小学奥数教程之-计数之归纳法教师版(151)全国通用(含答案)

1、7-6-1. 计数之归纳法教学目标前面在 加法原理、乘法原理、排列 合 已 穿插 解了 数中的一些常用的方法，比如枚 法、 形 法、 数法、捆 法、排除法、插板法等等， 里再集中学 一下 数中其他常 的方法，主要有 法、整体法、 法、 推法 些 数方法与技巧要做到灵活运用例题精讲从条件 小的数开始，找出其中 律，或找出其中的 推数量关系， 出一般情况下的数量关系【例1】 如 所示，在 22 方格中，画一条直 最多穿 3 个方格；在个方可知；那么在 55 方格中，画一条直 ，最多穿 33 方格中，画一条直 最多穿 个方格。5【考点】 数之 法【 度】2星【 型】填空【关 】希望杯，四年 ，复 ，

2、第14 ，6 分【解析】 边 每多 1，穿 的方格多2，那么 55 的最多穿 3+2+2+2=9 个方格【答案】 9【例 2】 一条直 分一个平面 两部分两条直 最多分 个平面 四部分 5 条直 最多分 个平面 多少部分 ?【考点】 数之 法【 度】 3星【 型】解答【解析】 方法一：我 可以在 上 着画出1 条直 ， 2 条直 ， 3 条直 ， 的情形，于是得到下表：由上表已知5 条直 最多可将 个平面分成16 个部分，并且不 知 ，当有n 条直 ，最多可将平面分成 2+2+3+4+n n1+n=+1 个部分 2方法二：如果已有k 条直 ，再增加一条直 ， 条直 与前k 条直 的交点至多k

3、个，因而至多被分成 k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1 个部分于是3 条直 至多将平面分 4+3=7 个部分，4 条直 至多将平面分 7+4=11 个部分，5 条直 至多将平面分 11+5=16个部分 k k1一般的有k 条直 最多将平面分成：1+1+2+k=+1 个部分，所以五条直 可以分平面 216 个部分【答案】16【巩固】平面上 5 条直 最多能把 的内部分成几部分？平面上100 条直 最多能把 的内部分成几部分？【考点】 数之 法【 度】 4 星【 型】解答【解析】 假 用 ak 表示 k 条直 最多能把 的内部分成的部分数， 里k 0， 1， 2， a0

4、1a1=a0 +1 2a2=a1 2=4a3=a2 3=7a4=a3 +4 11故 5 条直 可以把 分成16 部分， 100 条直 可以把 分成5051 部分【答案】5051 部分【例 3】 平面上 10 个两两相交的 最多能将平面分割成多少个区域？【考点】 数之 法【 度】 4 星【 型】解答【解析】先考 最 的情形 了叙述方便， 平面上k 个 最多能将平面分割成ak 个部分669871232 345511123424711 121314810从 中可以看出， a1 2， a242 21 ， a3 8 422 ， a414823 ， 可以 ak 足下列关系式：akak 12 k1 上， 当

5、平面上的 ( k1 )个 把平面分成ak1 个区域 ， 如果再在平面上出 第k 个 ， 了保 划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个 不能通 平面上前k 1 个 之 的交点 ，第 k 个 与前面 k1 个 共 生 2(k1) 个交点，如下 ：这 2 ( k 1) 个交点把第 k 个 分成了 2( k1) 段 弧， 而 2 (k1) 段 弧中的每一段都将所在的区域一分 二，所以也就是整个平面的区域数增加了2( k1) 个部分所以， ak ak 1 2 k 1那么， a10 a9 2 9 a8 2 8 2 9a72 72 829a12122.27 2 8 2 92212.78992 故 10 个

6、最多能将平面分成92 部分【答案】 92【例4】10 个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】 数之 法【 度】 4 星【 型】解答【解析】 设 n 个三角形最多将平面分成an 个部分n1 ， a12 ；n2 ，第二个三角形的每一条 与第一个三角形最多有2 个交点，三条 与第一个三角形最多有236（个）交点 6 个交点将第二个三角形的周 分成了6段， 6 段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6 个部分，即 a222 3 n 3 ，第三个三角形与前面两个三角形最多有4 3 12（个）交点，从而平面也增加了 12 个部分，即： a3 2 23 4 3 一般地，第 n 个三

7、角形与前面n 1个三角形最多有 2 n13 个交点，从而平面也增加2 n 1 3 个部分，故 an2 2 3 432 n132 2 42 n 1 3 3n 2 3n2；特 地，当 n10 ， a1031023102272 ，即10个三角形最多把平面分成272 个部分【答案】 272【例5】 一个 方形把平面分成两部分，那么3 个 方形最多把平面分成多少部分？【考点】 数之 法【 度】 4 星【 型】解答【解析】 一个 方形把平面分成两部分第二个 方形的每一条 至多把第一个 方形的内部分成2 部分， 第一个 方形的内部至多被第二个 方形分成五部分同理，第二个 方形的内部至少被第一个 方形分成五部

8、分 两个 方形有公共部分有数字 9 的部分 ) 有一个区域位于两个 方形外面，所以两个 方形至多把平面分成(如下 ， 10 部分第三个 方形的每一条 至多与前两个 方形中的每一个的两条 相交，故第一条 被隔成五条小 段，其中 的三条小 段中的每一条 段都把前两个 方形内部的某一部分一分 二，所以至多增加 3 4=12 个部分而第三个 方形的 4 个 点都在前两个 方形的外面，至多能增加4 个部分所以三个 方形最多能将平面分成10+12+4=26 【小 】 n 个 形最多可把平面分成部分数：直 ：nn112； ： 2nn 1 ；三角形： 23nn1 ； 方形： 24nn1 【答案】 26【例 6

9、】 在平面上画5 个 和1 条直 ，最多可把平面分成多少部分?【考点】 数之 法【 度】 5 星【 型】解答【解析】 先考 1 个 将平面分成 2 个部分 增加 1 个 ， 个 与原有的1 个 最多有两个交点，成 2 条弧，每条弧将平面的一部分一分 二，增加了2 个部分，所以 2 个 最多将平面分成4 个部分当有3 个 ，第 3 个 与原有的 2 个 生4 个交点而增加4 个部分，所以 3 个 最多将平面分成8 个部分同 的道理，5 个 最多将平面分成 22 个部分再考 直 直 与每个 最多有2 个交点， 与5 个 最多有10 个交点它 将直 分成11条 段或射 ，而每条 段又将平面的一部分一

10、分 二，2 条射 增加了一部分，因此5 个 和 1条直 最多可将平面分成32 个部分【答案】 32【例 7】 在一个西瓜上切6 刀，最多能将瓜皮切成多少片？【考点】 数之 法【 度】 4 星【 型】解答【解析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是 形，所以球面上的切割 是封 的 周，考 每一次切割能增加多少瓜皮片当切1刀 ，瓜皮被切成两份，当切第2 刀 ，由于切割 相交，所以瓜皮被切成4分， ，切第 n 次 ，新增加的切割 与原来的切割 最多有2 n1 个交点 些交点将第 n 条切割 分成 2 n1 段，也就是 新增加的切割 使瓜皮数量增加了2 n 1 ，所以在西瓜上切 6 刀，最多能

11、将瓜皮切成 1 1 2 1 22 23 2 42 5 32 片【答案】 32【例8】 在一大 面包上切 6 刀最多能将面包切成多少 （注：面包是一个立体几何 形，切面可以是任何方向）【考点】 数之 法【 度】 5 星【 型】解答【解析】题 目相当于6 个平面能将空 划分 多少个部分通 找 律来 找 推关系， 然的1个平面能将空 划分成2 ， 2 个平面能将空 划分成4 ，3 个平面能将空 划分成 8 个平面，当增加到第四个平面 ，第四个平面 能将原来空 中的8个部分中的其中几个划分如 ：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3 条直线，这三条直线将第四个平面分割成7 个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8 个空间中的7 个划分成两份，所以4 个平面能将空间划分成8715 个部分同样的第五个平面与