两角和与差的正弦、余弦和正切

1、第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切考纲1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)c

2、os2，sin2.(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()，其中tan .辨 析 感 悟1对两角和与差的三角函数公式的理解(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的 ( )(2)存在实数，使等式cos()cos cos .( )(3)(教材练习改编)cos 80cos 20sin 80sin 20cos(8020)cos 60. ( )(4)(教材习题改编)tan. ( )(5)设tan ，tan 是方程x23x20的两根，则tan()3. ( )2对二

3、倍角公式的理解(6)cos 2cos2112sin2. ( )(7)若sin ，则cos .( )(8)ysin 2xcos 2x的最大值为1. ( )(9)设sin 2sin ，则tan 2. ( )感悟提升一个防范运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用.考点一三角函数式的化简、求值问题【例1】 (1)4cos 50tan 40()A. B. C. D21(2)_.规律方法 (1)技巧：寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等(2)常用

4、方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化【训练1】 (1)化简：2sin 50sin 10(1tan 10)_.(2)化简：(0)_；考点二三角函数的给角求值与给值求角问题【例2】 (1)已知0，且cos，sin，求cos()的值；(2)已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值规律方法 (1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已

5、知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【训练2】 已知cos ，cos()，且0，(1)求tan 2的值；(2)求.考点三三角变换的简单应用【例3】 已知f(x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围规律方法 (1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2，cos 2化为关于正切tan 的关系式，为第(1)问铺平道路(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性【训练3

6、】 已知函数f(x)4cos xsin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形2已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的

7、复杂问题简单化3熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形。三角函数求值中的变角问题【典例】 (2012江苏卷)设为锐角，若cos，则sin的值为_ 反思感悟 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件常见的变角技巧有：；()等；154530等【自主体验】已知cos ，cos()，且，则cos()的值为_基础巩固题组一、选择题1计算cos 42cos 18cos 48sin 18的结

8、果等于()A. B. C. D.2已知sin，则cos(2)的值为()A B. C. D3已知cos，则sin 2x()A. B. C D4已知，且cos ，则tan等于()A7 B. C D75已知tan，且，则等于()A. B C D二、填空题6计算：_.7设f(x)sin xa2sin的最大值为3，则常数a_.8已知cos4 sin4 ，且，则cos_.三、解答题9已知函数f(x)cossin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若，且f，求f(2)的值10已知函数f(x)sin2 xsin xcos x.(1)求f的值(2)设(0，)，f，求sin 的值能力提升题组一、选择题1已知tan()，tan，那么tan等于()A. B. C