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文档简介
1、第二章 圆锥曲线与方程,2.1曲线与方程 21.2求曲线的方程,1.掌握求曲线方程的方法步骤 2了解解析法的思想,体验用坐标法研究几何问题的方法与过程 3培养数形结合的能力.,新 知 视 界 1坐标法与解析几何 借助于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程f(x,y)0表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这就是坐标法数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何,2平面解析几何研究的主要问题是: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质,3求曲线(图形)的方程,有下面
2、几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点的坐标; (2)写出适合条件的点的集合; (3)用坐标表示条件,列出方程f(x,y)0; (4)化简方程f(x,y)0; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上,一般地,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适当说明另外也可以省略(2),直接列出曲线方程,尝 试 应 用 1动点P到点(1,2)的距离为3,则动点P的轨迹方程为() A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29 C(x1)2(y2)23 D(x1)2(y2)23,解析:由题意知,点P的轨迹满足圆的定义,圆心为(1,2),半径为3,所以方
3、程为(x1)2(y2)29. 答案:B,2已知在直角坐标系中一点A(3,1),一条直线l:x1,平面内一动点P,点P到点A的距离与到直线l的距离相等,则点P的轨迹方程是() A(y1)28(x1) B(y1)28(x1) C(y1)28(x1) D(y1)28(x1),解析:设点P的坐标为(x,y),则(x3)2(y1)2(x1)2,化简整理,得(y1)28(x1),故应选D. 答案:D,3ABC的顶点坐标分别为A(4,3),B(2,1),C(5,7),则AB边上的中线的方程为_ 答案:3x2y10(1x5),4到A(2,3)和B(4,1)的距离相等的点的轨迹方程是_ 解析:动点的轨迹是线段A
4、B的垂直平分线 答案:xy10,5动点P在曲线y2x21上运动,求点P与定点(0,1)连线的中点M的轨迹方程,典 例 精 析 类型一直接法求曲线方程 例1ABC的顶点A固定,角A的对边BC的长是2a,边BC上的高的长是b,边BC沿一条定直线移动,求ABC外心的轨迹方程,分析首先建立直角坐标系,因BC在一条定直线上移动,故可选此定直线为x轴,过A点且垂直于x轴的直线为y轴另外,外心到三角形三个顶点的距离相等,利用这个等量关系就可以得出ABC外心的轨迹方程,解如图1,以BC所在的定直线为x轴,以过A点与x轴垂直的直线为y轴,建立直角坐标系,则A点的坐标为(0,b)设ABC的外心为M(x,y),作M
5、NBC于N,则直线MN是BC的垂直平分线,点评(1)解本题的关键是建立适当的直角坐标系,充分利用三角形外心的性质易错处是用|BM|CM|列方程,而化简后会发现得到的是一个恒等式原因是在求|BM|的长时已利用了|BM|CM|这个等量关系(2)对于本题,在建立直角坐标系时,也可以把BC边所在的定直线作为y轴,过A点与定直线垂直的直线作为x轴,此时方程将有所变化,迁移体验1一个动点到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求该动点的轨迹方程,类型二定义法求曲线方程 例2已知圆C:x2(y3)29,过原点作圆C的弦OP,求OP中点Q的轨迹方程 分析关键是寻找Q点满足的几何条件可以考虑圆的几何性
6、质,如CQOP,还可考虑Q是OP的中点,迁移体验2定长为6的线段,其端点A、B分别在x轴、y轴上移动,线段AB的中点为M,求M点的轨迹方程,类型三相关点法求曲线方程 例3已知ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0),顶点C在曲线yx23上运动,求ABC重心的轨迹方程,分析由重心坐标公式,可知ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来,而A、B是定点,且C在曲线yx23上运动,故重心与C相关联因此,设出重心与C点坐标,找出它们之间的关系,代入曲线方程yx23即可,点评(1)本例是求轨迹方程中的常见题型,难度适中本题解法称为代入法(或相关点法),此法适用于已知一动点的轨迹
7、方程,求另一动点的轨迹方程的问题 (2)应注意的是,本例中曲线yx23上没有与A、B共线的点,因此,整理方程就得到轨迹方程;若曲线方程为yx23,则应去掉与A、B共线时所对应的重心坐标,类型四求曲线方程的综合应用 例4在平面直角坐标系中,A(a,0),B(a,0),|PA|PB|,其中a0且0.求动点P的轨迹方程,并说明轨迹的类型,迁移体验4已知sin,cos是方程x2axb0的两根,求P(a,b)的轨迹方程,思 悟 升 华 1求曲线方程中应注意的问题 求曲线方程时,(1)在第一步中,如果原题中没有确定坐标系,首先选取适当的坐标系,通常选取特殊位置为原点,相互垂直的直线为坐标轴建立适当的坐标系
8、,会给运算带来方便,(2)第二步是求方程的重要一环,要仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件,抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系,列出几何等式,此步骤也可以省略,而直接将几何条件用动点的坐标表示 (3)在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量避免“失解”或“增解”,(4)第五步的说明可以省略不写,若有特殊情况,可以适当说明,如某些点虽然其坐标满足方程,但不在曲线上,可以通过限定方程x(或y)的取值予以剔除 2求曲线方程的常用方法 (1)直接法:建立适当的坐标系后,设动点为(x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式,(2)定义法:如果所给几何条件正好符合圆等曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的
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