第六章 数理统计的基本概念.ppt

1、CHAP6 数理统计的基本概念,2020年10月26日星期一,6.1 数理统计的方法与内容,6.2 总体与样本, 6.3 统计量及分布,CHAP6 数理统计的基本概念,6.1 数理统计的方法与内容,2020年10月26日星期一,概率论和数理统计都是研究随机现象统计规律性的学科，但是它们在研究问题的方法上又有其自身的特点在许多实际问题中，要想全面地了解所研究的对象的整体情况往往是不现实的，只能通过试验得到它的局部信息，由于局部和整体是密切相联系的，还是可以利用这局部信息来推断整体特性的，这就是数理统计方法的基本思想,2020年10月26日星期一,所以，数理统计讨论问题的出发点是试验数据，它的基本

2、任务是研究如何对随机现象进行观察或试验以获得具有代表性的局部数据，以及如何对收集到的局部数据进行整理、分析，并对所研究的对象的整体特性做出尽可能准确的推测和判断,2020年10月26日星期一,试验是认识事物的根本方法，从所研究的对象中抽出一小部分来逐个进行试验叫做抽样试验，数理统计中的试验都是抽样试验由于在抽样试验中所获得的局部数据是带有随机性的，依此来推断研究对象的整体特性总会有一定程度的不确定性，而且这种不确定性通常都是用概率来表示的所以说，概率论是数理统计的理论基础，数理统计则是概率论的一种实际应用,2020年10月26日星期一,数理统计的内容十分丰富，大体上可分为收集数据和统计推断两个

3、方面：,（1）收集数据 研究如何对随机现象进行观察或试验，以便获得能够很好地反映整体情况的局部数据其内容包括抽样技术、试验设计等,（2）统计推断 研究如何对收集到的局部数据进行整理、分析，并对所考察的对象的整体特性做出尽可能准确可信的推测和判断其内容包括参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等统计推断是数理统计的主体,2020年10月26日星期一,数理统计是一门应用性很强的学科，目前它已被广泛而深入地应用到科学技术、工农业生产、医疗卫生、生物遗传、气象预报、水文地质、社会经济、人文学科等各个领域中可以说，几乎在人类活动的一切领域都能不同程度地找到它的应用例如，在航天工程中，航天器的设计、定型和

4、飞行过程中试验数据的处理；在工业生产中，产品质量的检查和控制；在社会经济领域中，抽样调查和市场预测等等，都要用到数理统计同时，数理统计的广泛应用也促进了其自身的不断发展，使其内容更加丰富,CHAP6 数理统计的基本概念,6.2 总体与样本,2020年10月26日星期一,6.2.1 总体及其分布,总体又称母体，指一个统计问题所研究的对象的全体，总体中的每一个研究对象称为个体总体所含个体的数量称为总体容量当总体的容量有限时，称为有限总体；否则，称为无限总体,我们把总体也可以看作由所考察的某一项数量指标所有可能取的值组成的集合，记作X，集合X中的数值可能有重复的，每个数值表示一个个体，且不相等的数值

5、在X中所占的比率可能不同总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布,2020年10月26日星期一,例6.1 设有一批产品共1 000件，其中含有甲等品801件、乙等品175件、次品24件，则这批产品构成一个总体X如果用“1”，“2”和“0”分别表示三个等级的产品，则该总体X可看成是由801个“1”、175个“2”和24个“0”组成的一个数集由于“1”，“2”，“0”在X中所占的比率依次为8011 000，1751 000，241 000，总体X 的分布可以表示为,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,应当指出，当我们从一个总体X中随意地抽取一个个体时，取得的个体实

6、际上是一个随机变量，记作X显然，随机变量X所有可能取的值组成的集合就是X，且随机变量X的概率分布与总体X的分布本质上没有什么区别为了方便起见，今后我们把总体X与随机变量X都用X来表示，总体X的分布指的就是随机变量X的概率分布，可用分布列，或密度函数，或分布函数具体表示出来总体X的数字特征指的就是随机变量X的数字特征总之对总体X与随机变量X不加区别，笼统称为总体X,2020年10月26日星期一,6.2.2 样本与抽样,样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽取的部分个体，样本中的每个个体又称为样品一个样本中所含样品的个数称为样本容量抽取样本的过程称为抽样，抽取样本的方式又称为抽样方法,2020年

7、10月26日星期一,应当指出，样本是具有二重性的一方面，抽样前样本中的每个样品的取值都具有随机性，即每个样品都是随机变量；另一方面，抽样后样本中的样品都是确定的数值在理论研究中，我们把样本中的每个样品都看作随机变量，总体X的一个容量为n的样本通常是用n个随机变量 来表示，进行一次具体的抽样之后得到n个确定的数值 称为样本的一个观测值，简称为样本值,2020年10月26日星期一,抽样方法可分为随机抽样和判断抽样两大类随机抽样是从总体中随机地抽取部分个体，即所取得的样本中的每个样品是从总体中随意抽取的；判断抽样是根据抽样人员的判断从总体中有选择地抽取具有代表性的部分个体,随机抽样又分为重复抽样（或

8、返回抽样）和非重复抽样（或无返回抽样）两种,2020年10月26日星期一,为了使样本既能很好地反映总体情况，又在数学上便于处理，对所抽取的样本常常提出某些要求，最基本的要求有两个：,（1）样本中的各个样品是独立的随机变量，称为独立性；,（2）样本中的每一个样品都与总体有相同的概率分布，称为同一性,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,设总体X的分布函数为F（x），则样本 的联合分布函数为 F（x1）F（x2）F（xn） （6.1）,若总体X为离散型总体，其分布率为PX = x(i)= p(x(i)，i = 1，2，则样本 的联合分布率为 （6.2）,2020年10月26日

9、星期一,若总体X 为连续型总体，其密度函数为 则样本 的联合密度函数为,f（x1）f（x2）f（xn） （6.3）,2020年10月26日星期一,6.2.3 频率直方图与经验分布函数,1频率直方图,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,取a略小于m，b略大于M，则区间a，b是包含样本值的区间,再将区间a，b等分为l个小区间，分点记为,且每个分点ti的值应比样本值多取一位小数,相应地，样本值也分成了l个数组,2020年10月26日星期一,经验表明，组数l要适当的选定，过小会掩盖各组内数据的变动情况，过大则将突出随机性的影响而降低稳定性，从而看不出明显的规律,组数l当样本容量

10、n50时应以7到18个为宜，且使每个小区间中都有样本值中的数据,2020年10月26日星期一,（1il）,根据伯努利大数定律，当样本容量n充分大时，应有近似等式,2020年10月26日星期一,上面最后一个近似等式的几何意义是，在每个小区间上用矩形面积近似代替曲边梯形面积,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,例6.2 某厂生产圆钉的长度L是一个连续型随及变量，从中抽取100个测量其长度后得数据如下：,2020年10月26日星期一,试作出试验数据的频率直方图,解,将区间 145.95，165.95 10等分，每个 小区的长,将100个数据分为10组 ，如表6-1所示,202

11、0年10月26日星期一,表6-1,2020年10月26日星期一,频率直方图如图6-1,从直观上看，直方图的上边近似于正态密度曲线,图6-1,2020年10月26日星期一,2. 经验分布函数,2020年10月26日星期一,例6.3 设总体X为100个同类铸件中每个铸件上沙眼的个数从中任取7个铸件，检查每个铸件上的沙眼数，得样本值 0， 3， 2， 1， 1， 0， 1试求相应的经验分布函数,解：,样本值中有四个不同的数值0，1，2，3，它们的频数依次为2，3，1，1,2020年10月26日星期一,相应的经验分布函数为,2020年10月26日星期一,图62,的图形是一条不降的阶梯形曲线（图62）,

12、CHAP6 数理统计的基本概念,6.3 统计量及分布,2020年10月26日星期一,6.3.1 统计量的概念,2020年10月26日星期一,最常用的统计量,2020年10月26日星期一,（6.10）,2020年10月26日星期一,6.3.2 三种重要分布,2020年10月26日星期一,Karl Pearson Born: 27 March 1857 in London, EnglandDied: 27 April 1936 in Coldharbour, Surrey, England,2020年10月26日星期一,密度函数为,（6.12）,2020年10月26日星期一,的图形如图6-3所示,

13、图63,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,William Sealey Gosset Born: 13 June 1876 in Canterbury, EnglandDied: 16 Oct 1937 in Beaconsfield, England,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,的图形如图64所示,图64,当n很大时，t（n）分布近似于N（0，1）分布,2020年10月26日星期一,3F 分布,2020年10月26日星期一,Sir Ronald Aylmer Fisher Born: 17 Feb 1890 in London, EnglandDied: 29 July 1962 in Adelaide, Australia,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,的图形如图65所示,图65,2020年10月26日星期一,6.3.3 分位点,2020年10月26日星期一,图66,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,2020年10月26日星期一,2020年10