第2章 随机变量的分布及其数字特征

1、2019/10/71231定义:设随机试验E的样本空间为, 如果对任意的基本 , 有一个实数X=X()与之对应, 就称X为随量.通常, 我们用大写字母X、Y、Z等表示随量.注：严格来讲随量应该是关于域F可测的函数，由于本书对域不做讨论, 这里对可测性也不做讨论. 下面给出的一些假说实际上就是要求随量是可测的.在许多带有随机因素的实际问题中, 我们往往只关心某些数据, 如电子元件的寿命、车站的候车人数等等. 此外人们还发现建立数和人或其他事物的对应关系会带来许多便利, 比如每一个学生可以用一个学号与之对应, 城市的每一间房屋可以用一个门牌号与之对应, 工厂生产的同一种型号产品, 比如计算机, 可

2、以用一个代码与之对应.同样, 建立数和基本的对应关系将有助于我们利用现有的一些数学方法对随机现象作进一步的研究.第二章 随量的分布及其数字特征1 随量的概念与离散型随量1.1 随量的概念为了全面地研究随机试验的结果, 揭示客观存在着的统计规律性, 我们将随机试验的结果与实数对应起来, 将随机试验的结果数量化, 引入随 量 的 概 念 .2019/10/74562(3)随量与随机的关系随机包容在随量这个范围更广的概念之内. 随量的引入, 使我们能用随量来研究随机现象,并能利用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入广泛的研究和讨论.或者说: 随机是从静态的观点来研究随机现象,而随量则是从动态的观点

3、来研究随机现象.注意(1) 随量与普通的函数不同随 量是一个函数, 但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随 量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数). 同一个概率空间可以定义许多随 量 .(2) 随量的取值具有一定的概率规律随 量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随 量的取值也有一定的概率规律.随量 是R 上的映射,此映射具有如下特点 定义域样本空间 ； 随机性随量X 的可能取值不止一个, 试验前只能预知它的可能的取值，但不能预知取哪个值； 概率特性 X的取值有一定的概率.2019/10/77893随量X的取值

4、由样本点决定. 反过来, X取某一特定值a的那些样本点的全体构成的一个子集. 设L为实数集的一个子区间，使得X的值落在L中的那些样本点的全体也是的一个子集. 因此为随机, 通常用X L表示|X()L.例：考察一个医院每天的就诊人数X, 则X是一个随量, 它的取值范围是X=0,1,2,例：观察公交车站上乘客的等车时间X, X是一个随量, 它的取值范围是某一个区间.例：记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长 度X，则X也是一个随 量，它的取值范围也是一个区间.例：设10件产品中有8件合格品和2件不合格品,从中随机抽取一件, 令X1， 取到合格品0，取到不合格品 则X是一个随量，它只取两个可能值0和

5、1.如果我们把产品编号, 1到8号为合格品, 9到10号为不合格品, 样本空间可表示为=1,10, 其中i表示取到第i号产品. 这时基本与随量的对应关系为X ()i1, 0 i i 1, 9, ,8,102019/10/71011124定义：设X为离散型随量，其全部可能取值为xi,i=1,2,., 记PX=xi=pi, i=1,2,则称 pi 为X的分布律. 用下列表格的形式来表示，并称为X的概率分布表.Xx1x2.xi.pp1p2.pi.1.2 离散型随量在所有的随量中，有一类随量最简单， 它只有有限个或可数无穷多个可能取值.无穷多个, 则称 X 是一个离散型随量.离散型随量分类非离散型其中

6、一种重要的类型为连续型 随量任何随机现象可引 入 随 量重被 随 量 描 述要意义借助微积分方法做更深入和广泛的研究2019/10/71314155例.设离散型随量X的分布律为（1）PX=i=a (2/3)i, i=1,2, 3.（2）PX=i=a (2/3)i, i=1,2, 分别求上述各式中的常数a.例. 投掷一枚均匀硬币，设X为一次投掷中出现正面的次数，即：对 =正面，X()=1对 =，X()=0.则PX=1=P出现正面=0.5 PX=0=P出现=0.5于是X的分布律为X10p0.50.5任何一个离散型随量的分布律pi 必然满足下列性质（1）pi 0, i=1,2,.（2）i pi =1

7、2019/10/71617186从上面的例子可知，若已知离散型随量的概率分布，则对任意区间I,P( XI )p( Xxi )xi I例: 设随量X具有分布律P( Xk )ak, k1, 2, 3, 4, 5.（1）确定常数a .（2）计算P(1/2X5/2)和P(1 X2).解:（1）由分布律的性质, 得5 61P( Xk)aka155从 而 ak 1k 1215.(2) P( 1X5)P( X1)P(X2)1 212215 15 5P(1X2)P( X1) P( X2)12115 15 5一旦知道一个离散型随量X的分布律，我们便可求得X所生成的任何的概率.例. 设X的分布律为PX=i=a (

8、2/3)i, i=1,2, 3.分别求下列的概率.X1, X1, X2, 1X2.5X3, X4, X0,2.2019/10/719202171.3 分布函数离散型随量的概率分布为离散型随量的统计规律提供了一目了然的描述. 然而对那些取值非可数的随量，比如，测量的误差、灯泡的寿命等，我们不可能像描述离散型随量一样，通过罗列其每一个取值及其相应的概率来描述它们. 这是因为1、这类随量的取值是无限非可数的，无法一一列举出来；2、取连续值的随量，它取某个特定值的概率往往是0.p0.4 k01234代入p k0.60.240.0960.03840.0256例. (1) 设汽车在开往甲地途中需经过 4

9、盏信号灯, 每盏信号灯独立地以概率 p 允许汽车通过. 令 X 表示首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的分布律.解出发地甲地P( Xk )pk (1p), k0,1,2,3P(X4)p4,2019/10/72223248定义: 设 X 为一随量，则称函数F (x)P(Xx),x为 随量X 的分布函数, 记作X F (x)用分布函数计算 X 落在( a ,b 里的概率：P(aXb)P(Xb)P(Xa)F (b)F(a)（ab所以，为给出 X 取值于任一区间上的概率， 实际上只要给出所有 X 取值于形如(-, x的区间上的概率PXx即可，记F (x)=P X x当x取遍(-, + )上的一切

10、实数时，F (x)便成为定义在(-, + )上的函数. 一旦知道了这个函数F (x)， 我们便可得到相应的随量取值于任何区间上的概率. 为此我们引入分布函数的定义.对取连续值的随量，我们往往关心的是它的取值落在一定范围的概率，而不关心它取某个特定值的概率. 因此，对这类随量，我们希望可以描述它的取值落在任何一个区间上的概率.例: 等可能的在数轴上的有界区间a, b上投点，记X为落点的位置（数轴上的坐标），则X是样本空间 =a, b上的函数X()=, a, b根据几何概型，对任意的c a, b有PX=c=0而对a, b的任意子区间B=(c, d有P cX d=(d - c) /(b - a)另一

11、方面，由于P cX d=P X d - P X c2019/10/72526279利用分布函数计算概率1 P（aXb） P( Xb) P( Xa)F (b) F (a)2 P（aXb） P( Xb) P( Xa) F (b 0) F (a)3 P（a X b） P( X b) P( X a) F (b) F (a 0) 4P（aXb） P( Xb) P( Xa) F (b 0) F(a 0) 5P（X a） 1 P( Xa) 1 F (a 0)分布函数的性质1F(x)关于x单调不减, 即当x1x2时，F (x1 )F(x2 );2 P（aXb） F (b)F (a)3 0 F (x) 1, F

12、 () lim F ( x) 0, F () lim F (x) 1xx4F(x)关于x右连续, 即对任意x0, 都有F (x00)lim F (x)F (x0 )x x0 05F(x)关于x左极限存在, 且对任意x0, 都有F ( x0 -0)lim F ( x)P( Xx0 )x x0 -06P( Xx0 )P( Xx0 )P( Xx0 )F ( x0 )F ( x0 -0)从某种意义上来说，分布函数完整的描述了随量的统计规律性. 而分布函数是一个普通的函数，正是通过分布函数，我们将能用数学分析的方法来研究随量.2019/10/728293010由以上例子可以得出离散型随量分布函数的计算规

13、律：设离散型随量分布律为PX=xk=pk,k=1,2,由概率的可列可加性得X的分布函数为F(x)= PXx=PX=xk=pk这里和式是对于所有满足xkx的k求和.F(x)是一个阶梯函数, 它在x的每一个可能取值点xk处发生间断，其跳跃高度正好是pkF(x)的示意图F(x)10.50.25-112 3x例:设随量X的分布律为 即0,x11/ 4,1x2F (x)3 / 4, 2x3求X的分布函数,并求1,x3PX1/2,P3/2X 5/2, PX1/2=F(1/2)=1/4 P2 X 3.解:由概率的有限可加性 P3/2X 5/2得=F(5/2)-F(3/2)0,x1=3/4 -1/4=1/21

14、 / 4,1x2 P2 X 3F (x)= F(3)-F(2-0)1 / 4 1 / 2, 2x31 / 4 1 / 2 1 / 4, x 3=1-1/4=3/4X- 123P1 / 41 /21 /42019/10/731323311P( X2)1P( X2)1F (20)1 0.20.8(2) 由于P( X x0 ) F (x0 ) F ( x0 0) , 可得 P( X1)0.200.2,P( X2)0.70.20.5,P( X4)10.70.3故 X 的分布律为 X-124Pk0.20.50.3例: 设随量X的分布函数为0,x1， 0.2,1 x 2F (x)0.7,2 x 41,x

15、4.(1) 求P(X3), P(1/2X 3)及P(X 2)(2) 求X的分布律.解 (1) P( X3)F (3)0.7P( 1X3)F (3)F ( 1 )0.70.20.522反过来，如果一个随量 X 的分布函定：F (x)的跳跃点全体构成 X 的所有可能取值，每一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率.2019/10/734353612一个连续型随 量的分布由它的密度函数所决定, F(x)的值在几何上可以表达为t轴以上, 曲线y=f(t)以下, 直线t=x以左部分的面积.1.4 连续型随量定义: 一个随量X称为连续型随量，如果存在一个非负可积函数f(x)，使得X的分布函数xF (x)

16、f (t)dt并称f (x)为X 的概率密度函数，简称密度函数.由微积分学知识可知, 连续型随量的分布函数是一个连续函数.例 设一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任意同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以随 量 X 表示弹着点与圆心的距离. 试求随 量X的分布函数.解0,x0,F (x)x2, 0x2,41,x 2.xX的分布函数也可以写成 F (x)f (t)dtt , 0t2,其中f (t)20,其它.2019/10/737383913根据分布函数的性质，显然密度函数具有下列性质：(1) f (x)0, x(,).(2)f (x)dx1.反过来，也可以证明， 如

17、果一个函数满足上（3）若f(x)在点x处连续，则有F (x)f (x).因此, X取任意单点值a的概率aP( Xa)f (t)dt0a从而P(aXb)P(aXb)P(aXb)P(aXb)bF (b)F (a)f (t)dta设X为连续型随量, 则对任意的实数a1 时, F (x)0 0dt1 2 2tdt1 (6 6t)dtx 0dt101 21从而得0，x0， x2，0 x1F (x)26x3x221， x1， 21，x1.例: 设随量X的密度函数为2x， 0 x 1 ， 2f (x)6 6x1， x 1， 20，其他. 求分布函数F(x).解f(x)的图形如图x当 x0 时, F (x)0

18、dt 0当0 x 1 时, F (x)0 0dtx 2tdtx2202019/10/743444515例： 已知随量 X 为具有概率密度kx,0x3,f (x)2x , 3x4,20,其它.(1) 求常数 k(2) 计算X的分布函数(3) 计算P1X7/2.例:试确定常数c, 使f (x)x, 0 x c0,其他 为某个随量X的概率密度, 且计算X c/2的概率.2解 因cc1xdx02所以 c2 c2(舍去)c2从而P X2 xdx0.2520例:试确定常数a, 使x,0 x 1， f ( x)a x, 1 x 2， 0,其他. 为某个随量X的概率密度, 且计算1.5X2的概率.12解 因1

19、2x2x21f (x)dxxdx(ax)dx(ax)a 1012201所以a =2.x,0 x 1故f (x)2 x, 1 x 2， 0,其他. 2从而 P1.5X2(2 x)dx 0.1251.52019/10/746474816例:设随量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的分布律.解 Y所有可能取的值为0,1,4.由PY=0=P(X-1)2 =0=PX=1=0.1PY=1=P(X-1)2 =1=PX=0+X=2=PX=0+PX=2=0.7 PY=4=P(X-1)2 =4=PX=-1=0.2即得Y的分布律为Y014P0.10.70.2X-1012P0.20.30.10.45 随量函数的分

20、布 如果已知随量X的分布, 另一随量Y=g(X)是X的函数, 如何求Y的分布. 1 离散型随量函数的分布设X为离散型随量, 其分布律为P(X=xi)=pi, i=1,2, 随量Y=g(X) , 从而Y的所有可能取值为yi=g(xi), i=1,2, 因此Y也是离散型随量. 注意到ij时, 也有可能出现g(xi)=g(xj)的情况, 故Y的分布律为P(Y yi )P( X xk ), i 1, 2,g ( xk ) yi(P. 44-45):5.6.11.12第5次作业2019/10/749505117例:设随量X具有概率密度fX(x), -x0时有F ( y)PYyPX 2yYyPyXyf X

21、 (x)dxy于是得Y的概率密度为1 f ( y )f ( y ), y0， f ( y)=2 y XX Y0,y 0.例：设随量X具有概率密度x , 0x4f (x)8X0, 其他. 求随量Y=2X+8的概率密度. 解 先求Y=2X+8的分布函数FY(y).y 88 yF ( y)PYyP2X8yPX2 f (x)dxY2X于是得Y=2X+8的概率密度为y 8 y 81 ( y 8) 1 , 0y 84fY ( y)f X ()()8 222220,其他. y 8 , 8 y 16， 320,其他. 2 连续型随量函数的分布 在许多实际问题中，常需要考虑随量函数的分布.如在一些试验中, 所关

22、心的随量往.往不能直接测量得到, 而是某个能直接测量的随量的函数. 在本节中, 我们将讨论如何由已知的随量X的分布去求它的函数Y=g(X) 分布. 设X为连续型随 量, 已知其分布函数FX(x)和密度函数fX(x) , 随 量Y=g(X) , 要求Y的分布函数FY(y)和密度函数fY(y).2019/10/752535418由上面例子看到，与随 量有关的某些数值，虽不能完整地描述随 量，但能清晰地描述随 量在某些方面的重要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.q 随 量的平均取值 数学期望q 随 量取值平均偏离均值的情况 方差例如：考察一个班级的期末考试成绩, 既要看全班的平均成

23、绩，又要看每个人的成绩与平均成绩的 偏离程度，平均成绩越高，偏离程度越小， 说明教学效果越好.考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他射击着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.2. 随量的数字特征对于一个随量，若知道了它的分布（离散型的概率分布，连续型的概率密度函数），则这个随量随机取值的统计规律就全部掌握了. 但是，一方面由于实际问题中，要确定一个随量的分布很困难；另一方面又由于有不少问题只需要知道随量的某些特征（如随量取值的平均大小和取值的集中程度等等）就够了. 因此，在对随量的研究中，用数字来刻画它的2019/10/755565719 如果另外再抽验100只手表, 每作

24、一次这样的检验, 就得到一组不同的频率, 也就有不同的日走时误差的平均值. 由关于频率和概率关系的讨论知, 理论上应该用概率去代替上述和式的频率, 这时得到的平均值才是理论上(也是真正)的平均值. 这样我们就引出了随量的数学期望的概念.例:某手表厂在出厂产品中, 抽查了N=100只手表的日走时误差, 其数据如表:则抽查到的100只手表的平均日走时误差为xk Nk ( 2) 3 ( 1) 10 0 17 1 28 2 21 3 16 4 5xk1.22N100即平均值xNkxfkNkk日走时误差xk-2-101234只数Nk3101728211651. 随量的数学期望1.1、离散型随量的数学期望

25、例：有A，B两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？射手名称AB击数89108910概率0.30.1 0.6 0.2 0.50.32019/10/758596020例: 设随量X具有如下的分布，求E(X).k 2k1PX(1),k1,2,.k2k解 虽 然 有k 2k 1k 1xk PXxk( 1)k 2k( 1) kln 2k 1k 1k1收敛, 但1xk pkk 1k 1 k发散, 因此E(X)不存在.注：要求| xk | pk是因为离散型随量k的取值可以按不同顺序排列，而改变顺序时， 数学期望的取值不应改变. 而| xk | pkk能保证不管离散型随量的顺序如何，xk p

26、k 的值都一样.k定义:设离散型随量X的概率分布为PXxk pkk1,2,.如若| xk | pkk则称xk pk 为随量X的数学期望,记为E(X).k如果| xk | pkk则称随量X的数学期望不存在.2019/10/7616263211.2、连续型随 量的数学期望设X是连续型随 量，密度函数为f(x)， 为简单起见，设f(x)只在有限区间a, b上取不为0的值. 取分点a=x0x1x2 xn+1=b则X落在区间xi=(xi, xi+1)中的概率为ix i 1PXx xf (x)dxi当xi 很小时, PXxi f (xi)xi在微积分中，我们知道对离散取值的函数数列，我们可以考虑其和. 而

27、对连续取值的函数，我们不能简单的考虑函数值的和. 这时函数的和的概念被扩充为定积分. 而定积分的概念实际上是和式的极限.类似的，我们考虑连续型随 量的数学期望.例:有A，B两射手，他们的射击技术如表所示， 试问哪一个射手本领较好？射手名称AB击数89108910概率0.30.10.6 0.20.50.3解 A射击平均击数为80.390.1100.69.3B射击平均击数为80.290.5100.39.1所以A的射击技术较B的好.2019/10/764656622定义: 设 X 为连续型随量，f (x)为其密度函数，如果| x | f (x)dx则称xf (x)dx为随量 X 的数学期望(简称期望

28、) ，也称为X的均值. 记作E( X )或EX .根据定积分的定义，和式xi f (xi ) xii以定积分bxf (x)dxxf (x)dxa为极限.于是这一定积分的值便是X的精确的数学期望值. 如果X在无限区间上取值，上述定义还应扩充到无穷区间上的积分，这里就不再讨论了， 一般的，我们给出下列定义：这时概率分布可以看作X的离散近似，服从上述分布的离散型随量的数学期望为xi f (xi ) xii它近似的表达了连续型随量的平均值， 当分点越来越密时，近似会越来越好.xix0x1.xnpif(x0)x0f(x1)x1.f (xn)xn2019/10/767686923例:若随量X的概率密度函数

29、为f (x)1 1 ,x1 x2问随量X的数学期望E(X)是否存在.1 12x解| x | f (x)dx| x |2 dx2 dx1 x0 1 x11 d (1 x2 )1 ln(1 x2 ) |0 1x20所以E(X)不存在. 但1xxf (x)dxdx01x2 例:设随量X的概率密度函数为2x,0 x 1f (x) 0,其他.试求X的数学期望解E( X )xf (x)dx1 x 2xdx012 122x2dxx30303数学期望完全由随 量的概率分布所确定,如果X服从某一分布,也称E(X)是这一分布的数学期望.注意: 不是所有的随量都有数学期望2019/10/770717224由数学期望

30、定义有Eg(X)y j P(Yy j )jy jP(Xxi )ji:g ( xi ) y jg (xi )P(Xxi )j i:g ( xi ) y jg (xi )P(Xxi )i证明：这里仅对离散型随量的情形予以证明.令Yg ( X ),则Y为离散型随量, 设其可能值为yj , j1, 2, 于 是 P(Yy j )Pg( X )y jP(Xxi i:g ( xi ) y jP(Xxi )i:g ( xi ) y j1.3 随量函数的数学期望 定理:设Y是随量X的函数:Y=g(X)(g是实函数). (1)设离散型随量X的概率分布为PX=xk=pk, k=1,2,.若| g(xk ) | p

31、kk 1则E(Y ) E g( X )g( xk ) pkk 1 (2)设连续型随量X的密度函数为f(x), 若| g(x) | f (x)dx则有E(Y ) E g( X )g(x) f ( x)dx2019/10/773747525例:若EX, EX2都存在，试证明E( XEX ) 2EX 2(EX )2证 明 E(X-EX)2=EX-E(X)2=EX2 -2XE(X)+ E(X)2= E(X2)-2E(X)E(X)+ E(X)2= E(X2)- E(X)2下面给出第一条性质的证明. 其他请同学们完成. 证明(1)设离散型随机向量X分布列为PX=xi=pi,i=1,2,则aap iap i

32、x i p iE ( X )i 1i 1i 1bp ibp ibi 1i 1 (2)设连续型随量X的概率密度为f(x), 则aaf (x)dxaf (x)dxxf (x)dxE( X )bf (x)dxbf (x)dxb (3)因为PX=C=1, 故E(C)=E(X)=C1=C1.4 数学期望的性质(1) 若aXb, 则E(X)存在, 且有aE(X)b. 特别, 若C是常数, 则E(C)=C.(2) 设a1 ， a2为任意实数，g1(x), g2(x)为任意实函数，如果E(g1(X ) , E(g2(X ) 均存在，则E a1g1(X) + a2g2(X) =a1Eg1(X) +a2Eg2(X

33、)(3) 如果E(X) 存在，则对任意实数a, 有E (X +a) = E(X) + a2019/10/776777826定义：设X是一个随量, 若EX-E(X)2存在, 则称EX-E(X)2为X的方差. 记为D(X)或Var(X), 即D(X)= Var(X)= EX-E(X)2o ( X )D( X ) 称为X的标准差或均方差. 由前一部份的例子，得到下面的结果.定理:D( X )E( X 2 )E( X )2分析原因： A手表之所以优于B手表, 是因为A手表的日走时较B手表稳定. 其日走时与其日平均误差的偏离程度小. 研究随量与其均值的偏离程度是有必要的. 怎么样去度量这个偏离程度呢?

34、(1)xi-E(X)表示xi与E(X)之间的偏差; (2)EX-E(X)不能反映X与E(X)之间的整体偏差; (3)E|X-E(X)|可以度量X与E(X)之间的整体偏差,但运算不方便; (4)EX-E(X)2可以度量X与E(X)之间的整体偏差,且运算也较方便.1.5 随量的方差例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律：易知E(XA)=E(XB)=0. 由数学期望无法判别两种手表的优劣. 但直觉告诉我们A优于B, 怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢?XA-101XB-2-1012p0.10.80.10.10.20.40.20.12019/10/779808127例: 设X的具有数学

35、期望E(X)=, 方差D(X)=20,则X *X称为X的标准化变量. 试计算其数学期望和方差例：A，B两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律. 问哪种手表质量好些?解 易知E(XA)=E(XB)=0. 所以D(XA) ( 1) 20 0.1 0 2 0 0.8 21 0 0.1 0.2D(XB )( 2) 2 0 0.1 ( 2 1)0 0.2002 0.4102 0.2202 0.1 1.2由于D(XA)D(XB), 因此A手表较B手表的质量好.XA-101XB-2-1012p0.10.80.10.10.20.40.20.1 方差实际上是随量X的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望.于

36、是 (1)对于离散型随量X, 若PX=xi=pi, i=1,2,则D( X )xE( X )2 piii 1 (2)对于连续型随量X, 若其概率密度为f(x), 则D( X )xE( X )2 f (x)dx2019/10/782838428随量方差的性质 (1)设C是常数, 则D(C)=0 (2) D(X+a)=D(X) (3)设C是常数, X是随量, 则有D(CX)=C2D(X) (4)对于任意常数CE(X),有D(X)E(X-C)2 例：X为一随量，方差存在，令l(C)E( XC)2证明：当且仅当C=EX时，l(C)达到最小值，最小值为DX.证明：l(C)E( XC)2E( XEX )(

37、EXC)2E(XEX )22( XEX )(EXC)(EXC2)E( XEX )2(EXC)2 E( XEX )2DX显然，当且仅当C=EX时，l(C)达到最小值，最小值为DX.这个例子表明，若用常数C来预测X，X的实际取值与C存在偏差X-C,平均意义下的偏差程度用均方误差E(X-C)2来衡量, 则最好的误差应使得E(X-C)2最小，C=EX做到这一点. 例:设随量X概率密度为f(x), 求D(X).1 x,1 x 0f (x) 1x,0 x 1， 0,其他. 解01E( X )x(1 x)dxx(1 x)dx0E( X 2 )1 x2 (1x)dx 0x2 (1x)dx101106于是, D

38、(X)=E(X2)-E(X)2=1/62019/10/785868729推论1（马尔可夫不等式） 设X的k阶矩存在， 则对任意0 ，有E | X |kP| X |k .推论2 （切比雪夫不等式） 设X的方差存在， 则对任意0,有 P| X EX | DX2推论3 随量的方差为0当且仅当存在一个常数a,使得PX=a=1.定义 若E Xk(k=1,2,)存在, 则称 E( X - EX ) k 为X 的k阶中心矩. E | X - EX |k 为X的k阶绝对中心矩.注：数学期望是X的一阶原点矩，方差是X的二阶中心矩.由以上定理，若EX2存在，则数学期望和方差都存 在.定理 设h(x)是非负函数，X

39、是一个随 量，且Eh(X)存在，则对任意 0 ，有Ph( X ) Eh( X )证明：设X的密度函数为f(x), 则Eh( X )h(x) f (x)dxh( x) f ( x)dxh( x) f ( x)dxh (x)h ( x )h(x) f (x)dxf (x)dxPh( X )h( x)h( x)1.6 随量的矩与切比雪夫不等式定义:若EXk(k=1,2,)存在, 则称它为X的k阶原点矩, 简称k阶矩， E|X|k为X的k阶绝对矩.定理: 随量X的t阶矩存在，则其s(0st)阶矩存在.证明 设X为连续型随量，其密度函数为f(x).E | X |s| x |s f (x)dx| x |s

40、 f (x)dx|x| 1|x| 1f (x)dx| x |t f (x)dx|x| 1|x| 1P| X |1E | X |t推论：设k为正整数，C为常数，如果 EX k 存在则 E( XC)k 也存在，特别地 E( X - EX )k 也存在2019/10/7888990303. 常用的离散型分布1.分布一个随量X以概率1取某一常数，即PX=a=1,则称X服从a处的分布. 显然，EX=a, DX=0.(P. 55):1.第6次作业推论3 的证明 充分性显然，下证必然性. 首先注意到| XEX |0| XEX |1n 1n从而有11P| XEX | 0P(| XEX | n)P(| XEX | n )n 1n 1由切比雪夫不等式，有P| X EX | 1DX 0n(1 n)2从而得 P| XEX | 00.因此P| XEX | 0 1.2019/10/791929331应用 凡试验只有两个结果, 常用两点场合 分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是 否 等 等 .在实际应用中，一个0-1分布的