数学必修4教学案：2.1平面向量的实际背景及基本概念(教＼学案)

1、.2.1 平面向量的实际背景及基本概念教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来， 向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量不同于数量， 它是一种新的量， 关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时， 重点说明了向量与数量的区别， 然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量

2、(向量的坐标 )的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法向量法和坐标法。本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、 零向量、 单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、 有向线段的三个要素、 向量的表示、 向量与有向线段的区别与联系、 向量的长度、零向量、单位

3、向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。教学目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量 .2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力 .教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量 .教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根

4、据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学过程：一、情景设置：如图，老鼠由a 向西北逃窜，猫在b 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）cadb;.结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线ac、猫追逐的路线bd 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段

5、和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：ab用有向线段表示；（终点）用字母 、a( 起点 )（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：ab ；向量 ab 的

6、大小 长度称为向量的模，记作| ab |.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（ 1）向量只有大小和方向两个要素， 与起点无关， 只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；（ 2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 .4、零向量、单位向量概念：长度为 0 的向量叫零向量，记作0. 0 的方向是任意的.注意 0 与 0 的含义与书写区别.;.长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我

7、们规定0 与任一向量平行.说明：（ 1）综合、才是平行向量的完整定义；（ 2）向量 、平行，记作 .6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（ 1）向量 与 相等，记作 ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关） .说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（ 2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.（四）理解和巩固：例 1 书本 86 页

8、例 1.例 2 判断：（ 1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（ 2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（ 3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（ 4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（ 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）（ 6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）（ 7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）例 3 下列命题正确的是（）a. 与 共线， 与共线，则 与 c 也共线b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点c.向量 与不共线，则 与都是非零向量d.有相同起点的两个非零向量不平行

9、解：由于零向量与任一向量都共线，所以a 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以b 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点;.是否相同无关，所以不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑， 假若 与不都是非零向量， 即与至少有一个是零向量， 而由零向量与任一向量都共线，可有 与共线，不符合已知条件，所以有 与都是非零向量，所以应选 c.例 4如图，设 o 是正六边形abcdef 的中心， 分别写出图中与向量oa 、 ob 、oc相等的向量 .变式一：与向量长

10、度相等的向量有多少个？（11 个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？（cb, do, fe ）课堂练习：1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量 ab 与 cd 是共线向量，则a、 b、 c、d 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 abcd 是平行四边形当且仅当ab dc一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量ab 、 ac 在同一直线上 .不正确 .单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

11、不正确 .零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. 、正确 .不正确 .如图 ac 与 bc 共线，虽起点不同， 但其终点却相同.2书本 88 页练习三、小结：1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本 88 页习题 2.1 第 3、 5 题;.2.1 平面向量的实际背景及基本概念课前预习学案一、预习目标通过阅读教材初步了解向量的实际背景， 理解平面向量的概念和向量的几何表示； 掌握向量的模、 零向量、 单位向量、 平行向量、 相等向量、 共线向量等概念； 并会区分平行向量、相

12、等向量和共线向量 .二、预习内容（一）、情景设置：如图，老鼠由 a 向西北逃窜，猫在 b 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）c结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.adb分析：老鼠逃窜的路线ac、猫追逐的路线bd 实际上都是有方向、有长短的量 .引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？（二）、新课预习：1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）1) 数量与向量有何区别？2) 如何表示向量？3) 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4)长度为零的向量叫什么向量？长度为1 的向量叫什么向量？5)

13、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6) 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点 o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力 .;.二、学习过程1、数量与向量的区别？-2.向量的表示方法？ab（终点）a( 起点 )向量 ab 的大小 长度称为

14、向量的模，记作。3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：。向量与有向线段的区别：（ 1）。（ 2）。4、零向量、单位向量概念：叫零向量，记作 0. 0 的方向是任意的 .注意 0 与 0的含义与书写区别 .叫单位向量 .说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：叫平行向量； 我们规定0 与平行 .说明：（ 1）综合、才是平行向量的完整定义；（ 2）向量 、平行，记作 .6、相等向量定义：叫相等向量。说明：（ 1）向量 与 相等，记作 ；（ 2）零向量与零向量相等；（ 3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、共线向

15、量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段的起点无关）.说明：（ 1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（ 2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.三、理解和巩固：例 1 书本 86 页例 1.例 2 判断：;.（ 1）平行向量是否一定方向相同？（ 2）不相等的向量是否一定不平行？（ 3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（ 4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（ 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（ 6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（ 7）共线向量一定在同一直线上吗？例 3 下列命题正确的是（）a. 与

16、 共线， 与共线，则 与 c 也共线b.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点c.向量 与不共线，则 与都是非零向量d.有相同起点的两个非零向量不平行例 4如图，设 o 是正六边形abcdef 的中心， 分别写出图中与向量oa 、 ob 、oc相等的向量 .变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量共线的向量有哪些？课堂练习：;.1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由向量 ab 与 cd 是共线向量，则a、 b、 c、d 四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形 abcd 是平行四边

17、形当且仅当ab dc一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2书本 88 页练习课后练习与提高1下列各量中不是向量的是（）a. 浮力b.风速 c. 位移d. 密度2. 下列说法中错误的是（）a. 零向量是没有方向的b.零向量的长度为0c. 零向量与任一向量平行d.零向量的方向是任意的3把平面上一切单位向量的始点放在同一点, 那么这些向量的终点所构成的图形是（）a. 一条线段b.一段圆弧c.圆上一群孤立点d.一个单位圆4已知非零向量a / b , 若非零向量 c / a ，则 c 与 b 必定.5已知a 、 b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线 ,若非零向量c 与 a 共线 , 则 c 与 b 必定 .6