与轴对称相关的线段之和最短问题

1、与轴对称相关的线段之和最短问题-作者 : _-日期 : _与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰一问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册p42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反

2、三，事倍功半的效果。二数学模型：1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 a 、b，在直线 l 上求作一点 p，使 pa+pb 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 a 、b，在直线 l 上求作一点 p，使 pa+pb 最小。3.如图，点 p 是 mon 内的一点，分别在om ，on 上作点 a， b。使 pab 的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点 p，q 为 mon 内的两点，分别在om ，on 上作点 a ，b。使四边形 paqb 的周长最小。为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型”5.如图，点 a 是 mon 外的一点，在射线on

3、 上作点p，使 pa 与点 p 到射线 om 的距离之和最小6. .如图，点 a 是 mon 内的一点，在射线on 上作点 p，使 pa 与点 p 到射线om 的距离之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三 .两边之和大于第三边型(一 )直线类1如图， a、b 两个小集镇在河流cd 的同侧，分别到河的距离为ac 10 千米， bd30 千米，且 cd30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向a 、b 两镇供水，ba铺设水管的费用为每千米3 万，请你在河流cd 上选择水厂的位置m ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点 b 关于直线 cd 的对称点 b，连接ab ，交

4、 cd 于点 mcmdeb则 am+bm = am+bm = ab ，水厂建在 m 点时，费用最小如右图，在直角 abe 中，ae = ac+ce = 10+30 = 40eb = 30所以： ab = 50总费用为： 503 = 150万2如图， c 为线段 bd 上一动点，分别过点b、 d作 abbd， edbd，连接ac、ec。已知 ab=5，de=1，bd=8，设 cd=x.(1) 用含 x 的代数式表示 acce的长；(2) 请问点 c 满足什么条件时， ac ce的值最小 ?(3) 根据 (2) 中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x) 2+9 的最小值a5xe1b

5、8-xcdfe( 1)ac =(8-x) 2 + 25，ce =x2 + 1则 ac+ce =(8-x) 2 + 25 +x2 + 1(2)a 、c、e 三点共线时 ac+ce最小连接 ae，交 bd于点 c，则 ae就是 ac+ce的最小值最小值是 10(3) 如右图， ae的长就是这个代数式的最小值在直角 aef中,af = 5 ef = 12根据勾股定理ae = 13a3xdb12-xc2fe3求代数式x2 + 1 +(4-x) 2 + 4 （ 0 x 4）的最小值如右图， ae 的长就是这个代数式的最小值a2x在直角 aef 中db4-xc1af = 3 ef = 4fe则 ae =

6、5所以，这个代数式的最小值是5(二 )角类4两条公路 oa 、ob 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点p，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短 .分析 这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，oa 与 ob 相交，点 p 在 aob 内部，通常我们会想到轴对称，分别做点p 关于直线oa 和 ob 的对称点 p1、p2 ，连结 p1p2 分别交oa、ob 于 c、d， c、d 两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点

7、，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明 .解：分别做点 p 关于直线 oa 和 ob 的对称点 p1、p2，连结 p1p2 分别交 oa 、ob 于 c、 d，则 c、 d 就是建加油站的位置 .若取异于 c、 d 两点的点，则由三角形的三边关系，可知在c、 d 两点建加油站运油车所走的路程最短 .点评：在这里没有详细说明为什么在c、d 两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。5如图 aob = 45 ，p是 aob 内一点， po =10，q、p 分别是 oa 、 ob 上的动点，求 pqr周长的最小值ap1qp分别作点 p 关于 oa 、ob 的对称点 p1

8、、p2，连接orbp1p2，交 oa 、ob 于点 q，r，连接 op ，op ，p212则 op = op1 = op2 = 10且 p1op2 = 90由勾股定理得 p1p2 = 10 2(三 )三角形类6如图，等腰 rt abc 的直角边长为2，e 是斜边 ab 的中点， p 是 ac 边上的一动点，则 pb+pe 的最小值为pe即在 ac 上作一点 p，使 pb+pe最小作点 b 关于 ac 的对称点 b，连接bfbe，交 ac 于点 p，则 be = pb+pe = pb+pebe 的长就是 pb+pe 的最小值在直角 bef 中， ef = 1，bf = 3根据勾股定理， be =

9、107如图，在 abc 中， ac bc 2， acb 90，d 是 bc 边的中点， e 是 ab 边上一动点，则eced 的最小值为 _。即是在直线 ab 上作一点 e，使 ec+ed 最小作点 c 关于直线 ab 的对称点 c，连接 dc交 ab于点 e，则线段 dc的长就是 ec+ed 的最小值。在直角 dbc中db=1， bc=2，根据勾股定理可得， dc=58等腰 abc 中， a = 20，ab = ac = 20 ， m 、n 分别是点，求 bn+mn+mc 的最小值edab、 ac 上的分别作点 c、b 关于 ab 、ac 的对称点 c、 b，连接 cb交 ab 、ac 于点

10、 m 、n，则 bn+mn+mc = bn+mn+mc = bc， bn+mn+mc 的最小值就a是 bc的值mncb bac = bac ， cab = cabbc bac = 60 ac= ac ，ab = ab ，ac = ab ac= ab ab c是等边三角形 bc= 209如图，在等边 abc 中， ab = 6 ，ad bc，e 是 ac 上的一点， m 是 ad上的一点，且 ae = 2，求 em+ec 的最小值aaeemhmbdcbdc因为点 c 关于直线 ad 的对称点是点 b，所以连接 be，交 ad 于点 m ，则me+md 最小，过点 b 作 bh ac 于点 h，则

11、 eh = ah ae = 3 2 = 1，bh =bc2 - ch2 =62 - 32 = 3 3在直角 bhe 中， be =bh 2 + he2 =(33)2 + 12 = 2 7(四 )正方形类10如图，正方形 abcd 的边长为 8， m 在 dc上，且 dm 2，n 是 ac 上的一动点， dn mn 的ad最小值为 _。nm即在直线 ac 上求一点 n，使 dn+mn 最小故作点 d 关于 ac 的对称点 b，连接 bm ，bc交 ac 于点 n。则 dn bn 线段的长就是dn 的最小值在直角中，则故 dn 的最小值是11如图所示，正方形abcd 的面积为 12， abe 是等

12、边三角形，点e 在正方形 abcd 内，在对角线 ac 上有一点 p，使 pdpe 的和最小，则这个最小值为（）a 2 3b26c3d6adepbc即在 ac 上求一点 p，使 pe+pd 的值最小点 d 关于直线 ac 的对称点是点 b，连接 be 交 ac 于点 p，则 be = pb+pe = pd+pe， be 的长就是 pd+pe 的最小值be = ab = 2312在边长为 2 的正方形 abcd 中，点 q 为 bc 边的中点，点 p为对角线ac 上一动点，连接 pb、pq，则 pbq 周长的最小值为_（结果不取近似值） .ad即在 ac 上求一点 p，使 pb+pq的值最小因为

13、点 b 关于 ac 的对称点是 d 点，所以连接 dq，与 acpbc的交点 p 就是满足条件的点qdq = pd+pq = pb+pq故 dq 的长就是 pb+pq 的最小值在直角 cdq 中， cq = 1 ， cd = 2根据勾股定理，得， dq =513如图，四边形 abcd 是正方形， ab = 10cm，e 为ad边 bc 的中点， p 为 bd 上的一个动点，求 pc+pe的最小值；bec连接 ae ，交 bd 于点 p，则 ae 就是 pe+pc的最小值在直角 abe 中，求得 ae 的长为 55(五 )矩形类14如图，若四边形 abcd 是矩形， ab = 10cm，bc =

14、 20cm， e 为边 bc 上的一个动点， p 为 bd 上的一个动点，求pc+pd 的最小值；作点 c 关于 bd 的对称点 c，过点 c，作 cbcbc，交 bd 于点 p，则 ce 就是 pe+pc的最小值20ad直角 bcd 中， ch =错误！未定义书签。h5直角 bch 中， bh = 85p bcc的面积为： bh ch = 160bec所以 cebc = 2160则 ce = 16(六 )菱形类15如图，若四边形 abcd 是菱形，aab=10cm ， abc=45 ，e 为边 bc 上的一pbdec个动点， p 为 bd 上的一个动点，求pc+pe的最小值；点 c 关于 b

15、d 的对称点是点 a ，过点 a 作 ae bc，交 bd 于点 p，则 ae 就是pe+pc的最小值在等腰 eab 中，求得 ae 的长为 52(七 )直角梯形类16已知直角梯形 abcd 中， adbc，abbc，ad=2，bc=dc=5，点 p 在bc 上移动，则当pa+pd 取最小值时， apd 中边 ap 上的高为（）a、 217b、 417c、 817 d、3171717ad作点 a 关于 bc 的对称点 a，连接 ad ，交 bc 于点p则 ad = pa+pd = pa+pdad 的长就是 pa+pd 的最小值bpcs apd = 4在直角 abp 中， ab = 4 ，bp

16、= 1a根据勾股定理，得ap =174 8 17所以 ap 上的高为： 2 17 = 17(八 )圆类17已知 o 的直径 cd 为 4， aod 的度数为 60，点 b 是ad 的中点，在直径 cd 上找一点 p，使 bp+ap 的值最小，并求abbp+ap 的最小值即是在直线 cd 上作一点 p，使 pa+pb 的值最小cdopa作点 a 关于 cd 的对称点 a，连接 ab ，交 cd于点 p，则 ab 的长就是 pa+pb 的最小值连接 oa， ob，则 aob=90 ，oa = ob = 4根据勾股定理， ab = 4218如图， mn 是半径为 1 的 o 的直径，点 a 在 o

17、上， amn 30，b 为an 弧的中点， p 是直径 mn 上一动点，则 papb 的最小值为 ()a 22b2c 1d 2a即在 mn 上求一点 p，使 pa+pb 的值最小b作点 a 关于 mn 的对称点 a，连接 ab ，交 mn mp no于点 p，则点 p 就是所要作的点aab 的长就是 pa+pb 的最小值连接 oa、 ob，则 oab 是等腰直角三角形所以 ab =2(九 )一次函数类19在平面直角坐标系中，有a （3， 2），yb（4，2）两点，现另取一点c（1，n），当n =_时， ac + bc 的值最小432b1点 c（1，n），说明点 c 在直线 x=1 上，所以43

18、 21 o1234x1作点 a 关于直线 x=1 的对称点 a ，连接 ab ，交直线 x=1 于点 c，则 ac+bc 的值最小设直线 ab 的解析式为 y=kx+b ，则-2=-k+b2=4k+b解得： k = (4/5)b = - (6/5)2aa34所以： y = (4/5)x-(6/5)当 x = 1 时， y = -(2/5)故当 n = -(2/5)时， ac+bc 的值最小20一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点a（ 2， 0）， b（0，4）（ 1）求该函数的解析式；（ 2） o 为坐标原点，设 oa 、 ab 的中点分别为c、 d， p 为 ob 上一动点

19、，求pc pd 的最小yb值，并求取得最小值时p 点坐标(1)由题意得：d0= 2x+b4= bpxcoca解得 k = -2， b= 4，所以 y = -2x+4(2)作点 c 关于 y 轴的对称点 c，连接 cd，交 y 轴于点 p则 cd = cp+pd = pc+pd cd 就是 pc+pd 的最小值连接 cd，则 cd = 2，cc = 2在直角 ccd 中，根据勾股定理cd = 22求直线 cd 的解析式，由 c(-1，0)，d(1， 2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1当 x = 0 时， y =1，则 p(0，1)1k21

20、如图，一次函数y = 2x 与反比例函数 y = x 交于点 a ，am x 轴于点 m ，s oam = 1(1)求 k 的值，k(2)点 b 为双曲线 y = x 上不与 a 重合的一点，且 b(1，n)，在 x 轴上求一点 p，使 pa+pb 最小(1)由 s oam = 1 知， k = 2(2)作点 a 关于 x 轴的对称点 a ，连接 a b，交 x轴于点 p，连接 pa，则 pa+pb 最小。用待定系数法求直线a b 的解析式为 y = - 3x + 5，因为点 p 在 x 轴上，所以设 y = 0，即 0 = - 3x + 5，5解得 x = 35所以 p( 3 ，0)22如图

21、，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线（ 1）由图观察易知 a （0，2）关于直线 l 的对称点 a的坐标为（ 2，0），请在图中分别标明 b（ 5， 3）、 c（ 2，5）关于直线 l 的对称点 b、 c的位置，并写出他们的坐标： b、c；（ 2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点p（ a，b）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点 p的坐标为（不必证明）；运用与拓广：（ 3）已知两点 d（1， 3）、 e（ 1， 4），试在直线 l 上确定一点 q，使点 q 到 d、e 两点的距离之和最小，并求出 q 点坐标(1)点 b(5， 3)、c(-2，5)关于

22、直线 l的对称点 b(3，5)、 c(5，-2)(2)坐标平面内任一点p(a， b)关于直线 l 的对称点 p的坐标为 (b，a)ybclabox(3)作点 e 关于直线 l 的对称点 e，ea连接 de，交直线 l 于点 qqc则 qe+qd 的值最小de设直线 de的解析式为： y =kx+b，因为 d(1， -3)、e(-4,-1)，则-3 = k+b-1 = -4k+b213解得： k = - 5，b = - 52 13 所以 y = - 5 x - 513当 x = y 时，有 x = y = - 713 13则 q 点的坐标为 (- 7 ，- 7 )(十 )二次函数类23如图，在直

23、角坐标系中，点a 的坐标为（ -2，0），连结 0a ，将线段 oa绕原点 o 顺时针旋转 120。，得到线段 ob.（ 1）求点 b 的坐标；（ 2）求经过 a 、o、b 三点的抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 c，使 boc 的周长最小？若存在，求出点 c 的坐标；若不存在，请说明理由 .（注意：本题中的结果均保留根号）(1)b(1，3 )y(2) y = 33x2 + 2 3 3x(3)因为点 o 关于对称轴的对称点是点a ，则连接bcab ，xao交对称轴于点 c，则 boc 的周长最小3 2233y = 3 x+ 3 x ，当 x=-1 时， y = 3

24、3所以 c(-1， 3 )24如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点 p 的坐标为 (1，-433)，交 x 轴于 a 、b两点，交 y 轴于点 c(0，- 3 )（ 1）求抛物线的表达式（ 2）把 abc 绕 ab 的中点 e 旋转 180，得到四边形 adbc 判断四边形 adbc 的形状，并说明理由ydaxobfc（ 3）试问在线段 ac 上是否存在一点 f，使g得 fbd 的周长最小，若存在，请写出点f 的坐标；若不存在，请说明理由(3)作点 b 关于 ac 的对称点 g，连接 dg，交 ac 于点 f，则 fbd 的周长最小113因为 cfbd ，cg = 2bd，所以 f(-

25、2，- 2 )25如图，抛物线 yx2与x轴交于，两点，与y轴交于c点，且bx 2a ba( 1， 0)（ 1）求抛物线的解析式及顶点 d 的坐标；（ 2）判断 abc 的形状，证明你的结论；（ 3）点 m(m,0) 是 x 轴上的一个动点，当 mcmd 的值最小时，求 m 的值123-2y(1) y = 2x- 2c(3)作点 c 关于 x 轴的对称点 c，连接 cd，交 x 轴于点 m ，则 mc+md 的值最小，求出直线 cd 的解析式，即可得到m 点的坐标24m = 41omxabcd方法点拨：此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“

26、轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。26如图，在直角坐标系中，a ， b， c 的坐标分别为（ -1，0），（ 3，0），（ 0， 3），过 a ， b，c 三点的抛物线的对称轴为直线l ，d 为直线 l 上的一个动点，(1)求抛物线的解析式；(2)求当 ad+cd 最小时点 d 的坐标；(3)以点 a 为圆心，以 ad 为半径作圆 a ；证明：当

27、 ad+cd 最小时，直线 bd 与圆 aycdaobx相切；写出直线 bd 与圆 a 相切时，点 d 的另一个坐标。(2)连接 bc，交直线 l 于点 d，则 da+dc = db+dc = bc ，bc 的长就是 ad+dc 的最小值bc： y = -x + 3则直线 bc 与直线 x = 1 的交点 d(1，2)，27如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点a（ - 1， 0）和点b（0，- 5）（ 1）求该二次函数的解析式；（ 2）已知该函数图象的对称轴上存在一点 p，使得 abp 的周长最小请求出点 p 的坐标(1) y = x2 4x - 5y(2)bc： y = x - 5xoac

28、p(2， -3)pb28已知等腰三角形 abc 的两个顶点分别是a(0，1)、 b(0， 3)，第三个顶点 c在 x 轴的正半轴上关于y 轴对称的抛物线 yax2 bx c 经过 a、 d(3， 2)、 p 三点，且点 p关于直线 ac 的对称点在 x 轴上(1)求直线 bc 的解析式；(2)求抛物线 yax2bxc 的解析式及点 p 的坐ybacxo标；(3)设 m 是 y 轴上的一个动点，求pm cm 的取值范围(1)以点 a 为圆心， ab 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点 c，在直角 aco 中 oa = 1， ac = 2根据勾股定理，得oc =3故 c( 3 ，0)设直线 bc 的

29、解析式为 y = kx+b ，则3 = b0 =3k +b解得 k = -3 ，b = 3(2)因为抛物线关于y 轴对称，所以设抛物线的解析式为 y = ax2+c，则1 = c-2 = 9a+c1解得 a = - 3 ， c = 1在直角 aco 中 ac= 2 ，oa = 1，则 aco = 30在直角 bco 中 oc =3 ， ob = 3，则 bco = 60所以 ca 是 bco 的角平分线e即直线 bc 和 x 轴关于直线 ac 对称因为点 p 关于直线 ac 的对称点在轴上故点 p 应在直线 bc 和抛物线上，则有方程组y = -3x + 31 2y = - 3x + 1解得

30、x1 =3y1= 0 x2 =2 3 y2 = -3ybacfxodpybacxomdp所以 p( 3 ， 0)，或 (23 ， -3)(3)当点 m 在 y 轴上运动时， pm+cm 没有最大值，只有最小值，所以求 pm+cm 的取值范围，就是要求pm+cm 的最小值当点 p 与点 c 重合时，即（3 ，）点 m 在原点， pm+cm 的值最小， pm+cm = 2 3所以 pm+cm 2 3当点 p(2 3 ，-3)时作点 c 关于 y 轴的对称点 e，过点 p 作 x 轴的垂线，垂足为f在直角 efp中， ef = 3 3 ， pf = 3根据勾股定理，得ep = 6所以 pm+cm 的

31、最小值是 6，则 pm+cm 629如图，在矩形 oabc 中，已知 a 、c 两点的坐标分别为a(4 ，0)、 c(0，2)， d 为 oa 的中点设点 p 是 aoc 平分线上的一个动点（不与点o 重合）（ 1）试证明：无论点 p 运动到何处， pc 总与 pd 相等；（ 2）当点 p 运动到与点 b 的距离最小时，试确定过 o、 p、 d 三点的抛物线的解析式；（ 3）设点 e 是（ 2）中所确定抛物线的顶点，当点 p 运动到何处时， pde 的周长最小？求出此时点 p 的坐标和 pde 的周长；（ 4）设点 n 是矩形 oabc 的对称中心，是否存在点 p，使 cpn = 90？若存在

32、，请直接写出点ypp 的坐标cbfxoda(1)ocp odp(2)过点 b 作 aoc 的平分线的垂线于点p，点 p 即为所求过点p 作 pmbc1于点 m ，则 pm = 2bf = 1所以点 p 的纵坐标为 3，又因为点 p 在 aoc 的平分线上，则 p(3，3)y因为抛物线过原点，故设 y = ax2p+ bx又抛物线经过点p(3，3)，d(2， 0)9a+3b=3所以 4a+2b=0 解得 a = 1，b = -2cfmbxoda则抛物线的解析式为y = x2 2x(3)点 d 关于 aoc 的平分线的对称点是点c，连接 ce 交 of 于点 p，则pde 的周长最小抛物线的解析式

33、为y = x2 2x 的顶点 e(1， -1)，c(0， 2)设直线 ce 的解析式为 y = kx+b ，则-1=k+b解得 k = -3， b = 2ycfb直线 ce 的解析式为 y = -3x+2y=-3x+211点 p 的坐标满足 x=y解得 x = 2,y = 21 1所以 p(2 ， 2 ) pde 的周长即是 ce + de = 10 + 2xodae11(4)存在这样的点 p，使 cpn = 90，坐标是(2 ，2 )或(2， 2)30已知：抛物线 y = ax2+bx+c(a0)的对称轴为 x = -1，与 x 轴交于 a 、b 两点，与 y 轴交于点 c，其中 a(-3

34、，0)、c(0， -2)（ 1）求这条抛物线的函数表达式（ 2）已知在对称轴上存在一点 p，使得 pbc 的周长最小请求出点 p 的坐标（ 3）若点 d 是线段 oc 上的一个动点（不与点 o、点 c 重合）过点 d 作 de pc交 x 轴于点 e，连接 pd、pe设 cd 的长为 m， pde 的面积为 s求 s与 m 之间的函数关系式试说明 s 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由b2a = 124(1)由题意得9a-3b+c = 0解得 a =3 ，b = 3 ，c = - 2yc = -2抛物线的解析式为22+4y =xx - 233oxab(2)点 b 关于对

35、称轴的对称点是点a ，连接 ac 交对p称轴于点 p，则 pbc 的周长最小设直线 ac 的解析式为 y = kx +b ，因为 a(-3 ， 0)，cc(0， -2)，则0 = -3k + b2-2 = b解得 k = - 3，b = -2所以直线 ac 的解析式为 y = -23 x 244把 x = -1 代入得 y = - 3 ，所以p(-1，- 3 )(3)s 存在最大值oeodoe2-m de pc， oa = oc，即3 =233oe = 3 - 2m ，ae = oaoe = 2m方法一，连接 ops = s四边形 pdoe soed = s poe + spod s oed1

36、34113=m) +2(2 - m)1 - 2(3 -m)(2 - m)2(3 -232333+3= - m2+ m = - (m-1)24424y3所以，当 m = 1 时， s 最大 = 4方法二，s = sssseoxab oacaep oedpcd3333dp= - m2+ m = - (m-1)2 +4424c(十一 )建桥选址类31如图，村庄 a 、b 位于一条小河的两侧，若河岸a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥cd，问桥址应如何选择，才能使a 村到 b 村的路程最近？作法：设 a、b 的距离为 r。把点 b 竖直向上平移 r 个单位得到点b；连接 ab ，交 a 于 c；过 c 作 cdb 于 d；连接 ac 、bd 。证明： bbcd 且 bbcd，四边形 bbcd 是平行四边形， cbbdac cddbac cb bbab bb在 a 上任取一点 c，作 cd，连接 ac、db，cb同理可得 ac cddb accbbb而 ac cba b ac cddb 最短。本题是研究