四点共面问题探究

1、空间四点共面充要条件的应用与探究平面上的三点共线与空间的四点共面，是平面向量与空间向量问题中的一类重要题型。在高中数学人教 a 版选修教材 2-1空间向量与立体几何一章中，给出了四点共面的一个判定方法，在配套的教参中更明确为充要条件。因此有些老师在教学中就给出了如下的空间p、 a 、 b 、c、四点共面的充要条件：对于空间任意一点o，存在实数x、y、z，使得 opxoayobzoc 且 x+y+z=1 。这个结论对于解决空间四点共面问题提供了很便捷的方法，例如： 问题 1：对于空间任一点o 和不共线的三点a 、b 、 c，有 6opoa 2ob 3oc ，则 （）(a)o 、 a 、b 、c四

2、点共面(b) p 、a 、 b、 c 四点共面(c) o 、 p、 b、 c四点共面(d) o 、p、 a 、 b、 c 五点共面分析：由条件可以得到op1 oa1 ob1 oc ，而 1111，则 p、a 、b 、 c 四点共面。632632问题 2：已知点 m 在平面 abc 内，并且对空间任意一点o， omxoa1 ob1 oc11123分析：由上面的充要条件很容易得到x 13。26，则 x=。问题3 ：在平行六面体abcd-a 1b 1c1 d1 中， p 、 m 、 n分别是aa 1 、 ab 、 ad上一点，且ap21ab , an1aa1 , amad ，对角线 ac 1 与平面

3、 pmn 交与点 h，求 h 点分 ac 1 的比。324分析：因为 p、 m 、 n、 h 四点共面，则可设为d 1c1ahx apy amz an ，且 x+y+z=1a 1b1由已知， ap21ab, an1ad ，p dcnhaa1 , am243b则 ah2x aa1y abz adam324又 a 、h 、c1 三点共线，则 ahac1而 ac1aa1abad所以， ah2xyzaa1abadaa1abad324因为向量 aa1，ab ，ad 不共面，则有： 2xyz， 所以 x3， y 2， z 43242又因为 x+y+z=1 ，所以 3+ 2+4 =1 ，解得2所以，ah2

4、ac121515即： h 点分 ac 1 的比为 2:13.1以上三个问题的解决都用到了课本中提到的四点共面的充要条件，思路新颖，解法简洁，确实为学生们解决空间四点共面问题提供了一条重要的解题思路。但是，学生们在解决 2005 年全国高考数学试题时，却出现了困惑和迷茫。甚至对该方法提出了质疑。 05年 高 考 题 为 ： abc的 外 接 圆 圆 心 为o ， 两 条 高 线 的 交 点 为h ， 若ohm(oaoboc) ，则 m=。一部分学生认为，该题可以利用课本中给出的充要条件解决，将本题看成h、a、b 、c 四点共面，o为空间任意一点，则应有m+m+m=1 ，从而得到m= 1 .3另外

5、一部分学生认为该题可以采用以下特殊解法，将abc看成一个等腰直角三角形，则容易得到ohoaoboc ，于是 m=1.究竟哪一个答案是正确的？在查阅05 年高考试题答案后知道，正确答案应该为1，而对于老师给出的结论也是深信不疑的，因为在平面向量中就曾经得出过类似的问题：平面内三点a 、 b、 c 共线的充要条件是：对于平面内任意一点o，存在实数 、 ，使得 oaoboc ,且 + =1. 课本中的结论其实就是平面向量问题的一个推广。那么第一种解法究竟错在哪里？这个充要条件正确吗？如果和上面的结论做一对比的话，就是对本题中的五点共面有所怀疑，但是教参中并没有强调o 点不能与 pabc 共面。我们再

6、推敲一下教参中对于这个充要条件的证明，opoaap ，肯定没有问题，根据平面向量基本定理，向量ap 一定可以用不共线的向量ab和 ac 表示（此处注意，a、 b、 c 三点必须不共线，课本中说的是平面abc ，教参中也强调不共线），即：ap =abac =(oboa)(ocoa）所以， opoaapoaabacoa(oboa)(ocoa）（1）oaoboc显然其系数和为 1.但是，当o 点与 p、 a 、 b 、c 共面时，向量ap 也可以用不共线的向量ob和oc 直接表示，即，apoboc ，则 op oaapoaob oc ，显然其系数和1不一定等于 1.不妨可以看一个五点共面的特殊例子(

7、如右图 )，对于正dc方形 abcd ，设其中心为o，则 oaobocod ，其系数和等于 1，但是也可以表示成oa2ob oc 2od ，oab2其系数和等于3，还可以表示成oa5oboc5od ，其系数和等于9，等等，显然各种不同的表示形式其系数和是不确定的。问题的症结找到了，如果o 点与 p、a 、b 、c 共面时，向量op 可以用 oa 、 ob 、 oc 表示成各种不同的形式 opxoa yob zoc ，表达形式不确定，其系数和当然也不确定。实际上，问题的关键在于与空间向量基本定理相悖，当o 点与 p、a 、b、c 共面时，向量 op 、 oa 、 ob 、 oc 为共面向量，那么

8、向量 op 是不能用 oa 、 ob 、 oc 唯一表示的。同时，即便o 点与 p、 a 、 b 、c 不共面时，也必须要求 a 、 b、 c、三点不共线，否则，根据空间向量基本定理，由于向量oa 、 ob 、 oc 是共面向量，那么向量 op 是 不能用 oa 、 ob 、 oc 表示的。所以， 有些老师结合教材和教参中的表述给出充要条件的说法严格说是不准确的，充分性没有问题 ，而必要性则需要加以限制 。结论：（四点共面）若空间 p、a 、b、c 四点共面，且 a、b、c 三点不共线，则对于空间不与pabc 共面的任意一点 o，存在实数 x、 y、 z，使得 op xoa yobzoc 且 x+y+z=1. ；反之，若 opxoa yobzoc 且x+y+z=1 ，则 p、 a、 b、 c 四点共面。（三点共线）