北京市朝阳区2012届高三上学期数学（文）期末考试习题

北京市朝阳区 2012 届高三上学期期末考试试题数学（文） 2012.1（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合 2|3,|log1MxNx，则 MN等于 （ ）A B 32|xC 0| D2.已知平面向量 (3,1)a， (,3)xb，且 a b，则实数 的值为 （ ）A 9 B C 1 D 93. 函数 )0(12xy的图象大致是 （ ）4. 设数列 na是公差不为 0 的等差数列， 1a且 136,a成等比数列，则 na的前 项和 nS等于 （ ）A 278B274nC234nD 25.执行如图所示的程序框图，输出的 S值为（ ）A 1 B C D 0 6. 函数 2()xfa的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 a的取值范围是（ ）A 1,3 B (1,) C 03 D (0,2)7. 已知函数 ()sin3cosfxx，设 ()7af， )6bf， 3cf，则 ,abc的大小关系是 （ ）A. abc B. ab C. c D. a 8. 已知集合 (,)|,AxynZ, (,)|,Bxym231, Z.若存在实数 ,使得 B成立,称点 (,)为“”点，则“”点在平面区域2()|108Cxy内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9. 若变量 x， y满足约束条件1,236,xy则 2zxy的最大值为 . 10. 已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取 0辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间 60,7)上的汽车大约有 辆.11. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何 体的体积是 .主视图俯视图32222侧视图时速（km/h）0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j010 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j020 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j030 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j04组距40 50 60 70 80频率O12. 设直线 10xmy与圆 22(1)()4xy相交于 A， B两点，且弦 A的长为 23，则实数的值是 . 13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y（万元）与机器运转时间 x（年数， N）的关系为 2185yx.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数 ,ab,可按规则 cab扩充为一个新数 c,在 ab三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若 ,3,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若 0pq，经过 6 次操作后扩充所得的数为 (1)mnqp（ ,为正整数） ，则 ,mn的值分别为_. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本题满分 13 分）在锐角三角形 ABC中， a， b， c分别为内角 A， B， C所对的边，且满足 32sin0abA（）求角 的大小；（）若 7b， 2c，求的值16. （本题满分 14 分）如图，在四棱锥 SABCD中，平面 SA平面 BCD四边形 ABC为正方形，且 P 为 AD的中点， Q为 SB的中点（）求证： CD平面 SA；（）求证： /P平面 ；（）若 S， M为 B中点，在棱 SC上是否存在点 N， 使得平面 N平面 A，并证明你的结论.17. （本题满分 13 分）如图，一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头 A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动） ，且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派 一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为 (,)ab（假设儿童 和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动） （）请列出一个家庭得分 (,)ab的所有情况；（）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数 之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品请问一个家庭获奖的概率为多少？18. （本题满分 13 分）55323 2AMSDBCAPQ设函数2()ln,Raxfx.（）当 1a时,试求函数 ()f在区间 1,e上的最大值 ;（）当 0时,试求函数 x的单调区间.19. （本题满分 13 分）已知椭圆2:1(0)xyCab的离心率为 12，且过点 3(1,)2P， F为其右焦点.（）求椭圆 的方程； （）设过点 (4,0)A的直线 l与椭圆相交于 M、 N两点（ 点 在 ,AN两点之间） ，若 AMF 与MFN的面积相等，试求直线 l的方程.20. （本题满分 14 分）数列 na， b（ 1,23 ）由下列条件确定： 10,ab；当 2k时， ka与 b满足：当 01k时， 1ka, 1kb；当 1k时， 1ka， 1k.（）若 1a， 1b，求 2， 3， 4，并猜想数列 na的通项公式（不需要证明） ；（）在数列 n中，若 sb ( ,且 *N)，试用 1,b表示 k， ,21s；（）在（）的条件下，设数列 nc)满足 21c， 0n， 1mnncca(其中m为给定的不小于 2 的整数)，求证：当 m时，恒有 n.参考答案 2012.1一、选择题：题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）答案 D B B A D C B A二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案13注：若有两空，则第一个空 3 分，第二个空 2 分.三、解答题：（15） （本小题满分 13 分）解：（）由 32sin0abA， 根据正弦定理得： siniB.3 分因为 0，所以 23sin. 5 分又 为锐角， 则 . 6 分（）由（）可知， 3B因为 7b， 2c，根据余弦定理，得 274os3a， 8 分整理，得 20a由于 ，得 a 10 分于是297cos14bcA， 11 分所以 7coss214BCAb 13 分（16） （本小题满分 14 分）证明：（）因为四边形 ABCD为正方形，则 CDA. 1 分又平面 SAD平面 ，且面 面 ，所以 CD平面 SA. 3 分（）取 SC 的中点 R，连 QR, DR由题意知：PD BC 且 PD= 12BC4 分在 SBC中， Q为 S的中点，R 为 SC 的中点，所以 QRBC 且 QR= 12BC所以 QRPD 且 QR=PD，则四边形 PDR为平行四边形. 7 分所以 PQDR.又 PQ平面 SCD，DR 平面 SCD， 所以 PQ平面 SCD 10 分（）存在点 N为 SC中点，使得平面 DMN平面 ABC 11 分连接 PD、交于点 O，连接 P、 S，因为 /，并且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 O.又因为 N为 SC中点，所以 /OP12 分因为平面 AD平面 B，平面 SAD平面 BC= AD，并且 SPA，所以 S平面 ，所以 N平面 C， 13 分又因为 O平面 M，所以平面 D平面 AB14 分（17） （本小题满分 13 分）解：（）由题意可知，一个家庭的得分情况共有 9 种，分别为 (2,)3,(5),2，(3,)5,(3),2(5) 7 分（）记事件 A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2,)， 3,(5),3(,)共 5 种， 11 分所以 9PMSDBCAPQR(N)O所以一个家庭获奖的概率为 59 13 分（18） （本小题满分 13 分）解: （）函数 ()fx的定义域为 (0,). 1 分当 1a时,2lnfx，因为21(1)()0xfx， 3 分所以函数 ()fx在区间 1,e上单调递增，则当 =e时,函数 ()f取得最大值 2ef. 5 分（）2()axf. 6 分当 0时,因为 ()0f，所以函数 ()fx在区间 (0,)上单调递减；7 分当 a时，当 24a时，即 1时， f，所以函数 ()fx在区间 (0,)上单调递增； 9 分当 240时，即 时，由 ()0fx解得， 10ax，或21ax. 10 分由 ()f解得22aa； 11 分所以当 01时，函数 ()fx在区间21(0,)上单调递增；在22(,)a上单调递减，2(,)a单调递增. 13 分（19） （本小题满分 13 分）解：（）因为 12ca，所以 c， 3b. 1 分设椭圆方程为 43xyc，又点 (1,)2P在椭圆上,所以 2134c，解得 21， 3 分所以椭圆方程为2143xy. 4 分（）易知直线 l的斜率存在, 设 l的方程为 ()ykx， 5 分由 2(4),13x消去 整理，得222(4)640kxk， 6 分由题意知 2()(3)1)0k，解得 12k. 7 分设 1(,)Mxy， 2(,)Ny， 则21234kx， ， 21643kx. .因为 AF 与 的面积相等，所以 ，所以 12x. 10 分由消去 2x得 12463k. 将 21代入得2141()3kx. 将代入222466()3kkk，整理化简得 25，解得 56，经检验成立. 12 分所以直线 l的方程为 (4)yx. 13 分（20） （本小题满分 14 分）（）解：因为 01ba，所以 12a, 021ba. 1 分因为 012ba,则 2123ba, 320b. 2 分3342. 3 分猜想当 n时，222 211nnn na. 则 21,.nna4 分（）解：当 sk时，假设 10ka