13 量子论.ppt

1、量子物理学,牛顿力学、热学、电磁学和波动学，统称经典物理学。 经典物理学研究的基本上是宏观领域的物理现象。 经典物理学虽然在宏观领域取得了巨大的成功，但有它的局限性。 相对论指出了经典物理学的第一个局限性不适用高速运动领域。 量子物理学指出了经典物理学的第二个局限性不适用于电子、原子、分子等微观领域。 相对论和量子物理学统称近代物理学。,从经典物理学到近代物理学，不仅仅是尺度上的问题，而是一次物理观念的革命，是人们认识物质世界的一次飞跃。,量子物理学研究的对象是微观粒子(如电子、原子、分子等)。而微观粒子往往有我们意想不到的性质。 这其中最主要和最普遍的是微观粒子的量子性和波动性。 量子 不连

2、续。,量子概念是 1900 年普朗克首先提出的，距今已有一百多年的历史. 其间，经过爱因斯坦、玻尔、德布罗意、玻恩、海森伯、薛定谔、狄拉克等许多物理大师的创新努力，到 20 世纪 30 年代就建立了一套完整的量子力学理论.,量子力学,量子论,早期量子论,量子力学,相对论量子力学,普朗克能量量子化假说 爱因斯坦光子假说 康普顿效应 玻尔的氢原子理论,德布罗意实物粒子波粒二象性 薛定谔方程 波恩的物质波统计解释 海森伯的测不准关系,狄拉克把量子力学与狭义相对论相结合,量子论主要内容,黑体辐射,实验规律,普朗克量子假说,黑体辐射,实验规律,黑体辐射,实验规律,黑体辐射,普朗克量子假说,普朗克量子假说

3、,实验规律,黑体辐射,黑体辐射,实验规律,黑体辐射,实验规律,黑体辐射,普朗克量子假说,实验规律,黑体辐射,康普顿散射及解释,实验规律,康普顿效应,光的量子性,光的波动性,光的波粒 二象性,康普顿效应,实验规律,康普顿效应,实验规律,康普顿效应,光的量子性,光的波动性,光的量子性,光的波动性,氢原子光谱,实验规律,线状光谱,氢原子光谱,实验规律,氢原子光谱,实验规律,氢原子光谱,波尔氢原子理论,轨道角动量量子化假设,量子跃迁假设,定态假设,波尔氢原子理论,波尔氢原子理论,定态假设,波尔氢原子理论,轨道角动量量子化假设,定态假设,波尔氢原子理论,量子跃迁假设,轨道角动量量子化假设,定态假设,波尔

4、氢原子理论,波尔氢原子理论,波尔氢原子理论,定态假设,波尔氢原子理论,轨道角动量量子化假设,定态假设,波尔氢原子理论,量子跃迁假设,轨道角动量量子化假设,定态假设,波尔氢原子理论,波尔氢原子理论,波尔氢原子理论,定态假设,波尔氢原子理论,轨道角动量量子化假设,定态假设,波尔氢原子理论,量子跃迁假设,微观粒子的 波粒二象性,测不准关系,波的描述,粒子描述 E, p,波的描述,德布罗意关系式,波函数,薛定谔方程,微观粒子的 波粒二象性,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观

5、粒子的 波粒二象性,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,德布罗意关系式,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,德布罗意关系式,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,波函数,德布罗意关系式,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,波函数,德布罗意关系式,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,薛定谔方程,波函数,德布罗意关系式,粒子描述 E, p,波的描述,测不准关系,微观粒子的 波粒二象性,一 黑体 黑体辐射,热辐射 任何物体在任何温度下都会发射不同频率 的

6、电磁波的现象为热辐射.物体在任何时候都存在发射 和吸收电磁辐射的过程.,2. 不同物体在某一频率范围发射和吸收辐射的能 力不同; 同一物体在某一频率范围发射越强, 吸收也越 强 .,13-1 黑体辐射 普朗克量子假设,实验表明 辐射能力越强的物体，其吸收能力也越强.,黑体 能完全吸收照射到它上面的各种频率的电磁辐射的物体称为黑体 .（黑体是理想模型）,1.单色辐射出射度 单位时间内从物体单位面积发出的频率在 附近单位频率区间（或波长在 附近单位波长区间）的电磁波的能量 .,单色辐射出射度 单位：,单色辐射出射度 单位：,定量研究热辐射的有关物理量,2.辐射出射度（辐出度）单位时间，单位面积上所

7、辐射出的各种频率（或各种波长）的电磁波的能量总和.,二 黑体辐射定律,（1）斯特藩玻耳兹曼定律,斯特藩玻耳兹曼常数,（2）维恩位移定律,常数,峰值波长,3000K,6000K,黑体单色辐出度实验曲线,和 关系,三 经典物理的困难,四 普朗克假设 普朗克黑体辐射公式（1900 年）,普朗克常量,能量子,普朗克黑体辐射公式,普朗克量子假说,(1)黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波， 并和周围的电磁场交换能量。,(2) 这些谐振子能量不能连续变化，只能取一些分立值，是最小能量 的整数倍,这个最小能量称为能量子。,普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858 1

8、947） 德国理论物理学家，量子论的奠基人.1900年12月14日他宣读了以关于正常光谱中能量分布定律的理论为题的论文，提出能量量子化的假设，并导出黑体辐射能量分布公式. 劳厄称这一天是 “量子论的诞生日”.,1905年爱因斯坦在能量量子化的启发下提出了光量子的假设, 并成功解释了光电效应.,量子观念在“非难”中得到发展.,普朗克晚年对自己工作的评论: “ 我徒劳无益的使基本量子论和经典理论一致的企图继续了许多年花了我极大的精力，我的同行中的许多人几乎把这看成悲剧，但我对他的看法是不同的，因为我从这工作中得到的对我的想法的深刻的澄清，对我有极大的价值. 现在我的确知道，作用量子的基本意义比我原

9、来所想象的的要大得多.”,诚实、严谨的科学态度,一 光电效应实验的规律,1 实验装置,光照射至金属表面, 电子从金属表面逸出, 称其为光电子.,2 实验规律,(1) 存在红限(截止)频率,几种纯金属的截止频率,仅当 才发生光电效应，截止频率与材料有关与光强无关 .,13-2 光电效应 光的粒子性,电流饱和值,(2) 存在遏止电压,(3)瞬时性(无延迟效应),遏止电势差与入射光频率具有线性关系, 与光强无关.,当光照射到金属表面上时，几乎立即就有光电子逸出,（光强）,饱和电流与与光强成正比.,按经典理论，电子逸出金属所需的能量，需要有 一定的时间来积累，一直积累到足以使电子逸出金属 表面为止.与

10、实验结果不符 .,3 经典理论遇到的困难,红限问题,瞬时性问题,按经典理论,无论何种频率的入射光,只要其强度 足够大，就能使电子具有足够的能量逸出金属 .与实 验结果不符.,二 光子 爱因斯坦方程,（1） “光量子”假设,光子的能量为,（2） 解释实验,逸出功与材料有关,对同一种金属， 一定， ，与光强无关,逸出功,光强越大，光子数目越多，即单位时间内产生光电 子数目越多，光电流越大.（ 时）,光子射至金属表面，一个光子携带的能量 将一 次性被一个电子吸收，若 ，电子立即逸出， 无需时间积累（瞬时性）.,能量守恒：,（3） 的测定,爱因斯坦方程,* 三 光电效应在近代技术中的应用,光控继电器、

11、自动控制、 自动计数、自动报警等.,光电倍增管,例 根据图示确定以下各量 1、钠的红限频率 2、普朗克常数 3、钠的逸出功,解：由爱因斯坦方程,其中,截止电压与入射光频关系,普朗克常数,钠的逸出功,四 光的波粒二象性,光子,相对论能量和动量关系,（2）粒子性： （和物质相互作用时）,（1）波动性：光的干涉和衍射（传播时）,解 （1）,（2）,（3）,一. 散射 向一定方向传播的光线通过不均匀物质后，向各个方向传播的现象，称为散射。,按照经典波动理论，光波照射到物质上，引起物质分子作受迫振动，分子振动就向各个方向发出散射光。不过，各个方向的散射光与入射光的频率和波长是相同的，而散射光的强度与波长

12、成反比。这个结论对一般波长是正确的。如：我们看见的阳光就是一种散射光。 但实验发现，当波长极短的X射线被轻元素(如石墨)散射后，散射光的波长却随散射角 的增大而增大。这种改变波长的散射，就称为康普顿散射。,13-3 康普顿效应,1920年，美国物理学家康普顿在观察X射线被物质散射时，发现散射线中含有波长发生变化了的成分.,实验装置,经典电磁理论预言，散射辐射具有和入射辐射一样的频率 . 经典理论无法解释波长变化 .,二 实验结果,在散射X 射线中除有与入射波长相同的射线外，还有波长比入射波长更长的射线 . 波长的改变-o(散射波长)随散射角 的增大而增大。,三 经典理论的困难,电子反冲速度很大

13、，需用相对论力学来处理.,（1）物理模型-高能光子与静止的自由电子作弹性碰撞,入射光子（ X 射线或 射线）能量大 .,固体表面电子束缚较弱，可视为近自由电子.,四 用光子概念分析康普顿散射,电子热运动能量 ，可近似为静止电子.,范围为：,理论:。,光子理论对康普顿效应的解释,高能光子和低能自由电子作弹性碰撞的结果。,1、若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子, 光子的能量减少，因此波长变长，频率变低。,2、若光子和内层电子相碰撞时，碰撞前后光子能量几乎不变，故波长有不变的成分。,3、因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。,（2）理论分析,能量守恒,动量守恒

14、,康普顿波长,康普顿公式,散射光波长的改变量 仅与 有关,散射光子能量减小,（3）结论,（4）讨论,（5）物理意义,若 则 ,可见光观察不到康普顿效应.,光子假设的正确性，狭义相对论力学的正确性 .,微观粒子也遵守能量守恒和动量守恒定律.,康普顿散射的理论和实验的完全相符,不仅有力地证明了光具有波粒二象性,而且还证明了光子和微观粒子的相互作用过程也是严格遵守动量守恒定律和能量守恒定律的。,问题：光电效应和康普顿散射都是光子和电子的作用过程。 它们有什么不同？以光子和电子为系统，这两个过程都遵守能量守恒和动量守恒定律吗？,光电效应是处于束缚态的电子整体吸收光子。以光子和电子为系统, 不遵守能量守

15、恒和动量守恒定律。 康普顿散射中，处于自由状态的电子只能散射光子。即它虽然把光子整体吸收，但它又必须放出一个能量较小的散射光子。这个过程是遵守能量守恒和动量守恒定律的。,解（1）,例 波长 的X射线与静止的自由电子作弹性碰撞, 在与入射角成 角的方向上观察, 问,（2） 反冲电子的动能 =光子损失的能量,（3） 光子损失的能量反冲电子的动能,1927诺贝尔物理学奖,A.H.康普顿 发现了X射线通过物质散射时，波长发生变化的现象,自从1897年发现并确定电子是原子的组成粒子以来，原子结构问题及其运动规律一直是物理学家关注的一个重要问题。原子光谱是提供原子内部信息的重要资料。不同原子的辐射光谱特征

16、也完全不同,故研究原子光谱的规律是探索原子结构的重要线索。 一.氢原子光谱的规律性 1.氢原子光谱是由一些分立的细亮线组成，即是分立的线光谱。,13-4 玻尔的氢原子理论,自从1897年发现并确定电子是原子的组成粒子以来，原子结构问题及其运动规律一直是物理学家关注的一个重要问题。原子光谱是提供原子内部信息的重要资料。不同原子的辐射光谱特征也完全不同,故研究原子光谱的规律是探索原子结构的重要线索。 一.氢原子光谱的规律性 1.氢原子光谱是由一些分立的细亮线组成，即是分立的线光谱。,13-4 玻尔的氢原子理论,2.谱线的波数(波长)由里德伯公式确定：,(21-8),k=1, n=2,3, 赖曼系(

17、紫外区); k=2, n=3,4, 巴耳末系(可见光区); k=3, n=4,5, 帕邢系(红外区); 式中R=1.097107m-1,称为里德伯(J.R.Ryderg)恒量。,3.里兹并合原理 任何原子谱线的波数均由下式确定：,式中,T(k)、T(n)称为光谱项。,里德伯公式(21-8)是一经验公式。如何从理论上解释原子为什么会发出这样的光谱？原子的内部结构及运动状态到底是什么样子?,二.卢瑟福原子的核型结构 1911年卢瑟福(E.Rutherford)在粒子散射实验的基础上提出了原子的核型结构:原子有一个小(直径约10-15m)而重(几乎集中了原子的全部质量)的核；原子中的电子在原子核的周

18、围绕核转动。 卢瑟福提出的核型结构尽管有充分的实验基础, 但却不能解释原子的稳定性问题和原子为什么会发出线状光谱。,因为据经典电磁理论, 绕核作变速运动的电子必将不断地向外辐射电磁能量。,这就产生了两个后果： 一是由于原子系统的能量连续不断地减少,频率也将连续的改变，原子应发出连续的光谱。这与原子线状光谱的实验事实不符。 二是电子能量的不断减少,它将沿螺线逐渐接近原子核, 最终落在核上，这意味着原子的毁灭。但事实上原子系统是稳定的。 1913年,玻尔(N.Bohr)在卢瑟福的核型结构的基础上,把量子概念应用于原子系统,提出三条基本假设作为他氢原子理论的基础, 使氢光谱规律获得很好的解释。,三.

19、玻尔理论的三个基本假设,对氢原子核外电子的运动,玻尔提出: (1)定态假设 原子系统只能处于一系列不连续的能量状态(能级E1,E2,),处于这些状态的原子,其相应的电子在一定的轨道上绕核作圆周运动,但不辐射能量。这些状态称为原子系统的稳定态(简称定态)。 (2)轨道角动量量子化假设 电子绕核作圆周运动，但其轨道角动量L决定于下述条件:,量子数n=1,2, (21-9),式中：,(3)量子跃迁假设 原子从定态n跃迁到k发出(或吸收)光的频率由下式决定:,(21-10),四.玻尔的氢原子理论 三个基本假设经典理论(牛顿定律),消去 , 得轨道半径rn ：,氢原子系统的动能：,氢原子系统的势能：,氢

20、原子系统的能量：,代入常量值，得氢原子系统的能量为,(1)能量是量子化的负值。 n=1, 基态， E1=-13.6eV, r1=ao ; n=2, 第1激发态， E2=-3.4eV, r2=4ao ; n=3, 第2激发态， E3=-1.51eV, r2=9ao ; n=4, 第3激发态， E4=-0.85eV, r2=16ao ; 能量为负值表示原子中的电子处于束缚态。,(2)电离能(使基态氢原子中的电子远离核所需作的功)为,E电离 =13.6eV, 与实验很好符合。 (3)当原子从能态En跃迁到Ek时,发射光子的频率为,=1.097107m-1,与实验公式(21-8)完全相同。,(里德伯恒

21、量),相应,n=1,2,.,例题13-9 可见光能否使基态氢原子受到激发？要使基态氢原子发出可见光, 至少应供给多少能量？,解 激发使处于基态的氢原子跃迁到激发态。 可见光光子的能量(取 =4000)：,=3.1eV,E =(13.6-3.4)eV=10.2 eV E ,所以可见光不能使基态氢原子受到激发。 要使基态氢原子发出可见光, 至少应供给的能量为,使基态氢原子跃迁到最低的一个激发态所需的能量为,13.6-1.51=12.09 eV,例题13-10 大量氢原子处于第3激发态，跃迁过程中能发出几条谱线？各属于哪个线系？,解 实验证明,基态是稳定的。处于激发态上的原子寿命极短，通常约为10-

22、810-10s。因此处于激发态上的原子都自发的倾向于向低能态跃迁。 在图21-8中，画出了这种量子跃迁的形势。,赖曼系: 3条； 巴耳末系：2条； 帕邢系： 1条。,例题13-11 用动能为12.2eV的电子轰击基态氢原子，求能发出哪些波长的谱线。,解 设电子能把它的动能尽量多的交给基态氢原子，那么，基态氢原子能跃迁到的最高能级是 。,E3,其量子跃迁的形势如图21-9所示。,计算波长有两种方法：,E2E1：k=1, n=2 , =1215。 E3E1：k=1, n=3 , =1026。 E3E2：k=2, n=3 , =6563。,R=1.097107m-1,（1）正确地指出原子能级的存在（

23、原子能量量子化）； （2）正确地指出定态和角动量量子化的概念； （3）正确的解释了氢原子及类氢离子光谱；,四 氢原子玻尔理论的意义和困难,（4）无法解释比氢原子更复杂的原子； （5）把微观粒子的运动视为有确定的轨道是不正确的； （6）是半经典半量子理论，存在逻辑上的缺点，即把 微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又 赋予它们量子化的特征 .,玻尔（Niels Henrik David Bohr，18851962）丹麦理论物理学家，现代物理学的创始人之一，1913年发表了论原子构造与分子构造等三篇文章，正式提出了关于原子稳定性和量子跃迁理论的假设，完满地解释了氢原子光谱的规律. 更重要的是讨

24、论了多电子原子，提出所有原子中有定态结构，推动量子物理学的形成.,玻尔的创新点: 1） 第一个将量子化概念用到原子结构上. 2） 第一个将原子光谱与原子中电子跃迁联系起来. 将卢瑟福的原子模型， 量子化概念和光谱统一了起来. “这简直是思维上最和谐的乐章” 爱因斯坦,N.玻尔 研究原子结构，特别是研究从原子发出的辐射,1922诺贝尔物理学奖,法国物理学家德布罗意仔细分析了光的波动说和粒子说的发展过程，他看到：整个世纪以来，人们对光的本性的认识，注重了它的波动性,而忽视了它的粒子性。而在实物粒子的研究上,我们是否犯了相反错误：即只考虑了实物粒子的粒子性,而忽略了它的波动性呢？ 1924年，德布罗

25、意提出了一个大胆而具有深远意义的的假设： 一切实物粒子也具有波粒二象性。 实物粒子静质量不为零的粒子。,一.实物粒子的波粒二象性,13-5 微观粒子的波动性,能量为E、动量为p的粒子与频率为v、波长为的波相联系，并遵从以下关系：,这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波(物质波或概率波),其波长称为德布罗意波长。,物质波的实验验证,1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。,衍射最大值：,电子的波长：,电流出现峰值,戴维孙革末实验中,L.V.德布罗意 电子波动性的理论研究,1929诺贝尔物理学奖,C.J.戴维孙 通过实验发现晶体对电子的衍射作用,1937诺贝尔物理学奖,二

26、、德布罗意波的统计解释,1926年，德国物理学玻恩 (Born , 1882-1972) 提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。,经典波动与德布罗意波(物质波)的区别,经典的波动(如机械波、电磁波等)是可以测出的、实际存在于空间的一种波动。 而德布罗意波(物质波)是一种概率波。简单的说，是为了描述微观粒子的波动性而引入的一种方法。,M.玻恩 对量子力学的基础研究，特别是量子力学中波函数的统计解释,1954诺贝尔物理学奖,波和粒子是两个截然不同的概念。既然微观粒子具有明显的波粒二象性,那么采用经典力学的方法描述微观粒子,

27、就将受到限制。,px=0, py=p 缝后, 由于衍射, 落在中央明纹范围内的电子动量 的不确定范围为 0pxpsin,先考虑中央明纹。电子衍射前，,13-6 测不准关系,对第一级衍射暗纹，有 xsin = , 其中x缝宽 于是,就得 xpx= h 若计及更高级次的衍射, 应有 xpx h 对y和z分量,也有类似的关系。,即电子在x方向上动量的不确定量为 px= psin, xpx h (13-3),1.不确定关系式(13-3)表明： 微观粒子的坐标测得愈准确( x0) ，动量就愈不准确(px) ； 微观粒子的动量测得愈准确(px0) ，坐标就愈不准确( x) 。 但这里要注意，不确定关系 不

28、是说微观粒子的坐标测不准； 也不是说微观粒子的动量测不准； 更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准； 而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准。,这是因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具有确定量。 这本质上是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。 由上讨论可知，不确定关系是自然界的一条客观规律,不是测量技术和主观能力的问题。 2.不确定关系提供了一个判据： 当不确定关系施加的限制可以忽略时，则可以用经典理论来研究粒子的运动。 当不确定关系施加的限制不可以忽略时，那只能用量子力学理论来处理问题。,为什么微观粒子的坐标和动量不能同时测准?,例题13-4 估算氢原子中电子速度的不确定量。,解 电子被束缚在

29、原子球内, 坐标的不确定量是x=10-10m(原子的大小), 按不确定关系: xpx h,则电子速度的不确定量为,电子速度的不确定量是如此之大！ 可见,微观粒子的速度和坐标不能同时准确测定。 这也表明，不确定关系施加的限制不允许我们用经典理论来研究氢原子的问题，像氢原子这样的微观粒子只能用量子力学理论来处理。,例题13-5 子弹质量m=0.1kg , 速度测量的不确定量是x=10-6 m/s (应当说这个测量够精确的了！)，求子弹坐标的不确定量。,解 按不确定关系: xpx h,则子弹坐标的不确定量为,可见, 子弹的速度和坐标能同时准确测定。 这表示，不确定关系施加的限制可以忽略，像子弹这样的

30、宏观物体可以用经典理论来研究它的运动。,例题13-6 波长=5000的光沿x轴正方向传播，波长的不确定量为=10-3，求光子坐标的不确定量。,解 光子的动量,按不确定关系: xpx h, 则光子坐标的不确定量为,例题13-7 用不确定关系估算氢原子的最小能量。,解 电子在氢原子内运动时, x=r,最小的动量:,E有极小值的必要条件是,=0,求得,量子力学 建立于 1923 1927 年间，两个等价的理论 矩阵力学(海森伯.玻恩)和波动力学(薛定谔) . 相对论量子力学（1928 年，狄拉克） 描述高速运动的粒子的波动方程 .,在生命是什么一书中, 对生命物质和无机界作了广泛的类比, 如基因分子

31、与固体的类比, 基因中的遗传信息与电报中的密码类比等.,一.波函数 对微观粒子，由于不确定关系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐标不能同时确定，因此微观粒子的运动状态,不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述。 由于微观粒子具有波粒二象性，这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像。波函数就是作为量子力学基本假设之一引入的一个新的概念。 量子力学认为：微观粒子的运动状态可用一个复函数(x,y,z,t)来描述，函数(x,y,z,t) 称为波函数。,13-7 波函数 薛定谔方程,二.波函数的统计解释,波 动 观 点 粒 子 观 点 明纹处

32、: 电子波强(x,y,z,t)2大, 电子出现的概率大; 暗纹处: 电子波强(x,y,z,t)2小, 电子出现的概率小 。 可见，波函数模的平方(x,y,z,t)2与粒子在该处附近出现的概率成正比。,1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函数的统计解释：,波函数模的平方(x,y,z,t)2 表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率，即概率密度。 而(x,y,z,t)2 dxdydz ,上式一般称为波函数 的归一化条件。波函数都应当是归一化的。,(22-6),玻恩对波函数的这种统计解释，把微观粒子的波粒二象性作出了完美的描述。 1.因为在整个空间内粒子出现的概率是1, 所

33、以有,表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的体积元dxdydz中出现的概率。,2.波函数的标准条件,由于一定时刻在空间给定点粒子出现的概率是唯一的, 并且应该是有限的(具体说应该小于1), 在空间不同点处,概率分布应该是连续的,不能逐点跃变或在任何点处发生突变。 因此，波函数 的标准条件应该是：单值、有限、连续 。 应当指出，物质波与经典物理中的波动是不同。对机械波,y表示位移;对电磁波,y表示电场E或磁场B，波强与振幅A的平方成正比。 在量子力学中,物质波不代表任何实在的物理量的波动, 波的振幅的平方(x,y,z,t)2表示粒子在t 时刻在(x,y,z)处的单位体积中出现的概率。,在量子力学

34、中微观粒子的运动状态是用波函数(x,y,z,t)来描述的。,但描述微观粒子运动状态的波函数(x,y,z,t)又到那里去寻找呢？ 答案是：求解薛定谔方程。,薛定谔方程,一.自由粒子的波函数和薛定谔方程 根据德布罗意关系式,能量为E和动量为p的自由粒子与一单色平面波相联系,波长和频率为 =h/p, v=E/h 由波动理论可知, 频率为v 、波长为 、沿x方向传播的单色平面波的波动方程为,写为复数形式就是,这就是自由粒子的波函数。,粒子在空间某处出现的概率密度为,由此可见,概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,简称定态。,下面研究自由粒子的波函数满足什么方程。,自由粒子势能为零，在非相对论情况下有

35、,在以上式子中消去p, E，就得,二.定态薛定谔方程 若粒子在某势场V中运动, 则粒子的总能量应为,设,于是就得,这是薛定谔方程的一般形式。,拉普拉斯算符,哈密顿算符,于是薛定谔方程的一般形式可写为,(22-7),若势能V不显含时间t ,则,得,=E,其解,另一方程:,(22-8),上式称为定态薛定谔方程。,概率密度：,概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,即为定态。,波函数：,一维无限深方势阱,设质量为m的粒子,只能在0xL的区域内自由运动,粒子在这种外力场中的势能函数为,在阱外,粒子出现的概率为零,故,(x)=o,在阱内,定态薛定谔方程为,令,有,它的通解是： (x)=Csin(kx+)

36、 式中C，是由边界条件决定的常数。,(x)=Csin(kx+),由于(x)在x=0处必须连续,所以有 (0)= Csin =0, =0 故波函数：(x)=Csinkx 又由于(x)在x=L处也必须连续, 所以又有 (L)=CsinkL=0 故 kL=n,于是,(n=1,2,),(n=0, (x)=0;而n为负数与正数表达同样的概率,所以n=1,2,.),1.能量是量子化的。,(n=1,2,),可见，粒子的能量只能取不连续的值，这叫做能量量子化。整数n叫做量子数。 当n=1,是粒子的基态能级。这表明,阱内不可能有静止的粒子,这与经典理论所得结果是不同的。因为根据经典理论, 粒子的最低能量可以为零

37、。E1又称为零点能。,2.粒子在势阱内的概率分布形成驻波,波函数：(x)=Csinkx，,由归一化条件,得,于是归一化波函数为,(22-10),根据经典的概念,在势阱内各处,粒子出现的概率是相同的。,量子力学给出粒子出现在势阱内各点的概率密度为,(n=1,2,),这一概率密度是随x改变的,粒子在有的地方出现概率大,在有的地方出现的概率小,而且概率分布还和量子数n有关。,例题13-8 设质量m的微观粒子在宽度为L的一维无限深方势阱中运动，其波函数为,求：(1)粒子的能量和动量；(2)概率密度最大的位置。,解 (1),量子数n=3,粒子的能量:,又,(2)概率密度最大的位置。,粒子出现在势阱内各点

38、的概率密度为,有极大值的充要条件是,解得,*一维势垒 隧道效应,设电子在势场中沿x方向运动, 其势能函数为,令,有,在区和 区,在电子能量EVo的情况下, 区:,1,3(x)=Csin(kx+),可见,电子在三个区域都有出现的概率。就是说，沿x方向运动的电子可以从左向右自由穿过势垒。 这种EVo的电子穿过势垒的现象称为隧道效应。,隧道效应已经为实验证实，并获得许多实际应用。 如半导体隧道二极管； 现代杰作：1986年获诺贝尔物理奖的扫描隧道显微镜等。,*电子自旋,1921年，斯特恩(O.Stern)和盖拉赫(W.Gerlach)实验证明，电子除了绕核运动外,还有自旋。 应当指出，电子的自旋是一

39、种量子力学效应，不是机械的自转。 用量子力学理论可以证明，电子自旋角动量为,(22-15),自旋角动量在任意方向(例如z轴正向)的分量Sz满足下面的量子化条件：,(22-16),自旋磁量子数:,*原子的振动,量子力学对氢原子的描述,设原子核不动，电子是在原子核的库仑场中运动,其势能为,(与时间无关),波函数应满足的条件：单值、连续、有限、 归一化。,由于V(r)呈球对称, 显然取球坐标较方便。取原子核为坐标原点，其定态薛定谔方程为,(r,)是球坐标中的波函数, 可以分离变量： (r, , ) =R(r)()() (22-11),在E0(束缚态)的情况下求解上述方程，可得如下结论： 一. 能量量

40、子化 为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原子)的能量只能是,(主量子数: n=1,2,),(22-12),这和玻尔理论的结果一致。,二. 角动量量子化,为使波函数满足标准条件，电子的角动量为,副量子数(角量子数): l=0,1,2,(n-1) 三.角动量的空间量子化 为使波函数满足标准条件，电子角动量在任意方向(例如z轴正向)的分量Lz满足下面的量子化条件:,(22-13),(22-14),磁量子数: ml=0,1, 2,l,由上分析可知，不仅电子角动量的大小是量子化的,而且它在空间的方向也有一定的限制，即它在任意方向(例如z轴正向)的分量,也只能取一系列分立的数值,这称为空间量子化。,

41、例如：l=1,l=2,四.电子的概率分布 电子云,解定态薛定谔方程，可得氢原子的波函数：,nl (r, , ) =Rnl(r)l () (),电子在核外空间出现的概率密度:,可见，氢原子中的电子是按一定的概率分布在原子核的周围,这和玻尔理论中电子是在一定轨道上运动完全不同。这种电子在核外空间出现的概率密度,人们往往形象化地称之为“电子云”。 例如：对1S态的电子，其概率密度为,(玻尔半径),由于p1s是r 的连续函数，可见电子在核外(从r=0到r=)每点都有一定的概率，只是概率大小不同而已。这和玻尔的轨道运动概念完全不同。而玻尔半径只是概率最大的位置。,(1)主量子数：n=1,2,3,。 它大体上决定了原子中电子的能量。,(2)角量子数：l=0,1,2,(n-1)。 它决定电子绕核运动的角动量