选修2-2-数系的扩充和复数的概念

1、5.1 数系的扩充和 复数的概念,历史回顾,数，是数学中的基础概念， 也是人类文明的重要组成部分。 数的概念的每一次扩充都标志 着数学的巨大飞跃。,一、数系的扩充,自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前。,自然数,历史回顾,负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的。我国三国时期数学家刘徽首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.,刘徽（公元250年前后）,负整数,负数,历史回顾,有理数（分数）,分数（有理数）是 “分”出来的。早在古 希腊时期，人类已对有 理数有了非常清楚的认 识，而且他们认为有理 数就是所有的数。,分数,历史回顾,无理数,边长为1的正方形的 对角

2、线长度为多少？,无理数是“推”出来的。公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”。 “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.,无理数,历史回顾,复习回顾,从社会生活来看为了满足生活和生产实践需 要，数的概念在不断地发展.。 从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不 断扩充的。,从N到R经历了几次扩充？每次扩充的主要 原因是什么？每次扩充的基本原则是什么？,复习引入,数集的每次扩充都是为了解决在原有数集中某 种运算不能实施的矛盾。,复习引入,实数集能否继续扩充呢?,数系每次扩充的基本原则：,（1）增加新元素；,（2）原有的运算性质仍然成立；,（3

3、）新数系能解决旧数系中的矛盾.,正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统。,由于实数的局限性，导致问题出现矛盾的结果。 数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存 在，即还有比实数集更大的数系。,探究新知,问题1、若 ，则,对此你有什么困惑？,引入一个新数：,探究新知,探究新知,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,1.虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成一般形式的数：,abi（a，bR）,

4、把形如abi（a，bR）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C.,2.复数集用描述法表示:,Cabi|a，bR,新课解读,二、复数的概念,如复数 z 3i的实部和虚部分别是：,实部为 ,虚部为3.,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,3、复数的代数形式：,新课解读,（1）对于复数zabi（a，bR），当a，b满足什么条件时，z为实数？为虚数？为纯虚数？,当b0时，za为实数;,当b0时，z叫做虚数;,当a0且b0时，z叫做纯虚数.,复数a+bi,（2）复数集C和实数集R之间有什么关系？,师生共研,讨论,4.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,虚

5、数集,实数集,纯虚数集,新课解读,复数集,5.复数相等：两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定： abicdi（a，b，c，dR） 的充要条件是ac且bd.,由此abi0的充要条件是:,ab0,新课解读,不能！虚数不能比较大小.,6.两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,初试牛刀,1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部:,典例分析,三、复数的概念示例,例1. 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是 （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,关键:m的取值,解: (1)当m-1=0，即 m=1时，复数z 是实数,(2)当m-10，即m1

6、时，复数z 是虚数,(3)当m+1=0，且m-10，即m=-1时，复数z 是纯虚数,典例分析,三、复数的概念示例,例2.设复数z1(xy)(x3)i， z2(3x2y)yi， 若z1z2，求实数x，y的值.,x9，y6,巩固练习,1.下列命题： （1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数 （2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数 （3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数 其中真命题的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,巩固练习,2. 当m为何实数时，复数 Z=m2+m-2+(m2-1)i 是 (1)实数 (2)虚数 （3)纯虚数 (4)0,m= 1,m1,m= -2,m=1,课堂小结,1. 虚数单位的引入：i21,今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.,复数的代数形式 z=abi （a，bR）,复数的