a, b) 平移，可得到圆心为o1 (a,b) ，半径为 r 的圆 王新敞如图，设圆 o1 上任意一点p(x,y) ，它是圆 o 上一点 p1 ( x1, y1) 按平移向量第 2 页共 8 页v (a,b) 平移后得到的，则根据平移公式，有xx1ayy1，bxar cosy由于 x1r cos , y1p

6、r sin ，故br sinyryb这就是圆心为 o1 (a, b) ，半径为 r 的圆的参数方程 王新敞v4 参数方程的意义： 一般地， 在取定的坐标系o中，如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的axxxf (t ),函数，即g(t ),y并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点m（ x, y ) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，其中联系x, y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数王新敞点评：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参

7、数之间的关系 王新敞三、讲解范例：例 如图所示，已知点 p 是圆 x2y216 上的一个动点， 点 a 是 x 轴上的定点， 坐标为（ 12，0）.点 p在圆上运动时， 线段 pa的中点 m的轨迹是什么？分析：应先根据线段中点坐标公式特点 m的横、纵坐标表示出来，然后判断其关系，从而确定其曲线类型 王新敞解：设点 m的坐标是 ( x, y ) 王新敞圆 x 2y2x4 cos ,16 的参数方程为：4 sin ,yyp(4cos,4sin)moa(12,0)x又点 p 在圆上，设p的坐标为 (4cos ,4sin )由线段中点坐标公式可得点x6 2 cos ,m的轨迹的参数方程为：2 sin

8、.y从而判断线段的中点的轨迹是以点（6， 0）为圆心、 2 为半径的圆pam四、课堂练习 ：课本p81 练习1， 2.1. 填空：已知圆o的参数方程是王新敞王新敞第 3 页共 8 页x5 cos ,(0 2 ）王新敞y5 sin .(1) 如果圆上点 p 所对应的参数 =5 ，则点 p的坐标是王新敞3（ 2）如果圆上点q的坐标是（ -553），则点 q所对应的参数 等于,王新敞22x5 cos 5x52解析： (1) 由3 得53y5y5sin235x 5cos(2) 由21cos = 2(0 2）得2.y5sin53332sin2答案：（ 1）（553（ 2）2,）王新敞王新敞2232. 把

9、圆的参数方程化成普通方程：（ 1）x12 cos,(2)x2cos,y32 sin;y2sinx12 cos,cosx12解： (1)由32 sin得y3y;sin2 sin 2cos21 ( x1) 2( y3) 2122即： ( x1) 2( y3) 24 王新敞(2) 由x2cos,得cosx2y2sinsiny2又 sin 2cos21 ( x2) 2( y2)21 王新敞第 4 页共 8 页3. 经过圆 x2y 24 上任一点 p 作 x 轴的垂线，垂足为q，求线段 pq中点轨迹的普通方程王新敞y解：设 m（ x, y ) 为线段 pq的中点，p(2cos ,2sin)圆 x 2y

10、24x2 cosm的参数方程为2 sinyo q(2cos ,0)x又点 p 为圆上任一点可设点 p 的坐标为 (2cos ,2sin )则 q点的坐标为（ 2cos , )x2 cos由线段中点坐标公式，得点m的轨迹的参数方程为：ysin消去参数 , 可得： ( x )2y 21 即 x2y 21 王新敞24五、小结 ：圆的参数方程 ( 分圆心在原点与不在原点的两种情形 ) 王新敞参数的概念； 参数方程与普通方程的互化；参数方程的意义及实际应用六、课后作业 ：1. 填空题参数方程，王新敞（ 1）已知圆的参数方程是x8cos(0 2）若圆上一点m的坐y8sin标为 (4,-43 ) ，则所对应

11、的参数 的值为m王新敞分析：将点的坐标代入参数方程分别求得sin ,cos 的值，由此求 的值m王新敞解：将点 m（ 4， -4 3）代入x8coscos12y得sin8sin32又 0 2, =5. 答案：5王新敞33(2) 已知圆的参数方程为x53cos, 则它的普通方程为王新敞y33sin分析：由参数方程解得cos 、sin 的表达式，由 sin 2cos21求第 5 页共 8 页出 x 与 y 的关系式，即可求得王新敞x53coscosx53得解：由33siny3ysin3由 sin 2cos21得 ( x5) 2( y3) 29 王新敞答案： ( x5) 2( y3) 29 王新敞2

12、. 已知点 m是圆x2y24x0 上的一个动点，点（ ，）为定点，当n 26点 m在圆上运动时，求线段mn的中点 p 的轨迹方程，并说明轨迹的图形王新敞分析：先将圆 x224x0化为 ( x224 利用圆的参数方程求解y2)y王新敞解：将已知圆的方程化为：(x2)2y 24则其参数方程为x22 cos , 故可设点 m（ 2+2cos ,2sin )y2 sinx2cos又点 n（ 2， 6） . mn的中点 p为y3sinx2cos点 p 的轨迹方程为：y3sin它表示圆心在（2， 3），半径为 1 的圆 王新敞3. 若实数 x, y 满足 x2y22x4 y 0 ，求 xy 的最大值 .分

13、析一：将圆化为参数方程来解王新敞解法一：将圆 x2y 22x4y0 变为 (x 1) 2( y 2)25圆的参数方程为x15 cosy25 sin代入 x y 得xy =（ 1+ 5 cos ） -(-2+5 sin )=3+ 5 （ cos -sin )=3+10 cos( +) 3+104第 6 页共 8 页 xy 的最大值为3+10 王新敞分析二：令 x y =u 代入圆方程来解 .解析二：令 u= xy ，则 yxu 代入圆方程得2x22(1u)xu 24u0由4(1u) 28(u 24u)0 即 u 26u 1 0 3-10 u 3+ 10 ，即 3-10 x- y 3+ 10 xy

14、 的最大值为3+10 王新敞4. 已知对于圆 x2( y1) 21 上任意一点 p（ x, y ），不等式 x y m 0恒成立，求实数m 的取值范围 王新敞分析：将圆的参数方程代入xym0 ，转化为求m 的最值问题来解王新敞解：由 x 2( y1)2xcos1 得其参数方程为：1 siny代入 x ym0 ，得 cos +1+sin + m 0 m -cos -sin -1 王新敞 m - 2 sin( )-1恒成立，4转化为求 -2sin( +)-1 的最大值，4 - 2 sin （ +4） -1 的最大值为2 -1 王新敞 m 2 -1 王新敞5. 已知圆 x 2y 21, 定点 a(1,0),b、 c 是圆上两个动点，保持a、b、 c在圆上逆时针排列， 且 boc=（ o为坐标原点），求 abc重心