[初二数学]新人教八年级下册勾股定理

,你听说过勾股定理吗？,这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”,这就是本届大会会徽的图案,勾,股,弦,在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫勾，长的直角边叫股，斜边叫做弦。,导入新课：,勾股定理,姓名：,相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系,我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？,情景问题,1.你能发现图中的三个正方形的面积之间有什么联系吗？,2.你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗?,3.你能发现图中的直角三角形三边长度之间存在什么关系吗?,探索勾股定理,观察图1-1，回答问题：,1.正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积.,2.B的面积是 个单位面积. C的面积是 个单位面积.,图1-1,图1-2,好奇是人的本性!,9,9,9,探索勾股定理,观察图1-1，回答问题：,图1-1,图1-2,好奇是人的本性!,（图中每个小方格代表一个单位面积）,（单位面积）,探索勾股定理,观察图1-1，回答问题：,图1-1,图1-2,好奇是人的本性!,（图中每个小方格代表一个单位面积）,（单位面积）,把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半,探索勾股定理,观察图1-1，回答问题：,1.正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积.,2.B的面积是 个单位面积. C的面积是 个单位面积.,图1-1,图1-2,好奇是人的本性!,9,9,18,9,探索勾股定理,观察图1-2，回答问题：,1.正方形A中含有 个小方格,即A的面积是 个单位面积.,2.B的面积是 个单位面积. C的面积是 个单位面积.,图1-1,图1-2,好奇是人的本性!,4,4,4,8,数学家毕达哥拉斯的发现：,正方形A、B、C的面积有什么关系？,A的面积+ B的面积= C的面积,SA+SB=SC,直角三角形三边有什么关系？,SA+SB=SC,设：等腰直角三角形的三边长分别是a、b、c,猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？,A的面积+ B的面积= C的面积,a2+b2=c2,对于等腰直角三角形有这样的性质：,那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？,归纳：,两直角边的平方和等于斜边的平方,思考,2观察右边两个图并填写下表：,16,9,25,4,9,13,你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流,做一做,图1-3,图1-4,在图1-3中,在图1-4中,图1-3,图1-4,在图1-3中,在图1-4中,3三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？,SA+SB=SC,即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积,议一议,在一般直角三角形中，它的三边长之间有何关系？,想一想,a,c,b,SA+SB=SC,设：直角三角形的三边长分别是a、b、c,a2+b2=c2,两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积,a2+b2=c2,a,c,b,如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边长是c，那么a2+b2=c2。,勾,股,弦,命题1：,赵爽的“弦图”,早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用左边的图形验证了“勾股定理”。 在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.,思考:你能验证吗？,利用拼图来验证勾股定理：,1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；,2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看,3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正方形？,4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？,(4),(3),(2),(1),(a-b)2,(a-b)2,=,a2+b22ab = c22ab,b,c,a,想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？,证法一,=2ab+b2-2ab+a2,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为,c2,4 +(b- a)2, 4 +(b-a)2, (a+b)2 = c2 + 4ab/2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为,(a+b)2,证法二,在1876年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景,他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着,突然发现附近的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而大声争论,时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方，一定等于5的平方加上7的平方”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。,证 法 3,(a + b)(b + a)= a2 +a2 + b2=c2,a,a,b,b,c,c,伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。,c2,+ 2( ),+ ab,+ b2,=,c2,ab,ab, a2 + b2 = c2,a2,b2,a2,c2,毕达哥拉斯证法,证 法 4：,定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。,勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为 、，斜边为，那么2+b2=c2。,如图，在RtABC中，C= 90，则 2+b2=c2,A,B,C,股b,勾 a,弦c,练习：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积,=625,=144,2、求出下列直角三角形中未知边的长度,解：由勾股定理得：,x2 =36+64,x2 =100,x2=62+82, x=10, x2+52=132, x2=132-52,x2 =169-25,x2 =144, x=12, x 0, x 0,3、一高为2.5米的木梯,架在高为2米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少米?,A,B,C,1、写出勾股定理。 2、直角ABC的两条直角边a=3, b=4，求斜边c。,5,解： C90 BC2 + AC2 = AB2 又AC=2 米 AB=2.5米 BC= AB2AC2 =1.5米,1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=_ 2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( )。、已知：C90，a=6， a：b3：4，求b和c。,13,c=10 b=8,24,比一比,、本节课我们经历了怎样的过程？,经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。,、本节课我们学到了什么？,通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想。,小结,、学了本节课后我们有什么感想？,很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。,谢谢,例1、已知ABC中, C= Rt, BC= a , AC= b , AB=c已知: a=1, b=2, 求 c;已知: a =15 , c =17, 求 b; 已知: a = ,b= , 求 c;(4)已知:c=34 , a : b = 8 : 15,求 a ,b.,2如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。,49,C,3、 如图所示是一个长方形零件的平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B之间的距离.(单位:毫米),以直角三角形三边为边作等边三角形,这3个等边三角形的面积之间有什么关系？, 议一议,小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？,售货员没搞错,议一议,荧屏对角线大约为74厘米,46,58,竞技场！,1) 在直角三角形中，两条直角边分别为a,b, 斜边为c，则c2=_,a2+b2,2) 在RTABC中C=90,若a=4,b=3,则c=_ 若c=13,b=5,则a=_ 若 c=17,a=8,则b=_,5,12,15,一 填空题：,活动4、基础巩固,（3 ） 等边三角形的边长为12，则它的高为_,（4) 在直角三角形中,如果有两边 为3,4,那么另一边为_,5或,一个长方形的长是宽的2 倍，其对角线的长是5，那么它的宽是（ ） A B C D ,二 选择题：,如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ）A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5,如图，在RTABC中，C=90,B=45,AC=1,则AB=( ) A 2, B 1, C , D,A,C,B,A,B,C,（4）、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ） A、600米 B、800米 C、1000米 D、不能确定,（5）、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ）A、6厘米 B、 8厘米 C、 80