初中数学几何知识点和题型归纳总复习

1、初中数学几何总复习,一、图形的初步认识,图形的初步认识,多姿多彩的图形,直线、射线、线段,角,角的表示,角度的转化,角的比较,角的平分线,线段的长短比较,余角、补角,方位角,几何图形,平面图形,立体图形,从不同方向看立体图形,展开立体图形,平面图形,线段，射线，直线,角,余角补角,角的度量,角的大小比较,角平分线,两点确定一条直线,两点之间线段最短,生活中的立体图形,按柱、锥、球划分(1) (2) 是一类，是柱体(3)（4）是锥体 (5) 是球体,柱体,锥体,圆柱,棱柱,圆锥,棱锥,四面体,六面体,八面体,多面体可以按面数来分类，如下列图形中：,若围成立体图形的面是平的面，这样的立体图形又称为

2、多面体,认 识 多 面 体,著名的欧拉公式： V+F-E=2,画立体图形,观察 立体图 三视图,主视图,左视图,俯视图,例1：画出以下立体图形的三视立体图形图,立体图形的表面展开图,正方体,长方体,四棱锥,三棱柱,三棱柱,五棱锥,归纳：正方体 的表面展开图 有以下11种。你能看 出有什么规律吗？,一 四 一型,二 三 一型,阶 梯 型,当将这个图案折起来组成一个正方体时，数字_会与数字2所在的平面相对的平面上。,6,1,2,3,4,5,3,点和线,A 点A 用一个大写字母表示。,线,线段,直线,射线,学会区分没有,直线、射线、线段的比较,下面的知识点你掌握了吗？,知识点1：线段 (1)线段的概

3、念:它是直线的一部分,它的长度是有限的,它有两个端点. (2)线段的表示方法:可用它的两个端点的大写字母或用一个小写字母来表示. (3)线段的画法:可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.,(4)线段的基本性质:两点之间线段最短. (5)两点间的距离:连结两点的线段的长度,叫做这两点间的距离. (6)线段的特点:有两个端点,不能向任何一方伸展,可以度量,可以比较长短.,下面的知识点你掌握了吗？,知识点2：射线,(1)射线的概念:把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线. (2)射线的表示方法:可用两个大写字母表示,第一个大写字母表示它的端点;也可用一个小写字母表示. (3)射线的

4、特点:只有一个端点,向一方无限延伸,无法度量,不能比较长短.,知识点3:直线,(1)直线的概念:把线段向两方无限延伸所形成的图形. (2)直线的表示方法:可用这条直线上的两个点表示,也可以用一个小写字母表示. (3)直线的基本性质:经过两点有一条直线,并且只有一条直线. (4)直线的特点:没有端点,向两方无限延伸,不可度量,不能比较大小.,你能解决下列问题吗？,1、图中共有几条线段？几条射线？几条直线？能用字母表示出来的分别用字母表示出来。,A,B,C,2、判断下列说法是否正确： （1）延长射线OA；（2）直线比射线长，射线比线段长；（3）直线AB和直线CD相交于点m；（4）A、B两点间的距离

5、就是连结A、B两点间的线段。,3.用一个钉子把一根细木条钉在木板上,用手拨木条,木条能转动,这表明_ ;用两个钉子把细木条钉在木板上,就能固定细木条,这说明_。,4.如图所示,一只蚂蚁要从圆柱体A点沿表面尽可能地爬到B点,因为那里有它的食物,而它饿得快不行了,怎么爬行路线最短?,A,B,过一点有无数条直线,两点确定一条直线,5.计算(1)如图,A、B、C、D是直线l上顺次四点，且线段AC=5，BD=4， 则线段AB-CD=_.,A,B,C,D,l,(2)如图，AC=8cm，CB=6cm,如果O是线段AB的中点，求线段OC的长度。,A,B,C,O,1,1cm,（3）已知AB=16cm，C是AB上

6、一点，且AC=10cm，D为AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。,(5)已知线段AC和线段BC在同一直线上，若AC=5.6cm,BC=2.4cm.求线段AC的中点与线段BC中点之间的距离。,8cm,4cm或1.6cm,探究一、有关距离问题,1.如图,在一条笔直的公路a两侧,分别有A、B两个村庄,现要在公路a上建一个汽车站C,使汽车站到A、B两村距离之和最小,问汽车站C的位置应该如何确定?,a,A,B,2.平原上有A、B、C、D四个村庄,如图所示,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池H的位置,使它与四个村庄的距离之和最小.,A,B,C,D,3

7、.如图,蚂蚁在圆锥底边的点A处,它想绕圆锥爬行一周后回到点A处,你能画出它爬行的最短路线吗?,A,(4).如图所示,洋河酒厂有三个住宅区A、B、C各分别住有职工30人、15人、10人,且这三个区在酒家大道上(A、B、C)三点共线,已知AB=100米,BC=200米.为了方便职工上下班,该厂的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在_区.,A,B,C,探究二:画一画，数一数，再找规律,1.在平面内有n个点(n3),其中没有任何三个点在一条直线上,如果过任意两点画一条直线,这n个点可以画多少条直线?,2.一条直线将平面分成两部分,两条直线将平

8、面分成四部分,那么三条直线将平面最多分成几部分?四条直线将平面最多分成几部分?n条直线呢?,n(n-1)/2 (n2+n+2)/2,7部分，11部分，,线段的长短比较,1.度量法,2.叠合法,用尺规法作一条线段等于已知线段。,3.线段中点的定义和简单作法。,角,用一个大写字母表示点，,用二个大写字母表示线，,用三个大写字母表示角，,ABC,O,1,角的表示方法,角度的转化： 1=60 1=60 1=3600 角度的加减： 1.同种形式相加减； 2.度加（减）度；分加（减）分； 秒加（减）秒 3.超60进一；减一成60,角的比较,2 叠合法,1 度量法,ABC=DEF,ABCDEF,ABCDEF

9、,角的平分线,1、定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线,2、几何语言表达：, OC是AOB的平分线,O,A,B,C,1,2,12 AOB 或AOB,1,角的特殊关系,2、与互补，是的补角，是的补角,18,1、与互余，是的余角，是的余角,）两个角成对出现,）只考虑数量关系，与位置无关,结论: 同角(等角)的余角（补角）相等。,方向角：,1、方位角是以正南、正北方向为基准，描述物体的运动方向。 2、北偏东45 通常叫做东北方向， 北偏西45 通常叫做西北方向， 南偏东45 通常叫做东南方向， 南偏西45 通常叫做西南方向。 3、方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分

10、广泛。,练习：画出表示下列方向的射线： （1）北偏西30 （2）北偏东50 （3）西南方向,O,A,经过两点有一条直线并且只有一条直线。,我们可以用下列方式表示直线：,表示： 用两个大写英文字母表示，直线 AB(或直线BA),l,表示： 用一个小写英文字母表示 ， 直线 l,A,表示： 用两个大写字母表示，必须端点写在前，射线上另一个字母写在后，射线 OA 。,l, 用一个小写字母表示，射线 l,表示：用两个端点的大写字母表示线段 AB(或线段BA),a,表示：用一个小写字母表示 ， 线段 a,1、线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短。 2、连接两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

11、3、线段中点的定义和运用。 4、比较线段大小的方法：叠合法和度量法。,角是由两条具有公共端点的射线组成的图形。,公共端点,顶点,射线,射线,边,边,角也可以看做一条射线绕端点旋转所组成的图形。,角的表示方法,O,1,记作：AOB 或BOA 或O,记作,记作1,用尺规画角, 你能利用圆规“造出”一个量角器吗？, 你能利用圆规“卡出”点吗？,用尺规画角,圆规的作用：,“造出” 一个量角器;,“卡出” 角的大小.,直尺的作用：,画射线,O,A,B,C,D,）,（,1,3,4,2,）,（,O,A,B,C,D,）,（,1,3,4,2,）,（,有关概念：,邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反

12、向延长线，那么这两个角互为邻补角。,对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。,两条直线相交有且只有一个交点,对顶角相等 邻补角互补,1.相等的角不一定是对顶角 2.邻补角之和等于180，它们的位置相邻，数量上互补。,对顶角的性质:,定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线（直线），它们的交点叫做垂足,直线AB、CD互相垂直，记作“ABCD”或 “CDAB”，读作“AB垂直于CD”，如果垂足为O， 记作“ABCD，垂足为O ”（如图）,点到直线的距离,如图，过点A作l的垂线，垂足为B点。,

13、l,线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。(垂线段),两条直线相交,一般情况,垂线,对顶角：相等,邻补角：互补,垂线的存在性和唯一性,特殊情况,相交成直角,垂线的性质：,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.,2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短或说成垂线段最短,一.平行线的定义：,在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。,结论：在同一平面内，两直线的位置 关系有平行与相交两种。,经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理）,平行公理的推论：,如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行,几何语言表达：, a/b(如果两条直线都和第三条直线平行，

14、那么这两条直线也互相平行）,a/c , c/b(已知）,判定两条直线平行的方法：,方法：同位角相等，两直线平行,方法：内错角相等，两直线平行,方法：同旁内角互补，两直线平行,方法4：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.,性质：两直线平行，同位角相等 性质：两直线平行，内错角相等 性质：两直线平行，同旁内角互补,平行线的性质：,余角、补角的概念：,余角、补角的性质：,（1） 和为90的两个角称互为余角； （2） 和为180的两个角称互为补角；,（1） 同角或等角的余角相等； （2） 同角或等角的补角相等；,今天我们学了什么？,1+2=90,1+2=180,同角或等角的余角相

15、等,同角或等角的补角相等,两条平行直线被第三条直线直线所截，,判断正确或者错误的句子叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。,反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。,例如： （1）你喜欢数学吗？ （2）做线段AB=CD,下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？,1、羊有四只脚； 2、三角形两边之和大于第三边； 3、画一条曲线； 4、四边形都是菱形； 5、你的作业做完了吗？ 6、同位角相等，两直线平行； 7、对顶角相等； 8、多边形的内角和等于180度； 9、过点P做线段MN的垂线。,是,真命题,不是,是,真命题,是,假命题,不是,是,真命

16、题,是,真命题,是,假命题,不是,命题是由题设（或条件）和结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项,用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论,例如，“两个三角形的三条边相等”是题设， “两个三角形全等”是结论。,命题一般都写成“如果,那么”的形式。你能在下面的命题都写成“如果,那么”的形式吗?,(1)熊猫没有翅膀；,(2)对顶角相等；,如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。,如果两个角是对顶角，那么它们就相等。,命题一般都写成“如果,那么”的形式。你能在下面的命题都写成“如果,那么”的形式吗?,(3)全等三角形的对应边相等；,如果两个三角形全等，那么它们的对应边

17、就相等。,(4)平行四边形的对边相等；,如果一个四边形是平行四边形，那么它的对边就相等。,公理与定理,数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。,有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理,“全等三角形的对应角、对应边分别相等”,“直角三角形的两个锐角互余”,公理,定理,二、相交线与平行线,知识结构,相交线,平面内直线的位置关系,平行线,两条直线相交,两条直线被第 三条直线所截,邻补角 对顶角,对顶角 相等,垂线及 其性质,点到直 线

18、距离,同位角 内错角 同旁内角,平行公理,平 移,条件,性 质,同位角是：,1和8；,2和7；,3和6；,4和5.,内错角是：,1和6；,2和5.,同旁内角是：,1和5；,2和6.,一、知识回顾,平行线的判定：,1、同位角相等，两直线平行。,2、内错角相等，两直线平行。,3、同旁内角互补，两直线平行。,4、平行于同一条直线的两条直线平行。,（平行线的传递性）,5、垂直于同一条直线的两条直 线平行。,一、知识回顾,平行线的性质：,1、两直线平行，同位角相等。,2、两直线平行，内错角相等。,3、两直线平行，同旁内角互补。,1. 如图,直线EF过点A, D是BA延长线上的点 ,具备什么条件时,可以判

19、定EF BC ? 为什么 ?,4、如果两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角（ ） (A)相等 (B)互补 (C)相等或互余 (D)相等或互补,5、下列说法中，错误的是（ ） (A)两直线平行，同位角的平分线互相平行 (B)两直线平行，内错角的平分线互相平行 (C)两直线平行，同旁内角的平分线互相平行 (D)两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直,二、填空 1、（1） 1的余角为28，则1= 度； （2）一个角等于它的余角，则这个角的度数是_； （3）一个角比它的余角的2倍大120，则这个角的 度数为 ；,2、如图1，3与4是 角； 1与3是 角；3与5是 角； 3与7是 角。

20、,3、如图2，是由两个相同的直角三角形ABC和FDE拼成的， 则图中与A相等的角有 个，分别是 ； 1与A关系是 ；2与1的关系是 ；,如图8，,4、 ACB与1是两条直线 和 被第三条直线 所截，构成的 角； A与1是两条直线 和 被直线 所截的， 构成的 角； 2和ACD是两条直线 和 被直线 所截， 构成的 角； B和BDE是两条直线 和 被直线 所截， 构成的 角。,二、问题研讨,3.如图，不能判别ABCD的条件是（ ） A. B+ BCD=180 B. 1= 2 C. 3= 4 D. B= 5,4.如图，已知AOB是一条直线，OM平分BOC，ON平分 AOC，则图中互补的角有几对？

21、则其中互余的角有几对？,B,3对,4对,1、命题：对顶角相等；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是对顶角；同位角相等，其中假命题有（ ） A、1个B、2个C、3个D、4个,一、选择题：,1.如图，已知：1=2，1=B，求证：ABEF，DEBC。,证明：由1=2 （已知）， 根据： . 得ABEF. 又由1=B（ ）. 根据：同位角相等，两直线平行 得 .,内错角相等，两直线平行,已知,DE BC,2.如图，已知：1+2=180，求证：ABCD.,证明：由：1+2=180(已知)， 1=3（对顶角相等）. 2=4（ ）根据：等量代换得：3+ =180. 根据：同旁内角互补，两直线平行 得：

22、.,对顶角相等,4,AB CD,3.如图，已知：DAF=AFE，ADC+DCB=180，求证：EFBC,证明：由：DAF=AFE （ ） 根据： . 得：AD . 由：ADC+ =180（已知）.根据： . 得：AD . 再根据： . 得：EFBC,已知,内错角相等，两直线平行,EF,DCB,同旁内角互补，两直线平行,BC,平行于同一直线的两条直线互相平行,4.如图，已知：2=3，1+3=180，求证：EFGH.,证明：由：2=3 （已知）1+3=180（ ）根据： . 得：1+2=180. 根据： . 得： 。,已知,等量代换,同旁内角互补，两直线平行,EFGH,5.如图，已知：1=2，BD

23、平分ABC，试说明ADBC.,证明：由BD平分ABC（已知），根据： . 得：2=3. 又由：2=1（已知）根据： . 得：3= .根据：内错角相等，两直线平行.得： .,B,A,C,D,1,2,3,角平分线定义,等量代换,1,AD BC,6.如图，已知：ABCD，AEBD，试说明ABD=E.,证明：由 （已知）， 根据：两直线平行，内错角相等 得：ABD= . 由AEBD（ ）. 根据： . 得BDC=E . 再根据：等量代换 得： = .,ABCD, BDC,已知,两直线平行，同位角相等, ABD E,7.如图，已知：ACDE，1=2，试说明ABCD.,证明：由ACDE （已知）， 根据：

24、两直线平行，内错角相等. 得ACD= . 又由1=2（已知）. 根据： . 得1=ACD . 再根据： . 得 ., 2,等量代换,内错角相等，两直线平行,AB CD,8.如图，已知：ABCD，1=552=80， 求3的度数.,9.如图，已知：ABCD，A=70DHE=70,求证：AMEF,10、推理填空，如图 B； ABCD（）； DGF； CDEF（）； ABEF； B180（）；,11、如图：,（1） EFAB，（已知） 1= （ ）；,（2） 3= （已知） ABEF （ ）；,（3） A= （已知） ACDF （ ）；,（4）2+ =1800（已知） DEBC （ ）；,（5）ACD

25、F（已知） 2= （ ）；,（6） EFAB（已知） FCA+ =1800（ ）；,12、如图，已知A与D互补，可以判定哪两直线平行？ B与哪个角互补，可以判定直线AD BC？,13、如图，由下列条件可以判定图中哪两条直线平行，说明理由。,（1）若1= B，则AD _,BC,（3）若1= D，则AB _,（4）若2+3+B=180 ， 则_ _,（2）若3= 4，则BC _,AD,CD,AD,BC,14、已知：如图，ABDE，1=2，则AE与DC平行吗？完成下列推理，并把每一步的依据填写在后面的括号内 证明：ABDE （已知） 1=AED（ ） 1=2 （已知） = （ ） AEDC（ ）,两

26、直线平行，内错角相等,AED,2,等量代换,内错角相等，两直线平行,15、如图：,（1） EFAB，（已知） 1= （ ）；,（2） 3= （已知） ABEF （ ）；,（3） A= （已知） ACDF （ ）；,（4）2+ =1800（已知） DEBC （ ）；,（5）ACDF（已知） 2= （ ）；,（6） EFAB（已知） FCA+ =1800（ ）；,16、已知，如图，BCE、AFE是直线，ABCD，1=2，3=4。 求证：ADBE。,证明：ABCD（已知） 4= （ ） 3=4（已知） 3= （ ） 1=2（已知） 1+CAF=2+CAF（ ） 即 = 3= （ ） ADBE（ ）,

27、17、如图：,（1） EFAB，（已知） 1= （ ）；,（2） 3= （已知） ABEF （ ）；,（3） A= （已知） ACDF （ ）；,（4）2+ =1800（已知） DEBC （ ）；,（5）ACDF（已知） 2= （ ）；,（6） EFAB（已知） FCA+ =1800（ ）；,18、已知，如图，BCE、AFE是直线，ABCD，1=2，3=4。 求证：ADBE。 证明：ABCD（已知） 4= （ ） 3=4（已知） 3= （ ） 1=2（已知） 1+CAF=2+CAF（ ） 即 = 3= （ ） ADBE（ ）,(1). （2006年东莞）能由AOB平移而得的图形是哪个？,（2）

28、（2006年四川省广安市）如图，AB CD， 若ABE=120o DCE=35o，则 BEC =_,中考题我能行!,二、问题研讨,1.在同一平面内，两条直线的位置关系是（ ） A.相交 B.平行 C.相交或平行 D.相交、平行或垂直,2.三条直线两两相交，当三条直线相交于一点时，对顶角的对数为m，当三条直线不相交于一点时，对顶角的对数为n，则m与n的关系是（ ） A.mn B.m=n C.mn D.无法确定,c,B,3、如图,已知ABCD,则下列结论正确的是( ）, 1=2; 3=6; 4+7=180;5+8=180,A. 1个；个；个；个,4、如图,要得到DE BC,则需要满足的条件 是(

29、),A.2+5=180;B.3+5=180;C.2=4; D.1=2.,5、如图所示，要使ABCD，只需要添加一个条件，这个条件是 .(填一个你认为正确的条件即可),6、如图所示，DEBC，DFAC，则图中与C相等的角有 个.,命 题,定义,结构,形式,真假,能够把一个命题写成”如果那么的形式,判断一件事情的语句，叫做命题,题设、结论,“如果那么”,命题,（1）同角的补角相等； （2）等角的余角相等； （3）互补的角是邻补角； （4）对顶角相等；,7.说出下列命题的题设与结论：,课堂练习,1、下列命题是真命题的有（ ） A、相等的角是对顶角 B、不是对顶角的角不相等 C、对顶角必相等 D、有公

30、共顶点的角是对顶角 E 、邻补角的和一定是180度 F、互补的两个角一定是邻补角 G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确定 了那么另外三个角的大小就确定了,C、E、G,8.下列说法正确的有( ) 对顶角相等;相等的角是对顶角;若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个,7. 如图OAOC，OBOD，且BOC，则AOD=_,B,1800-,9.如图，已知ABCD，直线EF分别交AB、CD于点E 、F， BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，你能说明P的度数吗？为什么？,10、如图,已知ADBC,EFBC,

31、1=2.求证:DGBA.,11、如图，已知1=2，C=D， 求证：A=F,12、如图， ABCD，EF平分GFD，GF交AB与M，GMA=52，求BEF的度数。,13、如图，已知1=2，BAD=BCD，则下列结论 (1)AB/CD；(2)AD/BC；(3)B=D；(4)D=ACB。 其中正确的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个,14、如图,要得到DE BC,则需要满足的条件 是( ),A.2+5=180;B.3+5=180;C.2=4; D.1=2.,15.如图,是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中,四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球经过

32、多次反射),那么球最后将落入的球袋是( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋,16.如图，在长方形ABCD中，ADB20， 现将这一长方形纸片沿AF折叠，若使AB BD， 则折痕AF与AB的夹角BAF应为多少度？,17.如图，已知DE、BF分别平分ADC 和ABC，1 =2， ADC= ABC 说明ABCD的理由。,18、如图，已知1+2=180，3=B，试判断AED与C的大小关系，并对结论进行说理。,19、求证：两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。,20、已知：如图D、E、F分别是BC、CA、 AB上的点，DEBA，DFCA 求证：FDE=A,解答题： 1、如图

33、，BCDE，小颖用量角器分别画出ABC、 ADE的角平分线BG、DH，想一想，小颖所画的这 两条射线BG和DH会平行吗？为什么？,2、如图，已知1=2，C=D， 求证：A=F,3、如图， ABCD，EF平分GFD，GF交AB与M，GMA=52，求BEF的度数。,4、已知：ABCD。试探索 A、C与AEC之间的关系； B、D与BFD之间的关系。,几 何 之 旅,5、ABCD，分别探讨下面四个图形中APC与PAB，PCD的关系，并请你从所得四个关系式中任意选一个说明理由.,6、如图，折线APB是夹在两平行线a和b之间的一条折线. (1)试探求与、之间的关系； (2)试改变问题中的某些条件时，又有怎

34、样的结论呢？,能力拓展,7、（1）如图， ADBC， 试问2与1、 3的关系是什么？为什么？,（3）如图 ， ADBC，你又有什么发现？,（2）如图， ADBC， 试问2+ 4与1+3 +5哪个大？为什么？,8、已知ABDC， B=80， D=140，求BCD的度数。,9如图ABCD，1=140，2=90，则3的度数是( ) A40 B45 C50 D60,练一练：,10已知，如图，ABCD，则、之间的关系为（ ） A360 B180 C180 D180,2、已知AOB及两边上的点M、N（如图） 请用尺规分别过点M、N作OB、OA的平行线， 不写作法，保留作图痕迹。,尺规作图：,3、辨析与比较

35、： 如图，是两块相同的三角尺拼接成的一个图形，请找出图中互相平行的边。,若其中一块三角尺沿着重合的边向下滑动（如图所示），原来平行的边还平行吗？你知道其中的道理吗？,4、操作与解释：,数学课上有这样一道题：“如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作EBC，使得EBC=A，EB与AD一定平行吗？”。小王说“一定平行”；而小李说“不一定平行”。你更赞同谁的观点？,5、探索与思考：,有一条直的等宽纸带，按如图所示折叠时，1=30求纸带重叠部分中CAB的度数。,8、如图，已知1+2=180，3=B，试判断AED与C的大小关系，并对结论进行说理。,三角形的初步知识,三角形的性质,（1）边的性质：,

36、三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边,（2）角的性质：,三角形三内角和等于180度,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和,辨一辨： 1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填“能”或“不能”) （1）3，4，5（ ） （2）8，7，15（ ） （3）13，12，20（ ） （4）5，5，11（ ）,不能,不能,能,能,直角三角形,钝角三角形,2、三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形； 直角三角形；钝角三角形。根据下列条件判断它们 是什么三角形？ （1）三个内角的度数是1:2:3（ ） （2）两个内角是50和30（ ）,c,3、三角形的

37、两边长分别是3和5，第三边a的取值范围（ ） A、2a8 B、2a8 C、2a8 D、2a8,4、以下各组线段，能组成三角形的是（） A.2cm,2cm,4cm B.3cm,6cm,8cm C.2cm,3cm,6cm D.4cm,6cm,11cm,B,5、在ABC中，若A=54，B=36，则ABC是（ ） A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形,C,6、如图,在ABC，A=75B=45 则ACD=_,（第8题） （第9题） 8、如上图，1=60，D=20，则A= 度 9、如上图，ADBC，1=40，2=30， 则B= 度，C= 度,7或 9,100,50,60,7、一个

38、三角形的两边长分别是3和8，而第三边长为奇数，那么第三边长是 _,CA=CB,点C在 上,线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。,1、三角形的中线的概念,2、三角形的角平分线的概念,3、三角形的高线的概念,4、线段的垂直平分线的概念,A,B,C,P,PB=PC,PBAB,PC AC,2、如图,CE,CF分别是ABC的内角平分线和外角平分线, 则ECF的度数=_度.,3. 在ABC中，AD是BC边上的中线，已知AC=3，ABD和ACD的周长的差是2，你能求出AB的长吗？,练一练:,90,1或5,1、能把一个三角形分成面积相等的两部分是三角形 的是（ ） A、中线 B、高线 C、角平分线

39、D、边上的中垂线,A,5、如图，在ABC中，BD平分ABC，CE是AB边上的高，BD，CE交于点P。已知ABC=600，ACB=700, 求ACE，BDC的度数。,400,800,A,B,C,E,D,F,4.如图，AD、BF都是ABC的高线，若CAD=30度，则CBF=_度。,30,6、如图在ABC，C=90，BD平分ABC，交AC 于D。若DC=3，则点D到AB的距离是_。,3,7、如图，ABC中,DE垂直平分，AE=cm, ABD的周长是9cm,则ABC的周长是_.,15 cm,8、如图，已知ABC中，B=45，C=75，AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，则DAE= ；,150,9

40、、如图，BE、CF是ABC 的角平分线，A=40求BOC度数,1100,改变条件：,1、如图，BE、CF是ABC 的外角平分线， A=40求BOC度数,700,2、如图，BE、CF分别是ABC 的内角与外角平分线，A=40求BOC度数,200,全等图形：,全等三角形：,基础知识,能够完全重合的两个图形,能够完全重合的两个三角形,三角形全等的判定方法,（1）边边边（SSS）,（2）边角边（SAS）,三边对应相等的两个三角形全等,两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等,（3）角边角（ASA）,两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等,（4）角角边（AAS）,两角及其中一角的对边对应相等的两个三角

41、形全等,全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的对应线段相等； 全等三角形的面积相等。,全等三角形的性质：,平移类,旋转类,翻转类,综合类,A,B,C,D,A,B,C,D,DCB,SAS,DCB,DC,AB=AC,BDA=CDA,B=C,3、判断题： （1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.（ ） （2）有三角对应相等的两个三角形全等。 （ ） （3）成轴对称的两个三角形全等。（ ） （4）面积相等的两个三角形全等。 （ ） （5）含有60角的两个直角三角形全等。 （ ）,4、如图,已知AC平分BCD,要说明ABCADC,还需要增加一个什么条件?请说明理由

42、。,D,C,A,B,或BAC=DAC,BC=CD,或B=D,5、如图，在ABC中，AB=AC，E、F分别为AB、AC上的点，且AE=AF，BF与CE相交于点O。,（1）图中有哪些全等的三角形？,EBCFCB（SSS）,EBOFCO（AAS）,（2）图中有哪些相等的线段？,（3）图中有哪些相等的角？,6、如图1，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若B=200，CD=5cm，则C=_，BE=_,图1,图2,7、如图2，若OB=OD，A=C，若AB=3cm,则CD=_,8、已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全

43、等的三角形共有( ) A1对 B2对 C3对 D4对,D,20,5cm,3cm,阅读下题及其说理过程： 已知：如图，是中边上的中点，说明的理由。 解：在和中 ,A,B,C,D,E,问：上面说理过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理根据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的推理过程,例1、已知如图，ABAC，AO平分BAC，请说明(1)ABOACO；（2）DOEO的理由.,A,B,C,O,D,E,1,2,3,4,解（1） AO平分BAC,1=2,（已知）,（角平分线定义）,在ABO和ACO中,AB=AC,AO=AO,（已知）,（公共边）, ABOACO,（SAS）,（2）ABOACO

44、, B=C OB=0C,（全等三角形的对应角、对应边相等）,1=2,在BOD和COE中,3= 4,OB=0C,B=C,（对顶角相等）, BODCOE,（ASA）,DO=EO,（全等三角形的对应边相等）,例2、如图，AD是ABC的高，且AD平分BAC， 请指出B与C的关系，并说明理由。,A,B,C,D,解：是的高 平分 , ,C,A,例3、如图，已知:ABC和BDE是等边三角形，D在AE的延长线上。求证：CBDABE,变式1、如图，已知：ABC和BDE是等边三角形，D在AE的延 长线上。 求证：BD + DC = AD,CBD ABE,CBA+ DBA = EBD+ DBA,CBA= EBD=

45、60,CB= AB,DB = EB,CBD= ABE,变式2、如图，已知：点C、B、E在同一条直线上，ABC和BDE是等边三角形。 求证： CBDABE,变式3、 如图，已知ABC和DEB等边三角形 。C，B，E在一条直线上 求证： BG = BH。,例4、如图，在AFD和BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下列四个论断： AD=CB，AE=CF，BD， AC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。,B,A,F,C,D,E,1、如图,已知AB=ED,AF=CD,EF=BC, 说明EFD=BCA的理由。,2、如图，1=2，AB=CD，AC与BD相交于点O，

46、则图中必定全等的三角形有（ ） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 6对,C,巩固练习：,A,C,B,O,D,3.如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则B=C,请说明理由.,（提示：连结AD）,4.如图,在ABC中, AD是BAC的角平分线，DE是ABD的高线， C=90 度。若DE=2，BD=3，求线段BC的长。,5、如下图，已知ABC中，DE是BC边上的中垂线，若AC=5，EC=2， ADC的周长是13，求ABC的周长。,6、如上图，EF是AB的中垂线，分别延长BE、AE至D，C，使DE=CE，则AD与BC相等吗? 请说明理由。,7、如下图，已知AD是ABC的中线，

47、CE是ADC的中线，若ABC的面积是8，求DEC的面积。,8、如上图，ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD:CD=2:3，DE:AE=1:4，ABC的面积是8，求DEC的面积。,要想知道一个池塘的两岸上最远两点之间的距离，没有船，且不能直接去测量。如果只用绳子和尺子，怎样才能测出它们之间的距离呢？,它们之间有多远呢？,方案设计,A,B,先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B间的距离。,方案一, ACD CAB(SAS),方 案 二,1=2,AD=CB,AC

48、=CA,解:连结AC，由ADCB，可得12 在ACD与CAB中,如图，先作三角形ABC,再找一点D，使ADBC，并使AD=BC，连结CD，量CD的长即得AB的长,方案三,如图，找一点D，使ADBD，延长AD至C，使CD=AD，连结BC，量BC的长即得AB的长。, BA = BC,1、已知钝角ABC，求作： （1）AC边上的中线； （2）C的角平分线； （3） BC边上的高。,作图类：,2、已知线段a、b、c，作ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。,a,c,b,3、已知线段a、b、，作ABC，使AB=a，AC=b，A= 。,a,b,4、已知线段a、 、，作ABC，使AB=a，A= ， A=

49、。,a,相似三角形,知识要点,1.成比例线段,其中a、b、c、d 叫做组成比例的项；,线段 a、d 叫做比例外项；,线段 b、c 叫做比例内项。,2、比例的性质：,基本性质：,合比性质：,等比性质：,知识要点,6,练习,3.比例中项：,练习：,当两个比例内项相等时，,那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.,知识要点,知识要点,4、黄金分割：,练习：,4,2.相似三角形的性质,对应边成比例，对应角相等,对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比,对应周长的比等于相似比,对应面积的比等于相似比的平方,方法2:如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.,

50、 A=A， B=B, ABC ABC,两个三角形相似的判定方法:,方法1：通过定义（不常用）,回顾, DEBC ADE ABC,方法3：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 。,ABCABC,两个三角形相似的判定方法:,方法4：如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.,ABCABC,2、下列图形一定相似的有 哪几个 （ ） A、邻边对应成比例的两个平行四边形； B、有一条边相等的两个矩形； C、有一个角相等的两个菱形； D、都含有100的两个等腰三角形。,C、D,。,4、将一矩形对折后，对折后的矩形与原矩形 相似，则原矩形

51、的长宽之比是 。,5、平行四边形ABCD边AB上有点E，且AE: BE=1:2,已知三角形AEF的面积为4，求平行四 边形ABCD的面积为： 。,8:5或2:5,96,条。,4,10、工地上两根电线杆相距Lm，分别在高4m 和6m的A、C处用铁丝将其固定，求铁丝的交 点M到地面的距离MN.,x,y,2-y,2,D,特殊三角形,1. 什么是等腰三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,练1已知等腰三角形的两边长分别是4和6, 则它的周长是 .,练2已知等腰三角形的两边长分别是3和6, 则它的周长是 .,练3已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长 分成15cm和6cm两部分，则等腰三角形的底 边长是

52、 .,14或16,15,1cm,2.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴 是 .,3.等腰三角形的两个底角相等。,顶角平分线所在的直线,练5：已知等腰三角形的一个底角是300， 则它的顶角是 .,练6：已知等腰三角形的一个角是300， 则它的顶角是 .,练7：已知等腰三角形的一个角是1300， 则它的顶角是 .,练8：已知等腰三角形的顶角是底角的2倍， 则它的底角是 .,1200,1200或300,1300,450,等腰三角形三线合一 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高互相重合,在ABC中 （1）AB=AC，ADBC， _=_，_=_； （2）AB=AC，AD是中线， =，_； （

53、3）AB=AC，AD是角平分线， _，_=_。,1,2,B,C,1,2,AD,BC,AD,BC,B,C,4. 如果一个三角形有两个角相等，那么这个 三角形是 .,等腰三角形,练9：在ABC中，AB=AC，1=2 则： ABDACD,解： 1=2 DB=DC （ 为什么？） 又AB=AC, AD=AD ABDACD（sss ）,5. 三边都相等的三角形叫做等边三角形 也叫正三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形， 是腰和底边相等的等腰三角形,.等边三角形的性质：,a. 三边相等,b.三个角相等，都是600,c.三线合一,d.轴对称图形，三条对称轴,.说一说： 你用什么方法可以判定一个三角形是等边三

54、角形,9.有一个角是直角的三角形叫直角三角形,10.直角三角形的两个锐角 .,11.有两个角互余的三角形是直角三角形,12.两条直角边相等的直角三角形叫做等腰 直角三角形,它的两个底角相等,都是450,练10: 在ABC中,C=Rt, B=3A 求 B和C的度数,练11: 在ABC中,A:B:C=1:1:2 求三个内角的度数,并判断是什么三角形,互余,13.直角三角形斜边上的中线等于 .,14.若三角形中一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是 .,练12:在RtABC中,CD是斜边AB上的中线， 若CD=3.5厘米，则AB=厘米,斜边的一半,7,直角三角形,直角,15.勾股定理：直角

55、三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.,16.勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理的逆定理: 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形.,勾股定理: 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.,已知是Rt , 得出边的关系, ABC是Rt a2+b2=c2, a2+b2=c2 ABC是Rt C是直角,已知边的关系, 判断出是Rt ,练14：如果一个直角三角形的两条边长分别 是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是 多少厘米？,请写出并记忆常见的勾股数,3,4,13,12,5,17. 直角三角形全

56、等的判定： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL”）,18. 角的内部，到角的两边距离相等的点 ， 在这个角的平分线上,解直角三角形复习,单元知识网络,直角三角形的边角关系,解直 角三角形,知一边一锐角解直角三角形,知两边解直角三角形,添设辅助线解直角三角形,知斜边一锐角解直角三角形,知一直角边一锐角解直角三角形,知两直角边解直角三角形,知一斜边一直角边解直角三角形,实际应用,抽象出图形，再添设辅助线求解,直接抽象出直角三角形,解直角三角形,目标一,目标二,目标三,一、在RtABC中，C为直角，A、B为锐角，它们所对的边分别为c 、a、b ，其中除直角C 外，其余的5个元素之间有以下关系：, 三边之间的关系：, 锐角之间的关系：, 边角之间的关系：,二、锐角三角函数的性质：, sin2+cos2 = tan cot =