第十章 线性回归与协方差.ppt

1、1,线性回归与协方差分析,第十章,2,方差分析：用于比较两组或者多组总体均数之间的差异，推论相应的处理效应间的差异。自变量为分类变量。,回归分析：用于拟合变量间的关系，通过回归分析可以估计反应变量与一系列自变量之间的回归关系，同时建立具体的回归方程。自变量为连续变量。,两者可统一于一般线性模型,3,第一节 协方差分析的基本思想和步骤,4,假定这样一个问题：已知某变量X对观察指标Y有影响（称X为协变量），由方差分析得到不同的处理组Y的总体均数之间有差别，那么这个差别是因为各组处理效应确有不同还是因为协变量X的影响所致？,如何鉴别？ 需要通过一种方法，该方法可以消除X对Y的影响。,5,表13-3

2、三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg）,编号,均值,6,方差分析表,完全随机设计类型的方差分析,7,方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F P 总变异 23 720.50 组间 2 545.25 272.63 32.67 0.01 组内 21 175.25 8.35,初始体重的组间比较,8,多个均数两两比较表,三组猪的初始重量两两比较均有差别，A组初始重量最低，C组最高。,9,10名正常孕妇妊娠时间与血清载脂蛋白含量,(g/L),10,x,y,原则：各实测点至直线纵向距离的平方和为最小,求解回归直线,11,直线回归方程的计算,12,10名正常孕妇妊娠时间(周)与血清载脂蛋白含量,(

3、g/L),13,P,应变量 y 离均差平方和划分示意图,y,x,14,总离均差平方和的分解：,即,对于所有观测点，都有：,15,协方差分析：把回归分析和方差分析结合起来的一种统计分析方法，综合了两种方法的优点，提供了一个比较组间处理效应更加有效的方法。由Fisher（1932）最早提出。,16,表10-1 某城市学校和某乡村学校儿童身高及年龄,17,方差分析结果： 两组平均身高的差值：144.5-141.72.8cm，F1.121，P=0.298，还不能认为城乡儿童的身高有差异。,另有：两组平均年龄的差值：133.1-126.86.3月，那么，如果城乡儿童年龄分布相同，结果会怎样？,18,利用

4、协方差分析： 消除年龄的影响，对组间差异2.8cm进行校正，得到更为准确的一个差值。,结果：校正之后的组间差异为5.5cm，差异具有统计学意义（P0.05），可以认为城乡儿童的身高有差异。,19,协方差分析：可以消除由于对比各组X值不同对Y所产生的影响，从而提高了方差分析结论的精确性。,20,将定量变量X（难以控制的因素）对Y的影响看作协变量，建立应变量Y随协变量X变化的线性回归关系，并利用这种回归关系把X值化为相等后再进行Y的校正（修正）均数间差别的假设检验。,一、基本思想,21,二、协方差分析的实质 通过回归分析，从Y的总平方和中扣除协变量X对Y的回归平方和，对残差平方和作进一步分解后再进

5、行方差分析，更好地评价各种处理的效应。,22,三、应用条件,1. 理论上要求观察变量服从正态分布，各观察变量相互独立，各样本方差齐性； 2. 各总体客观存在线性回归关系且斜率相同。,实例：比较城市和乡村儿童的身高,23,把各自的均数带入公式10-1得：,处理组 对照组,24,第二节 完全随机设计资料的协方差分析,25,例13-1 为研究A、B、C三种饲料对猪的催肥效果，用每种饲料喂养8头猪一段时间，测得每头猪的初始重量（X）和增重（Y）数据见表13-3上半部。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否相同？,26,表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg）,编号,均值,27,1H0：各总体

6、增重的修正均数相等 H1：各总体增重的修正均数不全相等 = 0.05,协方差分析步骤：,2列表并计算初步结果,28,表13-3 三种饲料喂养猪的初始重量与增重（单位：kg）,合计,29,协方差分析计算表模式,MS,F,30,3计算相应的校正数、总的、组间及组内的离均差平方和、离均差积和及自由度,（1）校正数,31,（2）总的离均差平方和、离均差积和及自由度,32,（3）组间离均差平方和、离均差积和及自由度,33,（4）组内离均差平方和、离均差积和及自由度,34,4计算总的、组内及修正均数的估计误差平方和、自由度,35,5列协方差分析表，查F界值表，P0.01，拒绝H0，接受H1，可以认为在扣除

7、初始体重因素的影响后，三组猪的总体增重均数有差别。,协方差分析表,MS,F,36,6计算公共回归系数bc及各组修正均数,37,7修正均数间差别进行两两比较 q 检验,结果：A饲料与B饲料修正均数间无差别(P0.05)，但都高于C饲料(P0.01)，可以认为在扣除初始体重影响后，A饲料和B饲料喂养的平均增重均比C饲料多。,38,进行协方差分析之前应先检验各组Y与X是否为线性关系且各回归线是否平行，若Y与X为非线性关系；若各组回归系数不同，说明处理效应与协变量存在交互作用，此时都不能直接应用协方差分析。,第二节 协方差分析的推广,39,表10-1数据是否满足条件： （1）levenes方差齐性检验

8、：F0.045，P0.833 （2）两回归方程的检验： b10.511，t3.061，P0.007 b00.112，t0.418，P0.684,（3）两回归线是否平行,F0.05（1，28）4.20,方差分析表,40,1.Y与X为非线性关系,（1）Y与X是平行的非线性关系 办法：可只对X做变量变换 例如：对X做平方根转换，Y与 之间的为线性关系。,41,（2）Y与X是不平行的非线性关系 办法：可对Y和（或）X做变量变换。 例如：可对Y做对数变换，且分析完成之后应作逆变换以便解释处理效应。,42,举例：假设两对比组数据，对反应变量Y做对数变换后 ，进行协方差分析得到,43,那么：,说明处理组相对

9、于对照组，由某因素X造成处理效应增加约20倍。,44,（3）Y与X是不平行的非线性关系，且没有合适的数据转换方法将其转换为线性关系。,45,2.两回归线不平行,Yi+iX+e i0，1,图10-2 两组回归线不平行的情况,46,3.多个混杂因素的控制,同时对多个协变量进行校正,10-8,10-9,一些专家认为，应重点考虑一个或两个最重要的混杂因素，这样，既可消除大部分的偏倚又可避免因协变量太多而使问题复杂化。这种做法在很多情况下是有效的，但有时也会出现“校枉过正”（不如不校）的情形。,47,第三节 交互作用与协同作用,48,比较四种方法对轴突通过率的影响，处理因素是缝合方法，有4个水平。可以有

10、以下几种设计： 完全随机设计：n个家兔随机分为4组 随机区组设计：将n个家兔按出生年龄相近的原则，4个一组配成区组后，每个区组随机分配处理 拉丁方设计：在随机区组基础上增加了一个列区组，如家兔按甲、乙、丙、丁4个种系（行区组），每个种系的4只小鼠按年龄大小分、4个级别（列区组），A、B、C、D4个字母代表处理,例 研究两种神经缝合方法在不同时间点对神经进行缝合后的恢复效果，将20只家兔随机分为四组,49,比较4种缝合方法对家兔神经轴突通过率的影响，处理因素是缝合方法，有4个水平。,目的：比较4种方法的差别，分析缝合方法、缝合时间对神经轴突通过率的影响。,两因素试验,50,家兔神经缝合后的轴突通过率(%),比较不同缝合方法及缝合后时间对轴突通过率的影响。,51,1单独效应 单独效应(simple effect)是指其他因素的水平固定时，同一因素不同水平间的差别。,2主效应 主效应(main effect)指某一因素各水平间