自控原理第三章————.ppt

1、34 高阶系统分析,一、高阶系统的二阶近似 方法：实际的系统都是高阶系统，为使问题简化，并将分析二阶系统的方法应用到高阶系统中，采用寻找系统闭环传递函数的一对闭环主导极点，对系统进行近似分析。,高阶系统微分方程的一般表达式为：,设初始值均为0，经过拉氏变化，得系统得闭环传递函数为：,系统的极点和零点可以是实数，也可以是共轭复数。如果系统的所有闭环极点各不相同，且都分布在s平面的左半部，则系统的单位阶跃响应的拉氏变换式为：,则系统的单位阶跃响应为：,如果系统的所有闭环极点既有实数又有共轭负数，则系统的单位阶跃响应的拉氏变换式为：,则系统的单位阶跃响应为：,上式表明，高阶系统的单位阶跃响应由稳态值

2、和一系列衰减指数曲线及衰减振荡指数曲线组成。各衰减项在响应过程中所起作用的大小取决于它们的指数si,KK值和幅值Ai、Bk、Ck的大小。,衰减项中某项的指数越大，那么它就衰减的越快，而指数si,KK分别是系统的负实根和复根的负实部，其数值的大小表示了该极点在左半平面上离虚轴的距离，离的越远，它对应的指数衰减的越快，对系统响应过程的影响越小，故那些离虚轴越近的极点，对系统的响应过程影响越大。 幅值Ai、Bk、Ck与系统的极点和零点都有关系，当极点离虚轴越远，对应的幅值也越小影响也越小。当零点和极点靠的很近时，对应的幅值也很小，产生了对消，这一对零、极点对响应过程的影响就很小了。,结论：高阶系统的

3、响应特性，是由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定的。,如果系统有一个极点（或一对复极点）离虚轴很近（且附近无零点存在），而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴距离的五倍以上，则可以近似认为，系统的动态特性由这个极点来确定，其它极点的影响可忽略不计。 这个（这对）极点就称为高阶系统的主导极点。一般主导极点是一对复极点，因此高阶系统就可以用这对主导极点所构成的二阶系统来近似。 主导极点的条件：离虚轴很近；附近无零点；其他极点远离该极点。 高阶系统的分析方法：近似法；间接法（根轨迹、频率法）。 偶极子:如果一对零极点距离很近，则在估算系统性能时该零点可以抵消掉极点所对应的瞬态响应

4、。,35 稳定性及代数判据,一、稳定性的概念 以钟摆为例来进行说明：,分析摆的运动规律： a：稳定平衡点 d：不稳定平衡点,二、稳定性的定义和数学条件 如果控制系统在初始条件的影响下，其响应过程随时间的推移而逐渐衰减并趋于零，则称这样的系统具有渐近稳定性，简称具有稳定性。反之，则称这样的系统不稳定。,三.稳定的充要条件 设系统的闭环传递函数为:,由于系统的初始条件为零,当输入一个理想的单位脉冲(t)时,则系统的输出便是单位脉冲过渡函数k(t),如果 ,则系统稳定。 若 是线性系统特征方程 的根,且互不相等,则,式中 则通过拉式变换,求出系统的单位脉冲过渡函数为 欲满足 ,则必须各个分量都趋于零

5、。式中 为常数,即只有当系统的全部特征根 都具有负实部才满足。,稳定的充要条件是:系统特征方程的全部根都具有负实部,或者闭环传递函数的全部极点均在s平面的虚轴之左。 特征方程有重根时,上述充要条件完全适用。,三、劳思稳定判据,方法：对于高阶系统，可以将特征方程的系数排列成劳思表，然后进行逐项计算，并利用劳思判据来判断系统的稳定性。,若系统的特征方程为： a0sn+s1sn-1+.an-1s+an=0(a00) 劳思表中各项系数如下表所列，则系统稳定的充分必要条件是：劳思表中第一列所有元素的计算值均大于零。如果第一列中出现小于零的元素，则系统就不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正

6、实根的数目。,解：列出系统的劳思表如下： s6 2 3 6 7 s5 5 4 14 s4 7/5 2/5 7 s3 18/7 -11 s2 115/18 7 s1 1589/115 s0 7,eg37 已知某一控制系统的微分方程如下所示，试判断系统的稳定性。 2s6+5s5+3s4+4s3+6s2+14s70,由于系统的劳思表第一列出现了负数，所以系统不稳定，且第一列变号两次，因此系统有两个位于右半复平面的根。,例：已知某单位反馈系统，其开环零极点如下图示，问：闭环系 统是否可以稳定？确定开环增益的范围。,解：依题，系统结构图为： 并且有： 列劳斯表：,4、劳思稳定判据的特殊情况,（1）劳思表

7、中某一行出现0，而其他各项不为零或不全为零，则可以用一个很小的正数代替它，而继续计算其余各元。 例如：D1(s)=s33s+5=0,S3 1 -3 S2 0() 5 S1 35/ s0 5,因为劳思表第一列出现负数，说明系统不稳定，且有两个位于s右半平面的根。,den=1 0 3 5; roots(den),-2.2790 1.1395 + 0.9463i 1.1395 - 0.9463i,S4 1 10 24 S3 5 20 S2 6 24 S1 0() s0 24,D2(s)=s4+5s3+10s2+20s+24=0,的上一行首列与下一行首列符号相同，这说明系统有一对纯虚根存在。,den=

8、1 5 10 20 24; roots(den),-3.0000 -2.0000 -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i,例如：D1(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50=0 s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 0 0,（2）如果劳思表中某一行所有元素都为0，则表明方程有一些绝对值相同但符号相异的根（如符号互异的实根、一对共轭虚根）。这种情况下，可以利用全0行的上一行各元构造一个辅助多项式，并以辅助多项式的导函数的系数代替劳思表中的全零行，继续计算下去。而这些大小相等关于原点对称的根可以通过求解辅助方程得到。,S3 8 96,s

9、2 24 50 s1 112.7 s0 -50,劳思表第一列出现负数，表明系统不稳定。,0.0000 + 5.0000i 0.0000 - 5.0000i 1.0000 -2.0000 -1.0000,例如：D2(s)=s5+s4+4s3+24s2+3s+63=0 s5 1 4 3 s4 1 24 63 s3 -20 -60 s2 21 63 s1 0 0,S1 42,s0 63,劳思表第一列出现负数，表明系统不稳定。,-3.0000 1.0000 + 2.4495i 1.0000 - 2.4495i 0.0000 + 1.7321i 0.0000 - 1.7321i,在线性控制系统中，劳思判

10、据主要用来判定系统的稳定性，但其局限在于：如果系统不稳定，则不能直接给出使系统稳定的方法；系统稳定也不能保证系统具有满意的动态性能。,劳思判据的另一个应用就是用来判断特征方程的根位于复平面上给定垂线s=a(a通常称为给定稳定度)的左侧的根数目，从而判断系统是否具有良好的动态响应。 方法：用新变量s1=s+a代入原方程，得到一个关于s1的新特征方程，然后对新方程运用劳思稳定性判据即可，若稳定，则系统特征根全部位于s=a之左。,eg38 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，(1) 试求系统稳定时，开环增益K、阻尼比的取值范围；(2)取2，并保证系统极点全部位于s1垂线之左，试确定此时开环增益K的

11、取值范围。,解：系统的开环增益K=Ka/100，系统的闭环传递函数为：,所以D(s)=s3+20s2+100s+Ka,列出劳思表为： s3 1 100 s2 20 Ka s1 100-Ka/20 s0 Ka,系统稳定，则应满足： 0 且 Ka0 且 Ka0且 0K20,当2时，D(s)=s3+40s2+100s+Ka 平移替换s=s1-1,有 D1(s)=(s1-1)3+40(s1-1)2+100(s1-1)+Ka =s13+37s12+23s1+(Ka61) 列出劳思表如下： s13 1 23 s12 37 Ka61 s11 (912-Ka)/37 0 s10 Ka61,系统要稳定，则应满足

12、： Ka610 (912-Ka)/370 K=Ka/100,因此，要保证所有极点都位于s1之左，开环增益K应满足： 0.61K9.12,劳斯判据总结,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素均为正!,若变号系统不稳定! 特殊情况也不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,问题讨论： 系统稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关, 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无 直接关系,四、结构不稳定及其改进措施,仅仅调节参数无法达到稳定的系统，称为结构不稳定系统。 当系统开环传递函数

13、中积分环节个数较多，往往会造成闭环特征是缺项。如下图所示的液位控制系统结构图，K0/s为受控对象水箱的传递函数，KL1为进水阀门的传递函数，Kp为杠杆比，Km/s(Tms+1)为执行电动机的传递函数，Hr为希望的液面高度，Hc为实际的液面高度。,由结构图可得系统的闭环特征方程为：,方程系数 a0=Tm，a1=1，a2=0，a3=K 由于a2=0，不满足系统稳定的必要条件，因此系统是不稳定的，而且无论怎样调节参数K和Tm都不能使系统稳定，所以是一个结构不稳定的系统。,K=1,Tm=1,K=0.5,Tm=2,要使系统稳定，必须改变原系统的结构，而消除结构不稳定的措施有两种，一是改变积分性质，二是引入比例微分控制，补上特征方程中的缺项。,（1）改变积分性质：用反馈KH包围积分环节，破坏其积分性质，如下图所示：,积分环节的被破坏，改善了系统的稳定性，但会使系统的稳态精度下降，如下图所示：,当水箱的传递函数被反馈包围时，在K=1,Tm=1时，分别取：KhK0=0、1、2时，系统的单位阶跃响应曲线如图所示：,（2）引入比例微分环节，如下图所示，其闭环传递函数,闭环特征方程 Tms3+s2+KS+K=0,其各项