2017年第二届爱尖子杯邀请赛 - 数学-答案

1、 第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题 8 分，共 64 分每题只有 0 分或 8 分两档，多解少解一律 0 分）1.42.3110100 ,101003.184.5.16.4034457.(n!)28.二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9.本题解法如果和标答不同，酌情给分4 分一档，最后得分只能是 0 分、4 分、8 分、12 分、16 分解析：(x +1)log3 2 = x 两边取自然对数得log 2ln(x +1) = ln x ， ln 2 ln ( x

2、+1) = ln x ， 3ln 3ln 1 + 1 ln 1 + 1 x 2 ln(x +1)ln 3=， = ，8 分ln xln 2ln xln 2ln 1 + 1 x 1 显然ln x 0 且严格递增， ln 1 + x 严格递减，故严格递减，从而只有唯一实根，12 分ln x而显然 x = 2 为方程的根，故方程只有唯一正实数解 x = 2 16 分 如果猜出结果，但没有说明解得唯一性，本题给 4 分 客服电话：400-898-0858客服 QQ 号：2805659243 第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准10.本题解法如果和标答不同，酌情给分5 分一档，最后得分只能

3、是 0 分、5 分、10 分、15 分、20 分y解析：AMO NQ椭圆方程化为b2x2 + a2 y2 = a2b2 ， xB设 A( x1, y1), B (x2, y2 ) ， AB 方程为 y = kx + m ，P联立椭圆方程得， b2x2 + a2 (kx + m)2 = a2b2 ， = a2m2 - a2b2-2kma2， x + x =5 分 b2 + a2k 2由韦达定理可知 x x1 212b2 + a2k 2由 PA PB 可得 y1+ b y2+ b= -1 ，即 ( kx+ m + b)(kx + m + b)+ x x = 0 ，121 2xx12()化 为 k

4、+1 x x + k (m + b)(x+ x ) + (m + b)2 = 0 ，21212a2m2 - a2b22kma2即(k 2+1)- k (m + b)+ (m + b)2 = 0 ，2b2+ a k2 2b2+ a k2化简得(a2 + b2 )m2 + 2b3m + b4 - a2b2 = 0 ，10 分分解因式得(m + b) (a2 + b2 )m + b3 - a2b = 0 ， a2b -b3a2 + b2由 AB 不过 P 点知m -b ，从而m =为定值，15 分a2b即 AB 与 y 轴交点 M 为定点，设 M 中点为 N ，则由MQP 为直角可知，NQ = 1

5、MP =2为定值，a2 + b2-b3 a2b a2+ b 2故Q 点轨迹为以 N 0,为圆心，为半径的圆且去掉 P 点20 分 a + b22最后如果忘记去掉 P 点，给 15 分 11.本题解法如果和标答不同，酌情给分5 分一档，最后得分只能是 0 分、5 分、10 分、15 分、20 分解析：k +11kkkk1 1 1 1 1xi- xk k+1()-xk +1yk- y k +1=k +1 =x - xxi - xk +1x() i=1() i=1() i=1ik k +ik k +ik +1k +1 i=1k11i=1kkk kk111 ()i =1 j =ii=1=x - x=i

6、 x - x- xx10 分()()()k k +1jj+1k k +1jj+1k k +1ii+1i=1j =in-1n -11 2 将上式代入 S 的各项，可得 yi - yi+1 1 -x - x+ 1-x - x+ 1- xn-1 - xn1223nnni=1 n -1( x)= n -115 分- x+x - x+- xxn-1n1223n注意当 x1= n ， x2 = x3 = xn = 0 时可取等号客服电话：400-898-0858客服 QQ 号：2805659243 第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准故 S 的最大值为n -120 分如果只给 S 最大值为n

7、 -1没有分，同时给出构造给 5 分 一、（本题满分 40 分）本题解法如果和标答不同，酌情给分10 分一档，最后得分只能是 0 分、10 分、20 分、30 分、40 分解析：不妨设ai = i （ i = 1,2, n ） 当 n = 1时，S 只能等于 1，可能值只有 1 个 当 n = 2 时，S 可能为1 2 + 21 = 4 或12 + 22 = 5 ，可能值有 2 个 当 n = 3 时，S 的可能情况为：1 3 + 22 + 31 = 10 、1 3 + 21+ 3 2 =11 、1 2 + 2 3 + 31 =11 、 1 2 + 2 1+ 32 = 13、11+ 2 3 +

8、 3 2 =13 、12 + 22 + 32 = 14 ，可能值有 4 个 n(n +1)(n + 2)6n(n +1)(2n +1) 6nni (n +1- i) =i2 =当 n 4 时，由排序不等式知 S， S=minmaxi=1i=110 分下证在这个范围内的所有整数，S 都可以取到 当 n = 4 时， Smin = 20 = 1 4 + 2 3 + 3 2 + 41， Smax = 230 =2 1 +3 2 +23 + 4而21 =1 3 + 2 4 + 3 2 + 41， 22 =1 3 + 2 4 + 31+ 4 2 ， 23 =1 3 + 2 2 + 3 4 + 41 ，

9、24 =1 2 + 2 3 + 3 4 + 41， 25 =1 3 + 21+ 3 4 + 4 2 ， 26 =1 3 + 2 2 + 31+ 4 4 ， 27 =1 3 + 21+ 3 2 + 4 4 ， 28 =1 2 + 21+ 3 4 + 4 3 ， 29 =1 2 + 21+ 3 3 + 44 故此时结论成立20 分 k= k +1，则(b ,b ,) 为正整数 1 至 k 的排列， S = (k + 1)2 +,ba b令bk +11 2ki ii=1k (k +1)(k + 2)6k (k +1)(2k +1)(k +1)(k + 2)(2k + 3)由归纳假设，S 可以取从(k

10、 +1)到(k +1)22+=的66所有整数值 再令b1 = k +1 ，则(b2 ,b3,bk+1 ) 为 1 至 k 的排列()()+ k +1k +1k +1k 1 k 22k +1S = (k +1)+ aibi = (k +1)+ bi + (ai -1)bi =+ (ai -1)bii=2i=2i=2i=2注意到(a2 -1, a3 -1, ak+1 -1) 恰好依次为 1 至 k，故由归纳假设，S 可以取遍(k +1)(k + 2)k (k +1)(k + 2)(k +1)(k + 2)(k + 3)(k +1)(k + 2)k (k +1)(2k +1)+=+从到的所有整数 2

11、6626再由(k +1) 2 + k (k +1)(k + 2) - (k +1)(k + 2) - k (k +1)(2k +1) = k (k +1)(4 - k ) 0 ，6266(k +1)(k + 2)(k + 3)(k +1)(k + 2)(2k + 3)从而 S 可以取遍到的所有整数值66()()()()+ n n 1 2n 61n n 1 n 62n - n + 63-+ =综上由归纳法可知结论成立，从而 S 的可能值有 1种6客服电话：400-898-0858客服 QQ 号：2805659243 第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准(n = 3)(n 3)4最后

12、我们得到，S 的可能取值有 n3 - n + 6个40 分6如果结果忘记n = 3的特殊情况，本题给 30 分二、（本题满分 40 分）本题解法如果和标答不同，酌情给分10 分一档，最后得分只能是 0 分、10 分、20 分、30 分、40 分解析： k 最大可能值为 2210 分先给出构造： 选出所有的 4 元子集、5 元子集和 S 本身，共C4 + C5 +1 = 22 个，显然这 22 个集合满足要求 6620 分再说明不存在 23 个子集满足要求反证，如果k = 23 考虑 A1 A23 ，其中显然不存在空集和 1 元子集 若其中存在 2 元子集，不妨设 A1 =1,2，则 A1 A2

13、3 必须都包含1,2，S 的子集中只有24 =16 个满足要求，矛盾 若所有子集元素个数均不小于 4，则这样的子集一共只有 22 个，矛盾 若其中存在 3 元子集，不妨设 A1 =1,2,3，则 4 元子集中1,4,5, 6、2,4,5, 6、3,4,5, 6都无法选 取要使得k = 23，必须还存在其他 3 元子集不妨设 A2 =1,2,4（注意 A2A1 2 ） 于是 4 元子集1,3,5,6 、2,3,5, 6 也无法选取要使得k = 23 ，至少需要选取 6 个 3 元子集 注意此时已经选取了 A1 =1,2,3 和 A2 =1,2, 4，与它们都有 2 个公共元素的 3 元子集只有1

14、,2,5、 1,2,6、1,3,4、2,3,4，但1,2,5和1,3,4不能同时选取， 1,2,6和2,3,4不能同时选取，故满足要求的 3 元子集最多只能选择 5 个，矛盾 综上可得 k 最大可能值为 2240 分 本题结果正确给 10 分，结果正确且给出正确构造给 20 分 如果最后结果不对，一律 0 分 客服电话：400-898-0858客服 QQ 号：2805659243 第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准三、（本题满分 50 分）本题解法如果和标答不同，酌情给分10 分一档，最后得分只能是 0 分、10 分、20 分、30 分、40 分、50 分解析： 作出 B,C,

15、 D 关于OF 的对称点 B,C, D P、F、Q、R 四点共圆 PFR = PQR PFR = AED由DBB = DBB = DDB = p - DAE可得DAE = DBC ，于是 D, A, B,C 共圆20 分 所以PFB = ABB = ADC则CFR = CCD = CCD = CDD40 分 于是BFP + CFR = ADD = p - AED所以PFR = AED综上即可得证50 分 DDOREAPCBFQBC本题一般情况下，只应该出现 0 分或 10 分，以及 40 分或 50 分 如果用解析法等方法进行计算，过程中只要出现错误或者跳步骤，一律 0 分 四、（本题满分 5

16、0 分）本题解法如果和标答不同，酌情给分10 分一档，最后得分只能是 0 分、10 分、20 分、30 分、40 分、50 分解析：至少有 1 个正整数 先构造一种情况，取 x = 2017 ， x = k -1 （ k = 2,3,2017 ）1kk这 2017 个数满足要求，且只有 x1 是正整数10 分 1x满足：对k =1,2, n ， x +下面证明命题：对正整数n 2 ，若正有理数 x , x ,均为正整数，, x1 2nkk +1则这 n 个正有理数中，至少有一个正整数 不妨设 x = pk （ k = 1, 2, n ），这里 p , q 为互质的正整数kkkqkpk1xqk

17、+1 pk +1为正整数，即 +qk由 xk += m 为正整数k +1= m- qk +1m pk +1 - qk +1pk=，注意此时等式两边均为最简分数，故q k = pk +1 于是 qkpk +1pk +1= qk -1 （这里规定q = q ），所以此时(x , x ,) 对应唯一的正整数数组(q , q ,)，使得 x, x, q1 2n1 2nk0nqk于是 x += qk -1 + qk +1 均为正整数20 分 1kxqk+1k1 = 2q2和 x += 2q1 均为正整数，不妨设q q ，212q当 n = 2 时，可得 x +则 2 1121xqxqq21122于是只能

18、q2 = 2q1 ，从而 x1 = 2 ，矛盾30 分 客服电话：400-898-0858客服 QQ 号：2805659243 第二届“爱尖子杯”邀请赛数学试卷参考答案及评分标准假设当n = t 时结论成立，考虑n = t +1时q + qt1不妨设q 取q , q ,q最大值，则为正整数 t +11 2t + 的1qt +1q + q 2 ，故q= q + q 若 q = q ，则 x = 1 ，结论成立否则 t11t +11t +1t1qt +1, y ，使得 y = qt ， y = qk -1 （ k = 2,3,t ）现构造 y , y ,11 2tkqq1k11,t 时， y = x 从而当k = 2,3,t -1时， y += x +为整数于是k = 2,3,kkkkyxk +1k +11 = qtqqq1而 y +=-1 += x +-1，结果为整数；1t+1111yqqqqx2 12212qqqq11y +=+=+t -1t -1t+1-1