2012考研数学143分笔记

1高等数学高中公式三角函数公式和差角公式和差化积公式SINSINCOSCOSSINCOSCOSCOSSINSIN11TGTGTGTGTGCTGCTGCTGCTGCTGSINSIN2SINCOS22SINSIN2COSSIN22COSCOS2COSCOS22COSCOS2SINSIN22积化和差公式倍角公式1SINCOSSINSIN21COSSINSINSIN21COSCOSCOSCOS21SINSINCOSCOS222222222233322TANSIN22SINCOS1TANCOS22COS112SIN1TANCOSSIN1TAN212212SIN33SIN4SINCOS34COS3COS3313TGCTGTGCTGTGCTGTGTGTGTG半角公式1COS1COSSINCOS22221COS1COSSIN21COSSIN1COS1COS1COSSIN21COSSIN1COSTGCTG11VSHVSHVHSS33SS棱柱棱锥棱台球的表面积4R2球的体积343R椭圆面积AB椭球的体积43ABC第1章极限与连续11集合、映射、函数空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理凡有上下界的非空数集必有有限的上下确界。映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数12数列的极限性质1（唯一性）收敛数列的极限必唯一。2（有界性）收敛数列必为有界数列。3（子列不变性）若数列收敛于A，则其任何子列也收敛于A。注1一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。注2若数列XN有两个子列XP,XQ均收敛于A，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于A。注3性质3提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。4（对有限变动的不变性）若数列XN收敛于A，则改变XN中的有限项所得到的新数列仍收敛于A。5（保序性）若LIM,LIMNNNNXAYB，且AN时，有XNN时，XNYNZN，且LIMNXNLIMNZNA,则LIMNYNA。2单调收敛原理单调有界数列必收敛。注任何有界的数列必存在收敛的子数列。3柯西收敛准则数列XN收敛的充要条件是对于任意给定的正数，都存在正整数N，使得当M，NN时，有|XMXN|0,0,X,X0,OUX,有|FXFX|0FX11FX2,0,13FX00若函数FX在点X0处凹凸性相反，则点X0称为FX的拐点。拐点的必要条件FX00或FX0不存在。拐点的充要条件FX经过时变号。渐近线1垂直渐近线XA是垂直渐近线0LIMXA或0LIMXA网友FALWFNIDTF上传分享32斜渐近线FXAXB,LIM,LIMXXFXABFXAXX或LIM,LIMXXFXABFXAXX（水平渐近线为其特例）。函数作图的步骤1确定函数的定义域；2观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等；3判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；4确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表；5适当确定一些特殊点的函数值；6根据上面提供的数据，作图。第4章积分41不定积分411基本积分表1111LN|1LNSINCOSCOSSINTANLN|COS|COTLN|SIN|SECLN|SECTAN|CSCLN|CSCCOTLN|CSCCOTLN|TANXXXDXXCDXXCADXACXAXDXXCXDXXCXDXXCXDXXCXDXXXCXXDXXXCXXC2222|2SECTANCSCCOTTANSECSECCSCCOTCSC1ARCSINARCCOS11ARCTANARCCOT1CXDXXCXDXXCXXDXXCXXDXXCDXXCXCXDXXCXCX或或2222222222222222222222222111ARCTANARCSIN111LN|LN|2111LN|LN2ARCSIN222XXDXCDXCAXAAAAXAXDXCDXXXACAXAAXXAXADXCDXXXACXAAXAXAXAXAXDXAXCAXXADXXA22222222222222LN2LN22COSCOSSINSINSINCOSAXAXAXAXAXXACXAXADXXAXXACEEBXDXABXBBXCABEEBXDXABXBBXCAB不可积的几个初等函数2221SINCOSSINCOSLNXXXEXXXXX412换元积分法和分部积分法换元积分法1第一类换元积分法，即凑微分法，合并。2第二类换元积分法，拆分。分部积分法UXVXDXUXVXUXVXDX413有理函数和可化为有理函数的积分有理函数PXRXQX的积分可以归结为下列四种简单分式的积分（1）ADXXA；（2）ANDXXA；（3）2MXNDXXPXQ；（4）2MXNNDXXPXQ122222121232121NNNNDXXNIIXAANXAAN三角函数有理式的积分一般用万能代换TAN2XT，对于如下形式可以采用更灵活的代换对于积分22SIN,COSRXXDX，可令TANXT；对于积分SINCOSRXXDX，可令SINXT；对于积分COSSINRXXDX，可令COSXT，等等。某些可化为有理函数的积分1,NAXBRXDXCXD型积分，其中N1，其中ADBC。这里的关键问题是消去根号，可令AXBTCXD。22,RXAXBXCDX型积分,其中240BAC，A0。由于2222424BACBAXBXCAXAA，故此类型积分可以化为以下三种类型22,RUKUDX，可用三角替换SINUKT；22,RUUKDX，可用三角替换SECUKT；22,RUUKDX，可用三角替换TANUKT。121TANTAN1NNNNIXDXXIN倒代换2411XDXX，2411XDXX，由此还可以求出411DXX，241XDXX2211SINCOS,0SINCOSAXBXDXABAXBX解设11SINCOSSINCOSCOSSINAXBXAAXBXBAXBX，为此应有11AABBABAABB，解得11112222,AABBABBAABABAB，故11SINCOSSINCOSSINCOSSINCOSAXBXAXBXDXADXBDXAXBXAXBX11112222LN|SINCOS|AABBABBAXAXBXCABAB42定积分421可积条件可积的必要条件若函数FX在闭区间A,B上可积，则FX在A,B上有界。可积函数类闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。422定积分的计算1换元积分法BAFXDXFTTDX从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。2分部积分法|BBBAAAUXVXDXUXVXUXVXDX常见的积分和式11LIM1LIMNBANINBANIIBABAFXDXFANNIBABAFXDXFANN网友FALWFNIDTF上传分享41011LIMNNIIFFXDXNN22002002000SINCOSSIN2SINSINSINSIN2FXDXFXDXFXDXFXDXXFXDXFXDXFXDX222001SINCOS,NNNNNNIXDXXDXIIN使用分部积分法的常见题型被积函数的形式所用方法,SIN,COSXNNNPXEPXXPXX进行N次分部积分，每次均取,SIN,COSXEXX为VXLN,SIN,ARCTANNNNPXXPXARCXPXX取NPX为VXSIN,COSXXEXEX取XE为VX，进行两次分部积分423定积分的应用1平面图形的面积212DSFXDXYDYRD2旋转体的体积222DVFXDXYDYXFXDX3弧长、曲率弧微分公式222211DSDXDYFXDXYDY2222XTYTDTRRD曲率223/223/2|1DYTXTYTXTYKDSXTYTY4静矩、转动惯量MR,MR25122MMFGR引力均匀细杆质量为M，长度为L，在杆的延长线上离右端为A处有一质量为M的质点，则质点与细杆之间的引力为FKMM/AAL均匀圆环质量为M，半径为R，在圆心的正上方距离为B处有一质量为M的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为3222FKMMBRB均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。43广义积分广义积分审敛法1比较法FXKGX,K02比较法的极限形式LIMXFXKGX3柯西收敛准则|AAFXDX几个常见的广义积分,1,11,0,0,1,1,1,03,1,0LN,1,0KBPPAAXPPPDXDXAAXXAPDXAXEDXKXXP收敛收敛；发散发散收敛收敛；发散发散2011I114XIDXTXX2XEDX第5章无穷级数常数项级数敛散性的判定1若LIM0NNU，级数发散，等于零，需进一步判定。2若1NNU为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法一般项中含有N或N的乘积形式，采用比值判别法；一般项中含有以N为指数幂的因子，采用根值判别法；一般项中含有形如N（不一定是整数）的因子，采用比较判别法；利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；采用定义，部分和数列SN有上界。3若1NNU为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。求函数项级数的收敛域（1）比值法1LIM|1NNNUXUX；（2）根值法LIM1NNNUX。求幂级数的收敛域（1）比值法11LIM|LIM|1NNNNAUXAUX或；（2）根值法LIM|LIM1NNNNNNAUX或。常数项级数的求和1直接计算部分和SN，然后求极限；2利用相应的幂级数。幂级数的求和利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求和形式（即前面的麦克劳林公式）。求函数的幂级数展开式就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。傅立叶级数012COSSINNNNAFXANXBNX，1COS1SINNNAFXNXDXBFXNXDX狄利克雷充分条件0021002FXFXFXSXFFX，续点，间断点，几个重要的级数1几何级数11|1|1NNQAQQ当时收敛当时发散2P级数111N1PN当P时收敛当P时发散3211LN1PNPNNP当时收敛当时发散401NEN522116NN第6章微分方程1可分离变量方程DYGXHYDX2111222,DYYFXYDXXAXBYCDYFDXAXBYC齐次方程可化为可分离变量方程的方程可化为齐次方程的方程3一阶线性方程PXDXPXDXDYPXYQYYECQXEDXDX网友FALWFNIDTF上传分享54伯努利方程111DYDZPXYQXYYZPXZQXDXDX令5全微分方程特殊路径法，凑微分法6Y,X,DPYFXYPYYDXDPYFYYPYYYDY不含令可降阶的高阶方程不含令7121211221203YYUXYYYPYQXYYCYCYYPX已知二阶齐次线令，代入求出性微分二阶非齐次方程121122112212112211221,02,3YYUYUYYUXYXUXYXUUYQXYFXUYUYFXYCYCYY求出对应齐次方程的令求出8常系数线性微分方程二阶齐次YPXY0QXY特征方程的根微分方程的线性无关解微分方程的通解互异实根R1,R212,RXRXEE12RXRXYCECE二重实根R1R2R,RXRXEXE12RXCCXE共轭复根R1,2ICOS,SINXXEXEX12COSSINXECXCX二阶非齐次YPXYQXYFX（1）求对应齐次方程的Y1,Y2（2）0122XKMXMMYQXEXAAXAXEQXPQXPQQXPX令（3）1122YCYCYY9欧拉方程111111,111112NNNNNNKTKKKKTNXYPXYPXYPYFXDXEDXYDDDKYDTDDDNPDDDNPDYFE令则第7章向量代数与空间解析几何,XYZXYZXYZXYZXYZIJKAAAABAAAABCABCBBBBBBCCC叉积混合积平行六面体的体积000CZZ010AXXBYYXYZABCAXBYCZD点法式三点式混合积为零平面方程截距式一般式0000001111222200XXMTYYNTZZPTXXYYZZMNPAXBYCZDAXBYCZD参数式直线对称式方程一般式平面束方程111122220AXBYCZDAXBYCZD121212222222111222|COSSINAABBCCABCABC两平面夹角平面与直线的夹角两直线夹角点到直线的距离000222|AXBYCZDABC点到直线的距离10|PPSDS22222222222222222221120ZXZXZXPZABABXYZXYZRABCXXTYYTZZT绕轴旋转柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面球面椎面常见二旋转面次曲线2222222222222222222222222222COSSIN1,1,0012ZXXTYTYXTYTZZTXYZABXYZFXZFXYZABYXYZABXYPZXYZABC绕轴旋转旋转椭园面旋转双单叶曲面双叶旋转抛物面椭球面22222222222222211XYZXYZABABCXYZAB椭圆单双曲面抛物面双双曲第8章多元函数微分学复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量12,1,0,01,INIYFXYFXXXXFDUFGFXUVDXJXVGXUVDVFGDXJUXFXY由方程确定的隐函数隐函数微由方程组确分定的隐函数法1,1,0,01,1,UFGDUFGUVXJXVYJYVGXYUVVFGVFGXJUXYJUY00000,XTYTZTYXZXFGFGFGYZZXXY曲线的切线和法平面0000000,1,XYZXYFPFPFPFXYFXYYZZXXYUVUVUV曲面的切平面和法线二元函数泰勒公式10000000,KNNKHLHLXYXYFXHYLFXYFXHYLKN多元函数取极值的必要条件0000,0,0XYFXYFXY00002221,0,0210,0,0,20,0,30XYFXYFXYACBAAACBAACB多元函数正定,有极小值负定,有极大值取极值的不定,无极值充分条件,不能确定求条件极值，用拉格朗日数乘法0MINMAX,0,0,0XYFZFXYFXYFXYXYFXYXY或令有方向导数偏导数是函数在平行于坐标轴方向上的变化率，有时需要考虑函数沿某一指定方向的变化率，这种变化率就是方向导数。网友FALWFNIDTF上传分享6方向导数COSCOSCOSUUUULXYZ梯度,UUUXYZ第9章多元函数积分学91二重积分21211,2Y,3,BYXAYXDXYCXYDXIDXFXYDYIDYFXYDXXXUVIFXUYYUVIFXYD型区域型区域二重积分换元法令,|1,COS2COS,SINSINDDDVYUVJDUDVXUAIFUAVBDUDVYVBXRIFRRRDRDYR平移变换令极坐标变换令92三重积分,2,|,1,VVXXUVWYYUVWIFXUVWYZJDUDVDWZZUVWIFXYZDV1二套一，一套二换元令法平移三重积分2COS2SINSINCOS3SINSINSCOSVVXUAYVBIFDUDVDWZWCXRYRIFRDRDDZZZXRYRIFRZR令变换柱坐标令变换球坐标令变换2INSINCOS4SINSINSINCOSVVDRDDXARYBRIFABCRDRDDZCR椭球坐标令变换93重积分的应用22221,1,COS,2,3XYVVZDXDYFXYFXYDXDYEGFDUDVNZXXYZDVXXYZDVMRDJ曲面面积面积元素物体重心转动惯量对Z轴222,XYXYXYZDVXYDJZXYZDV对平面94曲线积分,LLABFXYZDSPDXQDYRDZPXTQYTRZTDT代入参数方程第一类代入弧微分公式第二类95曲面积分,SSDXYFXYZDSZZPDYDZQDZDXRDXDYPQRDXDYXY第一类代入面积元素第二类96格林公式01DLLDDLLQDXDYQDYXQPPDXQDYDXDYPXYDXDYPDXYQPIPDXQDYIIIIIDUPDXQDYIVIXYPDXQDY与路径无关不定积分法求的原函数2,3QPXY若特殊路径法凑微分法97高斯公式SVSVVSVSPDVPDYDZXPQRQPDYDZQDZDXRDXDYDVDVQDZDXXYZYRDVPDXDYZ98斯托克公式QQRR0R,LSLLSLSLPPPDXDZDXDYDXZYDYDZDZDXDXDYQPDXQDYRDZDXDXDYDZDYXYZXZPQRRDZDYDZDXDZYXIPDXQDYRDZIIIIIDUPDXQDYRDZQIVYZ与路径无关Q,PRPIZXXY99如何简化计算1选择积分顺序（二重积分，三重积分）2选择投影方向（第II类曲面积分）3利用对称性与奇偶性4换元5曲线和曲面积分，利用已有方程6利用几何或物理意义7利用三个公式线性代数第1章行列式11112222112200NNNNNNAAAAAAAAA上三角行列式下三角行列式12122211010NNNNNAAAAAAA次三角行列式000100MNAAABBBAALAPLACEABBB两种特殊的拉普拉斯展开式行列式的性质行列不变；行行变反；倍加行不变。范德蒙行列式三对角行列式网友FALWFNIDTF上传分享7123222212311111123011110NNIJJINNNNNNABCABXXXXCABXXXXXXCABXXXXCABCA12DNNNADBCD重要公式111NKKABABAAAAAACRAMER法则/JJXDD第2章矩阵21基本概念奇异矩阵，非奇异矩阵，零矩阵，同型矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，对角块矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵22矩阵的运算加法，数量乘法，乘法，转置，逆，伴随1111111111211TTTTTNNNTTABBAAAAAAAAIAABBAAAAAAAABBAAAAAAAA,1,10,2NRANRARANRAN2阶矩阵的伴随矩阵主对角线互换，副对角线变号23初等变换EICEIJCEIJ左乘是行变换，右乘是列变换1IIIJIJIJIJEECIECECIEEIC24分块矩阵同型对角块矩阵11112222CCNNNNDDCDCDCDCD1111111122212111AAAANNNNAAAAAAAA11111B00CDBDCBD25常见题型求方阵的幂1RA1；2ABC；3相似对角化，1NNAPP求逆矩阵公式法，分块矩阵法，初等变换法第3章线性方程组31N维向量线性组合，线性表出，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，极大线性无关组32矩阵的秩1矩阵的秩矩阵的行秩矩阵的列秩矩阵的非零主子式的最高阶数2初等变换不改变矩阵的秩MIN,RABRARBRABRARBA是MN矩阵，若AB0，则RARBN标准相抵型000RIPAQ同型等秩相抵33齐次方程组AX0判定有非零解RA0，就称XTAX为正定二次型，称A为正定矩阵。二次型正定的充要条件XTAX是正定二次型；A的正惯性指数为N，即AI；存在可逆矩阵P，使得APTP；A的特征值全大于0；A的顺序主子式全大于0必要条件1AII0；2|A|0。概率论与数理统计第1章概率论的基本概念11基本概念随机试验1可以重复；2总体明确；3单个未知。样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件12频率和概率在相同条件下，进行了N次试验，在这N次试验中，事件A发生的次数NA称为A发生的频数，比值NA/N称为A发生的频率，并记成FNA。对随机试验E的每一事件A都赋予一个实数，记为PA，称为时间A的概率。集合函数P满足下列条件非负性PA0；规范性P1；可列可加性PA1A2PA1PA2。当N时频率FNA在一定意义下接近于概率PA。121212111,NNNNNIIIJIJIIJNIAAAPAAAPAPAPAPABPAPBPABPAPABPBPBAPABCPAPBPCPABPACPBCPABCPAPAPAAPAA若互不相容则加广义的,法公式11211NKNIJKNAPAAA,BAPABPAPBPABPAPAB减法若公式任意的13等可能概型样本空间包含有限个元素。每个基本事件发生的可能性相同。具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。14条件概率设A、B是两个事件，且PA0，称PB|APABPA为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。乘法公式PABCPC|ABPB|APA全概率公式PAPA|B1PA|B2PA|BN贝叶斯公式1|PB|A|IINJJPABPAB15独立性设A、B是两个事件，如果满足等式PABPAPB，则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立PA|BPA|BPAPB|APB|APB第2章随机变量及其分布21随机变量设随机试验E的样本空间为SE，XXE是定义在样本空间S上的实值单值函数，称XXE为随机变量。随机变量的取值随随机试验的结果而定，在试验之前不能预知它取什么值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。22离散型随机变量及其分布律如果随机变量X全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称X为离散型随机变量。PXXKPK为X的分布律。几个常见分布01分布11,1,2KKPXKPPK二项分布11,0,1,2,KKKNPXKCPPKN泊松分布,0,1,2,KPXKEKK几何分布1,1,2,KPXKPQK超几何分布1212,0,1,2,KNKNNNNNCCPXKKNC23随机变量的分布函数设X是一个随机变量，X是任意实数，函数FXPXX称为X的分布函数。分布函数FX具有以下性质FX是一个不减函数0FX1，且F0,F1FX0FX，即FX是右连续的24连续型随机变量及其概率密度如果对于随机变量X的分布函数FX，存在非负函数FX，使得对于任意实数X，均有XFXFTDT则称X为连续型随机变量，其中函数FX称为X的概率密度函数，简称概率密度。概率密度FX具有以下性质FX01FXDX；211221XXPXXXFXFXFXDX；若FX在点X处连续，则有FXFX。几个常见分布均匀分布0,1,0,1,XAAXBXAFXFXAXBBABAXB其他，记为XUA,B网友FALWFNIDTF上传分享9指数分布,01,0,0,0,XXEXEXFXFX其他其他指数分布和几何分布具有“无记忆性”正态分布22212XFXX，记为XN,2。特别地，当0,1时，称X服从标准正态分布。正态分布具有以下性质1若2,0,1XXNN则2XFX3X1X4若222,XNAXBNABA则25随机变量函数的分布求随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布列举法逐点求出Y的值，概率不变，相同值合并连续型随机变量函数的分布1分布函数法YGXYFYPYYPGXYFXDX2公式法如果YGX处处可导且恒有GX0GX0时XY1，当A0，有1111LIM|1NNIINIIPXEXNN切比雪夫不等式22|PX伯努力大数定律设随机变量X1,X2,XN相互独立且都服从参数为P的01分布，则对于任意实数0，有11LIM|1LIM|1NAINNINPXPPPNN，即辛钦大数定律设随机变量X1,X2,XN相互独立,服从统一分布，且具有共同的数学期望，则对于任意实数0，有11LIM|1XNPINIPXN，即52中心极限定理列维林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）设随机变量X1,X2,XN相互独立，服从同一分布，且具有共同的期望和方差，则10,10,1/NKKXNXNNNN近似地近似地，即李雅普诺夫LIAPUNOV定理设随机变量X1,X2,XN相互独立，他们具有数学期望和方差22212112,1,2,1|00,1KKKKNNKKNNKKKKKKNNEXDXKNBNXEXNBB近似地记，若存在正数，使得当时，则棣莫弗拉普拉斯DEMOIVRELAPLACE定理（二项分布以正态分布为极限）LIMNXNPPXXNPQ第6章数理统计的基本概念61随机样本随机试验全部可能的观察值称为总体。每一个可能观察值称为个体。一个总体对应于一个随机变量X，一般不区分总体与相应随机变量，笼统称为总体X。被抽取的部分个体叫做总体的一个样本。来自总体X的N个相互独立且与总体同分布的随机变量称为简单随机变量。62抽样分布设X1,X2,XN是来自总体X的一个样本，GX1,X2,XN是一个连续函数，若G中不含未知参数，则称GX1,X2,XN是一个统计量。常用的统计量样本均值11NIIXXN样本方差211NIIXXXN样本K阶