对数函数d的图像及性质

1、的 概念、图像、性质,1,对数函数,指数式与对数式的等价转换：,对数的运算法则：,练：求值：,对数函数的引入：,问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数设为y,则y与x的函数关系式为：,Y=2x,问题2：如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个细胞，那么分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数。由对数的定义，这个函数可以写成：,X=log2y,变化过程：,Y=2x,X=log2y,Y=log2x,结论：函数y=log2x和指数函数y=2x互为反函数,（Y是自变量，X是Y的函数）,习惯上写作：y=log2X,反解x,互换x

2、,y,函数,（一）对数函数的概念：,1.定义：函数y= logax (a0,a 1)叫做 对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0,+).,对数函数和指数函数互为反函数,(-,+),(0,+),(-,+),(0,+),结论1：定义域，值域,结论2：图象关于 对称,2、理解：,互换,y=x,对数函数的图像：1.在同一坐标系中，画出y=2x和它反函数 的图象.,2.在同一坐标系中，画出y=(1/2 )x 和它反函数 的图象.,问题1: 你是用什么方法画出对数函数图象的？,探 求,y=log2x,y=log（1/2)x,对数函数的图象和性质,对数函数y=log2x的图象,先画y=2x的图象,对

3、数函数y=log2x的图象,对数函数的图象和性质,对数函数y=log x的图象,先画 的图象,对数函数y=log x的图象,1,1,1,1,(a1),(0a1),总结：对数函数的图象有几种情况？,（二）对数函数的图象和性质：,定义域,R,当 x=1 时, logax =0 当0 x 1时 , logax 0 当x 1 时 , logax 0,在（0，）上是增函数,在（0，）上是减函数,（0，）,值 域,1,y=logax (a1 ),1,y=logax (0a1 ),函数值变化规律,当 x=1 时 , logax =0 当0 x 1时 , logax 0 当 x 1 时, logax 0,单调

4、性,同正异负,应 用,例1.,求下列函数的定义域：,(1)y=log5x2,(2) y=loga(4x),(3) y=log（5x-1) (7x-2),(3)要使函数有意义，必有,例2.比较大小： log23 log23.5 log0.71.6 log0.71.8 loga4 loga3.14,方法,解答过程,解答过程,解答过程,当 0a1 时，loga4 loga3.14,当 a1 时，loga4 loga3.14,当底数相同时：利用对数函数的增减性比较大小.,要对底数与1的大小进行分类讨论.,注意： 当底数不确定时,练习1.比较大小 log23.4 log28.5 log0.31.8 lo

5、g0.32.7 2log0.53 log0.54 loga5.1 loga5.9,当a1时 loga5.1 loga5.9,当0a1时 loga5.1 loga5.9, 因为log35 log33 =1,log53 log55 =1,得:log 35 log 53,例3.比较大小 log35 log53, 因为log 32 0,log 20.8 0,得:log 32 log 20.8,当底数不相同，真数也不相同时，,方法,常需引入中间值0或1(各种变形式）.,解:, log32 log20.8,练习2：比较大小 log76 1 log0.53 1 log67 1 log0.60.1 1 log

6、35.1 0 log0.12 0 log20.8 0 log0.20.6 0,例4.比较大小： log53 log43,解:,利用对数函数图象,得到 log53 log43,方法,当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小.,当a1 和 0a1时，在x=1右侧总是底大图低.,y1=log4x,y2=log5x,(1) log32,log23, log0.53的大小关系为 _.,练习3. 比较大小,log23 log32 log0.53,(2) log0.34 _ log0.20.7,练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m log3n 则 m n （2）若log0.3m

7、 log0.3n 则 m n,练习5. 不等式log2(4x+8)log22x 的解集为 （ ）,解：由对数函数的性质及定义域要求，得, x0,解对数不等式时 , 注意真数大于零.,A. x0 B. x -4 C. x -2 D. x 4,A,解下列不等式：,求下列函数的单调区间：,课 堂 总 结,3.今天我们采用类比的方法，类比指数函数研究了对数函数的图象和性质.,2.通过本节学习，大家有什么收获？,(-,+),(0,+),y=ax (a0,a 1),y=logaX (a0,a 1),(0,+),(-,+),当 a1 时， ax 在R上是增函数 当 0a1 时， ax在R上是减函数,当 a1

8、 时， logaX在X0时 是增函数 当 00时是减函数,y=ax的图象与y=logaX的图象关于直线y=x对称,比 较,补充作业： (1)解不等式log2(x2-4x+8)log22x,(2)若loga 0.75 1 求a 取值范围,(3)求函数 的定义域.,作业：课本97页习题 3、4、5.,答案,答案,答案,你还能发现什么？,0.1,Oa1 时a的值越大图象在 的部分越远离 轴,a1 时a的值越大图象在 的部分越靠近 轴,进一步探讨:,思考题： 1.底数 的不同取值对对数函数 的值及其变化趋势产生怎样的影响。,探讨1.你能发现 y=ax ,y=（ ）x ,logaX , log X (a

9、1)这四个函数图象之间的关系吗？,进一步探讨:,探讨2.底数a决定了对数函数图象的陡缓趋势，怎样决定的？请用多种方法验证.,当a1 和0a1时，在x=1右侧总是底大图低.,答案,图象分析,1. log23 log23.5,解：y= log2x 中底数 21, y= log2x在(0,+)上 是增函数, 33.5, log23 log23.5,1、判断底数a的范围,2、判断函数增减性,3、判断自变量的大小,同底对数式比较大小的步骤：,4、由函数增减性推出函数值大小,2. log0.71.6 log0.71.8,解：函数y= log0.7x 中底数 00.71, 函数y= log0.7x在(0,+

10、)上是减函数, 1.6 1.8, log0.71.6 log0.71.8,解 :讨论 a 的情况,II. 当 0 3.14 所以 loga4 loga3.14,I. 当 a1 时 y=logax 是增函数 因为 4 3.14 所以 loga4 loga3.14,.loga4 loga3.14,X=1右侧的部分是“底大图低”,1 a1 a2,X=1右侧的部分是“底大图低”,0 a1 a2 1,1,y,x,o,0 a1 a2 1 a3 a4,1,loga3x,loga4x,loga1x,loga2x,作业1. 解不等式 (1) log2(x2-4x+8)log22x,X2-4x+80,解,2x0,

11、X2-4x+82x,xR,X0,X4,04,作业2 . 若loga 0.75 1 求a 取值范围,解：,loga0.75logaa,根据y=logax 的单调性进行讨论,得0.75a1,得a,由 I、II 得 0.75a1,作业3. 求函数 的定义域.,(4)若函数 的值域为-1,1,则它的定义域为_.,注意对数不等式的变形, 2 ( x 1) 2 1, ( x 1) 1,x 1 1,三、求值域,例1.求函数y = log 2 ( 1x 2 ) 的值域. 例2.求函数 的值域,练习：1.函数 的值域是_; 2.函数 的值域是_.,变式：,例4：求函数 y=log3x(1x3)的值域.,(1)已知函数y=logax(a0,a1), 当x