子群与陪群.ppt

1、7.4 子群与陪集,定义7.4.1 设( G, )是群，H 是G的一个非空子集，若H 关于运算 构成一个群，则称H是( G, )的一个子群。 任何群( G, )都至少有两个子群：群G本身，以及只包含单位元的集合e。称为群 G的平凡子群。,定理7.4.1 群( G, )的一个非空子集 H构成 G的子群的充要条件是： （1）若a, b H, 则 ab H, （2）若a H, 则 a-1 H。 推论7.4.1 若 H是群( G, )的一个子群，则H的单位元就是G的单位元；H的任意一个元素在H中的逆元就是它在G中的逆元。,定理7.4.2 群( G, )的一个非空子集 H构成 G的子群的充要条件是： 若

2、a, b H, 则 a b-1 H。 定理7.4.3 群( G, )的一个非空有限子集H构成G的子群的充要条件是： 若a, b H, 则 a b H。,设H，S是群( G, )的非空子集， 若H是包含S的唯一的最小的子群，则称 S是子群 H的生成子集，记为=H。 给定一个G的非空子集 S，则 S生成唯一的一个G的子群H ；反之不然，即给定一个G的子群H ，则一般来说生成 H 的子集不唯一。通常，称生成H的子集中一个最小的子集为H 的生成元集。 G的子群H的生成元集是不唯一的。,例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = A | |A|0 正交群 O(n) = A | AAT= E 洛

3、仑兹(Lorentz)群,下面讨论子群的陪集。目的是定义集合G上的一个等价关系及划分，由此得到群的一些重要性质。 设( G, )是一个群，H为其子群，则可定义集合G上的一个等价关系如下： ab a b-1 H 关系满足下面的条件： （1）（自反性） a G，因为 a a-1 H，故aa； （2）（对称性）若ab，则 a b-1 H，因为H是子群，故 b a-1 = (a b-1)-1 H，即ba； （3）（传递性）若ab 且 bc，则 a b-1, b c-1 H，故 a c-1= a b-1b c-1 H，即ac。 因此关系是等价关系。,定义7.4.2 由上述等价关系决定的 G 中元素的每个

4、等价类，都称为子群H的一个右陪集。 以 a 为代表元的右陪集记为Ha。 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论：集合Ha恰好由在下所有与 a等价的元素组成。 ba b a-1 H b=h a b Ha h= b a-1 h H 故有 Ha= ha | h H ,例7.4.2 设H=(1), (12)，则 H 是S3的一个子群。 由于，H = H(1) = H(12) =(1), (12) ， H(13) = H(123) =(13), (123) ， H(23) = H(132) =(23), (132) 。 因此，子群H 将S3划分成了三个互不相交的右陪集并， S3=H(1)H(13)H(

5、23)。,定义7.4.3 设( G, )是一个群，H为其子群，则定义集合G中的一个等价关系 如下： a b b-1a H 由等价关系 决定的G中元素的每个等价类，都称为子群H的一个左陪集。 以 a为代表元的左陪集记为 aH。 与H的右陪集的结论类似地有： aH= ah | h H ,例7.4.3 n对于S3的子群H=(1), (12) ， 故有： (1)H=(1), (12)，H(1) =(1), (12)； (13)H=(13), (132)， H(13) =(13), (123)； (23)H =(23), (123)，H(23) =(23), (132)。 于是有(13)H H(13)，

6、 (23)H H(23)。,定理7.4.4 设H为群( G, )的一个子群，则H的左陪集数与右陪集数相等。 即由和 诱导的 G的二个划分的基数相等。 证. 设子群 H的左陪集的集合为Pl ，右陪集的集合记为Pr 。 作 f : Pl Pr , aH Ha-1 。下面证明 f 是一个双射。 首先，若 aH=bH，则 b-1a H，即b-1(a-1)-1 H，从而Ha-1 =Hb-1。说明 f 是一个映射。 其次，若Ha-1 =Hb-1，则 b-1a =b-1(a-1)-1 H，从而aH=bH，故 f 是单射；对任意的 Ha Pr，有a-1H Pl ， 使得 f (a-1H)= Ha ，故 f 是

7、满射。 因此， f 是一个双射。,定理7.4.5 群( G, )中子群H的每对右(或左)陪集之间都存在一个双射。 证 只需证明在每一个右陪集与H之间都存在一个双射。 作映射 f : HHa, hha 即得双射。,例. (p132-7.17) 设是集合S =1,2,n上的置换，定义 S上的等价关系： ij kZ , k(i)= j。 称以i为代表元的等价类为 i 在下的轨道。 设S=1,2,8, =(78)(465)(13), 求所有的轨道 解. 2=(456),3=(78)(13),4=(465),5=(78)(456)(13) 6=(1)， 1,3 的轨道1, 3, 2的轨道2, 4,5,6

8、的轨道4, 5, 6, 7, 8的轨道7, 8。,若H为群( G, )的子群，则|Ha|=|aH|=|H|。 一般地，H的左、右陪集并不相等。 设Ha，Hb是H的二个右陪集，则要么 Ha = Hb，要么 HaHb = 。,定义7.4.4 群( G, )中子群H的不同右(或左)陪集的个数，称为H在G中的指数，记为|G:H|。 定理7.4.6 (Lagrange) 设G是有限群，则子群H的阶数和H在G中的指数都能整除G的阶数，并且有如下的关系: |G|=|G:H|H|。 证. 设 H是有限群G的子群，则子群H的阶及 H在G中的指数 m都是有限正整数。 G中的|G|个元素被划分成 m 个右陪集，而每个右陪集都恰好有|H|个元素，因此 |G|=|G:H|H|,推论7.4.6 设G是有限群，g G，则元素g的阶能整除G的阶。 证 设元素g的阶是n，则元素g生成一个阶为n的循环子群，于是n 是子群 的阶，因此n能整除群G的阶。,例7.4.4 考察三次对称群S3及其子群 H=(1), (12) S3的阶是6；H的阶是2；H有3个右陪集，因此 H 在 S3中的指数是3。 当然2和3都整除6，并且6=2x3。 S3的6个元素是(1), (12), (13), (23), (123