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文档简介

1、2020/10/25,1,.、矢量场的矢量线：,1 、矢量场的矢量线：,常用带方向(箭头)的场线来形象地表示矢量场在空间的分布情况.那么,这些场线就称为矢量线或流线.,线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方向；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小.,如正点电荷产生的电场中的电力线.,1. 矢量场的散度,2020/10/25,2,2 、矢量线的微分方程：,在直角坐标系中,设某一矢量函数 为：,由定义:矢量线上任一点的切向长度元 与该点的矢量场 平行.,则,求出通解，就可画出矢量线。,2020/10/25,3,.、矢量场的通量：,方向的确定：,是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，选定

2、C 的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向 C 的绕行方向，大拇指指向 的方向，也即 方向。,是闭合面的面元，则 为该闭合面的外法线方向。,面元足够小，视其上的A为常数,穿过 的通量,有向面元,2020/10/25,4,记作:,矢量场 的通量为标量,其正、负与面元 的 取向有关。,穿过面积 S 的通量为：,若S为开表面，则穿过曲面 S的通量为：,2020/10/25,5,S内必有吸收通量线的源 负源（沟）,2020/10/25,6,.、矢量场的散度：（矢量分析中的一个重点）,、散度的定义：,散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对体积的变化率。也称为 “通量源密度”。,在场空间 中任意点M 处

3、作一个闭合曲面，所围的体积为 ，则定义场矢量 在M 点处的散度为：,散度是标量,2020/10/25,7,讨论：,0：,该点有发出通量线的正源；,0：,该点有吸收通量线的负源；,0：,该点无源。,散度是标量。,2020/10/25,8,2 、散度在直角坐标系中的表示式：,即,矢量微分算子 ：读作nabla 或del,“ ”,当作矢量看待,2020/10/25,9,.、高斯散度定理：（重要定理）,意义：任意矢量场 的散度在场中任意一个体积 内的体积分等于矢量场 在限定该体积的闭合面上的法向分量沿闭合面的积分。,证明：,任取一体积 ，其相应的闭合表面为 S。,现将体积 分成N个体积元：,对任一体积元,便于体积分与面积分的互换运算,12,2020/10/25,10,即,同理：对 相邻的体积元,从 、 组成的体积中穿出的通量为：,散度的定义,2020/10/25,11, 相邻两个体积元有一个公共表面，而公共表面上的通量对这两个体积元来说，其 方向恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边的积分只剩下 、 外表面上的通量，因此，当体积 由N 个小体积元组成时，穿出体积 的通量就等于限定它的闭合面 S 上

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