研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

.函数与极限,1,研究生教学丛书矩阵理论,苏育才 姜翠波 张跃辉编科学出版社,.函数与极限,2,第一章 矩阵,1.1矩阵的概念1.2矩阵的秩1.3矩阵的初等变换1.3.1初等变换的标准形1.3.2Hermite标准形1.4分块矩阵,.函数与极限,3,1.1 矩阵的概念,【定义1.1.1】 设,矩阵,的转置矩阵,则,是一个,矩阵，而且,的,处的值为,特别地，当,时，则称,为对称矩阵；,当,时，则称,为反对称矩阵。,.函数与极限,4,【定义1.1.2 】 两个,矩阵,和,的和,是一个,矩,阵，其中,【定义1.1.3 】 复数,和,矩阵,纯量积（或数量积，或数乘）,是一个,矩阵,其中,纯量积有下列性质：设,是复数，,和,.函数与极限,5,都是,矩阵，则,当且仅当,或,（A1),（A4),（A3),（A2),.函数与极限,6,【定义1.1.4 】 一个,矩阵,的乘积是一个,矩阵,一个,其中,矩阵,矩阵的乘法有下述性质：,（M1)结合律：,与,.函数与极限,7,（M2)加乘分配律：,（M3)数乘分配律：,（M4)数乘分配律：单位元：,阶方阵,或,称为单位矩阵，它的对角元均是1，其余元,素均是0.,对于,矩阵,有,.函数与极限,8,与复数乘法不同，矩阵乘法一般来说是不可交换的，并且非零矩阵的乘积可以等于零矩阵。例如：,矩阵的转置也可以看成是矩阵的一种运算，它和其余运算的关系如下：,(1),(2),(3),.函数与极限,9,阶方阵的运算中，使用下述,个特殊矩阵,常常是方便的，其中,在,是第i行第j列元素为1，,其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意,矩阵,均能唯一地表示成：,对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：,其中,是Kronecker符号，即当,时，,.函数与极限,10,时，,例【习题1，3】证明：与任意,而当,阶方阵可交换的,的矩阵必是纯量矩阵,证明：设,阶方阵,与任意,是,阶方阵,处元素为1，其余元素为 0,可交换，,处元素为1的,阶方阵。则由,.函数与极限,11,可得：,对一切的,都成立。由此得：,那么,当,由于,时，,.函数与极限,12,所以,.函数与极限,13,设,是,矩阵，分列以,表示,的第,则有,若令,则有：,这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩,阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量,的对应系数。,列和第,行，,.函数与极限,14,这就是说，一个行向量左乘一个矩阵，其结果是,将该矩阵的行进行线性组合，组合系数即是该行向量,的对应元素。,设,则,（1）矩阵C的第j列是A的列向量的线性组合，组合,系数恰为B的第j列的相应元素。,（2）矩阵C的第i行是B的行向量的线性组合，组合,系数恰为A的第i行的相应元素。,.函数与极限,15,齐次线性方程组 Ax=0 有非零解当且仅当A的列,向量组线性相关，有唯一解（即零解）当且仅当A,的列向量组线性无关。,与一个 n 阶方阵,密切相关的数，当属,其行列式,或,它具有性质：,另一个与n 阶方阵,密切相关的数是它,.函数与极限,16,的迹,不难证明迹的下列,（1）设,和,均为同阶方阵，则,（2）设,是数，,是方阵，则,基本性质：,.函数与极限,17,（4）,（5）,若,为实矩阵，则,（3） 设,和,分别为,型和,型矩阵，则,.函数与极限,18,1.2 矩阵的秩,【定义1.2.1 】 在,矩阵,行,取,位于这,行,的元素按原矩阵,阶子式。特别地，当,阶行列式称为矩阵的,中的相对位置排成的,列，,列交叉处,为,阶方阵时，在,中划去这,中，任,.函数与极限,19,例：在四阶矩阵,中选定第一、三行，第二、四列得到一个二阶子式,阶行列式称为原来,行,阶子式的余子式。,列后余下的元素按照原来的次序组成的,.函数与极限,20,的余子式为,设,阶方阵,的,阶子式,在,中所在的行、列指标分别是,则,的余子式前面加上符,号,后称做,的代,数余子式。,.函数与极限,21,【拉普拉斯定理 】,个行，由这,为,阶方阵，在,的行列式。,中任意取,行元素所组成的一切,阶子式与它们的代数,余子式的乘积之和等于,设,取定了,.函数与极限,22,【定义1.2.2 】 矩阵,的所有不为零的子式的最,的行数（列数）时，称,高阶数称为矩阵,的秩，记为,矩阵,的子式都等于零。,不等于零，且所有超过,当且仅当（至少）存在一个,的秩为,当,等于,是行（列）满秩的。一般地，将行列式不为零的方,阵称为是满秩的，非奇异的或非退化的，而将行列,式等于零的矩阵称为是降秩的，退化的或奇异的。,.函数与极限,23,情形1：,矩阵，则,分别是,的,和,子矩阵，则,是,矩阵，,证明：先证不等式（2），先证两种特殊情形：,【定理1.2.1 】 (1) 设,是,是,(2) 设,的,子矩阵，,.函数与极限,24,我们要证：,即要证,情形2：,这时,型矩阵,的,子矩阵，应用情形1，,是,对于一般的情形，设,是,从而有,的,可得：,.函数与极限,25,子矩阵，它由,所在的,行确定。把,的子矩阵，应用情形2，可得：,应用情形1，又得,看成,存在可逆矩,阶矩阵，使得：,由这两个不等式,便可得所要证明的不等式（2）。,阵,它们分别为,记,.函数与极限,26,令,其中,并将其分块成,.函数与极限,27,其中,分别为,型矩阵.则,这正是所要证明的不等式。最后证明不等式：,.函数与极限,28,由于,的每一列都是,的列向量组的线性,组合，根据行列式的性质知，,的任一,阶子式都是,一些,阶子式的线性组合，,因此为零，即,据此可得：,又由于，,最后得到：,.函数与极限,29,对于任意,或,阶矩阵,它的,表示元素,的代数余子式，,处的值为,的余子式，,的伴随矩阵记为,用,称为,则有关系式：,.函数与极限,30,当,此时称,阶矩阵,时，则有,阶方阵,称为,是存在,使得,非奇异的为充要条件,的逆矩阵，,将满足定理1.2.2的方阵,【定理1.2.2 】,为可逆矩阵。,若,可逆，则其矩阵,.函数与极限,31,是唯一的，记为,逆矩阵具有下述性质:,(1),故有,(2),(3),(5),(4),.函数与极限,32,是,证明：,阶可逆方阵，,矩阵，,是,是,阶可逆方阵，则,即可逆矩阵作乘法不改变矩阵的秩。,【定理1.2.3】 设,同理可证另一,个等式：,.函数与极限,33,1.3 矩阵的初等变换,1.3.1 初等变换的标准形,当,用公式,【定义1.3.1】 对单位矩阵施行一次行或列的初等变换,要发展其他工具，这就是初等变换。,求逆矩阵工作量过大，以致没有实用价值，所以需,时，,所得到的矩阵称为初等矩阵。,.函数与极限,34,是可逆矩阵当且仅当,行初等变换化为单位矩阵，也可以只经过初等变换,对该矩阵施行初等行变换；矩阵右乘一个初等矩阵，,是初,等矩阵的乘积。特别地，任意可逆方阵可以只经过,相当于对该矩阵施行初等列变换。,【命题1.3.1 】（1）矩阵左乘一个初等矩阵，相当于,化为单位矩阵。,（2）施行初等变换不改变矩阵的秩；,（3）方阵,.函数与极限,35,例: 利用初等变换求,及,其中,提示：将,经过一系列初等行变换化为：,时，则有：,而将,经过一系列初等列变换化为：,则有：,时，则有,.函数与极限,36,和,矩阵间的“等价关系”具有性质：（1）反身性；,如果存在可逆矩阵,矩阵,则,的秩是,是等价的,使得：,【定义1.3.2】 称两个同型矩阵,等价于矩阵,和,（2）对称性；（3）传递性。,【定理1.3.1】 设,.函数与极限,37,（1）它的非零行出现在前,标准形：,同的秩。,矩阵，如,梯形阵，,或,果它满足以下条件便称它为,行，且每个非零,【定理1.3.2 】 两个同型矩阵等价当且仅当它们具,行的第一个非零元为1；,（2）每一个非零行的第一个非零元1出现的位置,的,【定义1.3.3 】 一个 秩为,必须在前一行的第一个非零元1出现的位置的右边；,.函数与极限,38,（3）每一个非零行的第一个非零元1所在的列的,换化为,行的第一个非零元出现在第,标准形。,其它位置的元素为零，即在第,列，,列上，除了第,即若设第,行外，其余的元素皆为零。,【定理1.3.3 】 任一个矩阵都可经过一系列行初等变,则,.函数与极限,39,1.4 分块矩阵,在具体对较高阶矩阵作代数运算时，往往将矩阵,进行分块的方式是用水平线和垂直线把矩阵分割,分成若干小块以降低工作量。一旦对矩阵作了合适的,块，在进行代数运算时，就可以把每一小块看成是一,（1）分块矩阵的加法；,个元素，再进行同样的代数运算。,成若干长方形的小块。本节涉及的内容有：,（2）纯量乘分块矩阵；,（3）分块矩阵的乘法。,.函数与极限,40,证明：,可逆矩阵，,是,分别是,矩阵，证明下列行列式的降阶计算公式：,例习题1，8 设,.函数与极限,41,又由于,将上式两边取行列式，可得：,所以有,.函数与极限,42,证明：,分别是,矩阵，证明下列行列式的降阶计算公式：,【习题1】6 证明：对任,.函数与极限,43,第二章 线性空间与线性变换,2.1 线性空间的定义2.2 线性子空间2.3 线性变换2.4 不变子空间和导子算子,.函数与极限,44,2.1 线性空间的定义,【定义2.1.1】 数域,上的线性空间,非空集合,是指一个,上定义,其元素称为向量，并且在,了向量的加法（记为“+”）与纯量乘法 （简称为,数乘，记为“”，常常略去）两种运算，使得这,些运算满足下述条件：,（A1) 加法的结合律：对任意,.函数与极限,45,有,（B1)数乘的结合律：设,（B2)数乘关于向量加法的分配律：设,存在一,对任意,（A4) 存在负向量：对任意,个向量，记为,使得,（A2) 加法的交换律：对任意,（A3) 存在零向量,.函数与极限,46,时，,称为实空,（B3)数乘关于数量加法的分配律：设,有,有,（B4)对任意, 特别地，当,或,有,或复空间。一般地，除非必要，我们略去数域,而将,中的元素笼统的称为“数”。,【例2.1.1 】任何一元集合,也构成数域,上的线性空间，只要规定,就是0向量。,.函数与极限,47,阶方,上的多项式全体,阵,按照矩阵的加法与数乘构成,上的一个线性空间。,按照多项,式的加法以及数与多项式的乘法构成一个线性空间。,间，其中向量加法与数乘就是数的加法与数的乘法。,矩阵,上的全体,【例2.1.2 】任何数域本身构成它自身上的一个线性空,上的一个线性空间；,构成,这是最重要的线性空间之一。特别，全体,【例2.1.3 】数域,【例2.1.4 】数域,.函数与极限,48,或,时，线性空间,际上，这两个具体的几何对象（尤其是,是大家所熟悉的空间解析几何中的平面或空间，而,是一般线性空间的原型。,维向量全体，即,其中向量的加法与,属数域,上的,数乘均是按照分量进行的。特别地，当,【例2.1.5 】另一类最重要或最具一般性的线性空间当,）就,或,而,就,其中的向量不过是坐标表示下的自由向量而已。实,.函数与极限,49,个向量,中任意,如果存在,使得,（2）任意向量的负向量是唯一的；,（1）零向量是唯一的；,【定义2.1.2】对线性空间,（3）,由线性空间的定义可以直接得到一些简单的性质：,个不全为零的数,或,（4）,.函数与极限,50,是线性无关的。,中的向量组：,线性无关,如果存在,【命题2.1.1】（1）线性空间,则称,是线性相关的，否则，称,使得,个数,则必有,（2）线性空间的任意向量组中，如果有一部,分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；等,价地，线性空间的任意线性无关的向量组的任何,.函数与极限,51,的向量,的线性组合（或线性表示），,称为,【定义2.1.3】线性空间,一部分向量是线性无关的。,使得,个向,个数,向量,如果存在,【定理2.1.1】线性空间,的向量组,线性相关的充要条件是存在向量,使得它是其余,个向量的线性组合。,【定义2.1.4】如果在线性空间,中存在,个线性,.函数与极限,52,使得,是线性空间,中任意向量,和它们线性相关，则称,无关的向量,称为基向量，整数,称为,的一组基，向量,是,称为,维线性空间，,向量组,的维数，记作,相关，则向量,或,【引理2.1.1】设,的,一组线性无关的向量，而,线性,可唯一地表示为如下线性组合：,.函数与极限,53,称为向量,关于基,的坐标，,量必线性相关。,个向,中任意向量,均可唯一地,的一组基，则,个坐标或分量。,是,维线性空间,元,由组合系数,维线性空间中任意,确定的,【推论2.1.1】设,或,数组,称为第,表示为线性组合：,【定理2.1.2】,利用“,未知数,个方程的齐次线性,方程组一定有非零解。”加以证明。,.函数与极限,54,证明：设,个,是线性空间,们证明，存在向量,定理自然成立。故设,性相关，所以,中,关的向量均构成一组基。,个,个线性无,维线性空间中任意,个线性,无关的向量均能扩充成一组基。,维线性空间,若,【推论2.1.2】,我,维向量必线,由于,线性无关的向量。,【定理2.1.3】,中任意,使得,线性无关。如此即可使用归纳法证得定理。假设,.函数与极限,55,相关，那么,向量组,对任意向量,线性,便是,而,产生矛盾。,的一组基，从,.函数与极限,56,2.2 线性子空间,【定义2.1.1】 设,本身关于,是数域,是,上的,维线性空间，,的一个非空子集。如果,的向量加法与数乘作成一个线性空间，则称,是,的一个（在,2.21 子空间、子空间的直和,上的）线性子空间或子空间。,任何非零线性空间都至少有两个子空间，即0与,它自身，称为平凡子空间。其余的子空间称为真,子空间。,.函数与极限,57,【定理2.1.1】 设,对任意,是数域,（1）传递性：若,上的线性空间,是子空间,的一个非空子集。则,有,也是,是,线性子空间具有下述性质：,的子空间，则,是,的子空间，,子空间。,（2 ）任意多个（可以无限）子空间的交集仍,是子空间，称为这些子空间的交；特别，两个,子空间,和,的交,仍是子空间。,.函数与极限,58,生成（或张成）的子空间，,是线性空间,（3）有限个子空间的和：设,的子空间，则集合,的最小子空间为由,为,或,也是线性子空间，称为,是线性空间，,的和，记,称,的包含,记为,显然，当,设,时，,是零维子空间；若,或,是一元集，且,.函数与极限,59,是一维子空间；若,【例2.2.2】设,则,式组成的实线性空间，,是所有次数小于,是有限集，则记,的实系数多项,则,此时有,为，对任意给定,这是因,.函数与极限,60,.函数与极限,61,不是子空间，这是因为,.函数与极限,62,而,易知：,的一组基为：,因而,的一组基为：,因而,.函数与极限,63,【定理2.2.2】 (维数定理） 设,是,的基。设,是,是线性空间，,的公共子空间，因,的两个子空间。则,和,是,此可以扩充成,和,由于,证题思路：设,任取,的一组基：,和,的一组基，,是,的一组基。,去证：,是线性空间,的一组基。,.函数与极限,64,【定理2.2.3】 设,（4）,是唯一的，即若还有,是线性空间,空间，则下列命题等价：,的两个子,（3）零向量的分解式唯一，即若,）；,分解式,和,（2）,是直和（即,（1）,对任意,则,则,其中,.函数与极限,65,【定理2.2.4】 设,（3）任意向量,是线性空间,的子空间，则下列命题等价：,（4）零向量的分解式唯一。,（2）,是直和，即,（1）,的分解式唯一。,.函数与极限,66,是线性空间，,通常将定理2.2.4（3）作为直和的定义。,的子空间，则存在另,一个子空间,使得,设,是,(此仅需将,的一组基扩充,的一组基即可，新扩充的部分生,成的子空间即是,）,称为,的补子空间。显,然,的补子空间一般不是唯一的。,.函数与极限,67,一般地，我们需要特别关注和数域,相关的四个重要子空间,2.2.2 与矩阵,矩阵,（1）,相关联的下列四个子空间：,一个,上与,的零化空间,的解空间。,组,即齐次线性方程,（2）,的列空间（或象空间、值域）,即,的列向量生成的子空间。,（3）,的行空间,即,的行向量生成,的子空间。,（4）,左零化空间,即线性方程组,或,.函数与极限,68,是,注,与,是,的子空间，而,与,【命题2.2.1】设,（1）,实矩阵。则,使得,（2）,是,与,互补；,互补。,故,则存在,与,设,（实际上第三章将证明它们还是正交的。）,证明：,的子空间。,又有,因此,.函数与极限,69,互补，且有,可知，,又由于,与,与,若令,则有,故,互补。,用,由此得：,替换,因此,.函数与极限,70,【引理2.2.1】 对一个矩阵施行行的初等变换，并不,（2）同时，也得到了,故可先将,等价于,改变列向量组的线性关系。,的线性无关的列（从,化为,（1）首先，计算,即可（这时,四个子空间的计算方法如下：,标准形,）。,等价于解齐次线性方程组,的列向量组的线性无关性得知,的列向量组的,线性无关性），从而可计算出,（3）其次，,的行是,的行的线性组合，于是,的行空间,等于,.函数与极限,71,【遗憾的是】,行均为零。,即,于是根据矩阵乘法,的左零化空间不能同时得出，为,的向量结构知，矩阵,设,可逆矩阵,则,此尚需记录将,标准形,线性方程组,的最后,行是齐次,的线性无关解，因此它们,生成的线性空间,的最后,恰好是,时的,化为,的左零化空间,.函数与极限,72,【例2.2.6】 设,标准形，,子空间。,求,解：将,并记录相应,的可逆矩阵,化成,的四个相关,.函数与极限,73,的秩,即,从而矩阵,由此得,而,的前两,列线性无关，所以,的前两列也线性无关，即,.函数与极限,74,.函数与极限,75,2.3 线性变换,到实数域,实数域,线性变换可以看成线性函数的推广。试考虑,（T2),（T1),的满足下列条件的函数：,即是某正比例函数或线性函数。,其中,2.31 线性变换的定义和例子,得,由后一条件可得，对任意,令,.函数与极限,76,自然要问：如果将,到自身内,的满足条件 (T1)与（T2)的一般对应或映射而已。,【例2.3.2】考察定义在,件（T1)与（T2)的对应是否存在呢？,变为,数的集合,情况？此时“函数”概念已不复存在，但满足条,从另一个角度看，该函数不过是从,上的全体无限次可微函,会发生什么,则,（这是一个无限维实线性空间）。,.函数与极限,77,【定义2.3.1】 设,维线性空间。,与,分别是数域,到,（2）,上的,（1）,维与,内的一个映射,如果满足下面两个条件：,其中,则称,是,到,的线性变换（linear transformation)或线性,映射（linear map).,到自身的线性变换称为,线性算子（在不致混淆的情况下，可以不区分,.函数与极限,78,作为映射是单的（或满的）时，称,这两个名词），,称为是同构的线性空间。,到,如果存在同构,的线性变换全体记,设,为,特别，将,是单,则当,记为,变换（或满变换）。既单又满的变换称为同构。,与,则,.函数与极限,79,满足上述公式的映射称为“保持线性性质的映射”,注1,条件（1）与（2）等价于,这里,重复使用上述公式，可导出,.函数与极限,80,性变换，而将,注2,一般将,的元素称为线,中的元素称为,（1）,【命题2.3.1】线性变换的性质：,线性映射。,（2）若,线性相关，则,也线性相关；反之，若,.函数与极限,81,是,是一组基，,存在一个线性变换,中的向量，则唯一地,线性无关，则,若,线性无关。,使得,.函数与极限,82,均变为自己的算子(必是线性算子),称为恒等算,【一些特殊的线性变换】,（1）零变换：将线性空间中的所有向量都变成零向,位似（homothety): 设,（3）,(有时也记为 0 ）。,向量的变换，记为,（2）恒等算子（identity): 将线性空间中的任意向量,子或单位算子（或恒等变换、单位变换),记为,或简单地记为 1）。,.函数与极限,83,均有,（4）可逆变换：对线性变换,对有限维线性空间有：,称为其逆变换。,如果存在线性变换,使得对任意,则称,为可逆线性变换，,对无限维线性空间,成立不能推出,例如：取,是实数域上的全体,.函数与极限,84,无限次可微函数的集合，任给,则有,但是,，和,定义,.函数与极限,85,的线性变换。,到,是线性空间,的核(kernel),记为,空间，称为,的子集合,也记为,设,2.3.2 线性变换的核与象,的子,是,与,其维数称为,的零度或,退化次数。,相关的子集合还有,容易证明它是,.函数与极限,86,这个集合相当于,0；而单位变换的核是 0 ，象是整个线性空间。,则,显然，零变换的核是整个线性空间，象是,注意，如果,的象(image),记为,的一个子空间，称为,的秩。,或,是,的“值域”，其维数称为,的一组基，,.函数与极限,87,则,则由,而,充成,证明：设,可知,【定理2.3.1】设,的一组基：,是,的一组基,将其扩,.函数与极限,88,从而,使得,则,线性无关。,于是存在一组数,故只需证明,使得,设有一组数,.函数与极限,89,即得所需。,由于,线性无关，所,以,【推论2.3.1】 设,是单变换,（1）,则,（2）,（3）,是满变换,可逆,同构。,.函数与极限,90,基。它们的关系可以用下面的方程组表示：,是数域,上的线性空间，,的两组,是,设,2.3.3 坐标变换与线性变换的计算,与,.函数与极限,91,阶矩阵,的过渡矩阵。显然，此时由基,称为由基,到基,到基,或用矩阵形式表达为,其中,的过渡矩阵为,注：,是可逆矩阵的证明如下：,设有,使得,据此可得：,.函数与极限,92,现在假设,的坐标为,在基,的坐标,下,所以,即,的关系是：,关于另一组基,与,向量,.函数与极限,93,解：,以及,下的坐标。,到基,求由基,【例2.3.5】设,取,的过渡矩阵,在基,阵为,下的坐标为,的过渡矩,由基,到基,在基,.函数与极限,94,则,的秩,（1）,定义,矩阵。对任意,的列空间,到,例2.3.7 设,2.3.4 线性变换的矩阵,是一个,的秩就是,的线性变,换,为,的象空间就是,的核就是,（2）,的解空间，,的零度恰好等于,(此数又称为矩阵,的零度。,.函数与极限,95,由其在基,设,现设,是,由此可见，线性变换与矩阵有着深刻的内在联系.,的一组基，,是,的一组基。,下的象唯一确定，设,.函数与极限,96,其中,和基,称为,与,或用矩阵形式表达为,更一般地，设,关于基,是,的矩阵。,的两组基，,与,到基,是,的两组基；再设由基,的过渡矩阵为,即,.函数与极限,97,渡矩阵为,设,与基,的矩阵为,关于基,关于基,与基,的,即有,到基,设,的矩阵为,即,再设由基,即有,.函数与极限,98,设,在基,则有,（1）,下的坐标为,关于基,的坐标为,关于基,（2）,的坐标为,关于基,（3）,的坐标既为,又为,从而,进而,.函数与极限,99,记,是数域,维线性空间，,的所有线性算子组成的线性空间。对,是,上的,【定理2.3.2】设,任意,则,阵。设,在该基下的矩,是,是一个保持运算的一一映射，即满足下列条件：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,可逆,可逆，且此时,.函数与极限,100,【定理2.3.3】 设,是数域,上的,维线性空间，,与,的线性算子。设,是,的两组基，,是,关于该两组基的矩阵，则,分别是,与,与,相似。,.函数与极限,101,的,任意,显然，对任意线性算子,使得：,【定义2.4.1】设,是,于是,2.4.1 不变子空间,2.4 不变子空间和导出算子,也是不变子空间.,的一个子空间.如果对,其核,是数域,上线性空间,一个线性算子，,总有,存在,则称,是其不变子空间；其象,事实上，对,的一个不变子空间。,是,.函数与极限,102,的一,对角矩阵,有,所以,在该组基下的矩阵是,存在,个幂等线性算子，则,【例2.4.1】设,的一组基，使得,是数域,上线性空间,且存,其中,任给,从而,证明：首先，对任意,在,.函数与极限,103,的一组基，而,对角矩阵,是,且,在该组基下的矩阵是,这就证得：,因此，,的一组基.,是,则有,使得,其次，取,由于,现在设,从而,.函数与极限,104,这里,变换,个,0，,个1,可以分解成线性,上述作为直和项的那些不变子空间的基拼成,的一些不变子空间的直和，则,在基,一般地，如果线性空间,关于某组基的矩阵是分块对角矩阵，这只要将,主对角线上有,下的矩阵为,的基即可。因此，在这组基下，线性变换的矩,阵有较为简单的形式，即有下述定理。,.函数与极限,105,设,令,组基，,使得：,是,于是,【定理2.4.1】设,也是不变子空间.,可以表为,其核,是,维线性空间，,的不变子空间的直和，即,的一组基的并，则,存在,是,在该基下的矩阵是分块对角矩阵，即,事实上，对,的一,是由各个,.函数与极限,106,定义,是实数域。,1.设,常的实数乘法);,（即通,是所有正实数的集合，,的数乘为,中的加法运算为,习题2 选解,中数,中的元素与,证明：任给,定义,（通常的幂运算). 证明,是实线性空间。,有,.函数与极限,107,所以,即加法结合律成立。,由于,的负向量。,是零向量。,是,交换律成立。,由于,所以加法,由于,所以,.函数与极限,108,所以,现设,由于,所以数乘的结合律成立。,由于,由于,所以数乘关于向量加法的分配律成立。,.函数与极限,109,是,是无限域,上的线性空间，,至此已验证了,为实线性空间。,2. 设,所以数乘关于数量加法的分配律成立。,的真子空间。,证明：,证明：当,时，自然有,现设,且有,.函数与极限,110,都有,存在,但,由归纳法假设，存在,事实上，,但,要证：,若,则,命题获证。,因,下设,易知任取,由于,是无限域，在,中取互异的,个数：,假设,.函数与极限,111,产生矛盾。故有某个,同属于,则它们中必有两个向量同属于,个向量都属于集合,这,中的某个空间,个空间,与,即有,从而,证毕。,.函数与极限,112,是,是所有,矩阵的集合。证明,作成的实线性空间，,阶实矩阵按矩阵的加法和数乘,3. 设,的维数和一个补空间。,中所有迹为零的,证明：,所以,由于,的子空间，并求,是,是,所以,的子空间.,其次，,令,则,.函数与极限,113,的一个补空间。,是,的实线性空间，,的补空间，,所以,的子空间，并求,是所有次数小于,的实系数多项式组成,4. 设,所以,又易知,令,是,是,又由于,的子空间,且有,证明,则,.函数与极限,114,的一个补空间,是,所以,则有,从而,任取,所以,所以,证明：任取,则,是,显然，,的子空间.,.函数与极限,115,的基；,以下对矩阵施行初等行变换的：,的基。,（4）求,5. 设,空间。,是,（1）求,（2）扩充,的基；,的两个子,（3）扩充,的基，,的基；,的基，使其成为,使其成为,令,解：,.函数与极限,116,.函数与极限,117,因此，,使得,则有数,设,.函数与极限,118,从而有,（1）,的一组基为,（2）,的一组基为,.函数与极限,119,6. 设,（4）,的一组基为,（3）,的一组基为,求,的维数与基。,解：对矩阵施行初等行变换：,.函数与极限,120,便构成,的一组基。,是,的一组基，从而,因此，,.函数与极限,121,使得,从而,又任取,9. 设,是齐次线性方程组,分别为,明,是,的解空间，证,矩阵，,并求,的维数。,证：任取,的子空间，,即有,所以,.函数与极限,122,则,因此,作,是,从而得,到,的映射,所以,是线性变换，,且是满射，从而,因此，,的子空间。,由于，,又因为,.函数与极限,123,14. 设,求,的核与象空间的基与维数。,解：下面对矩阵施行初等列变换：,因而,的象空间,的维数为2，它的一组基为,的维数为1，,它的一组基可取为,.函数与极限,124,第三章 内积空间、等距变换,3.1内积的定义3.2正交性与Gram-Schmidt正交化方法3.3正交补空间3.4选定基下内积的表达式3.5等距变换,.函数与极限,125,3.1 内积的定义,【定义3.1.1】 设,是实数域或复数域，,都定义了,其中,上的线性空间.若对,是,中任意,中的数,使得,（1）,的共轭复数；,是,（2）,且等号成立,对任意,（3）,成立，则称,为一个（酉）空间或内积空间。,.函数与极限,126,若,是实数域，则内积是可交换的；,而,中的内积一般定义为,这里,是复数域时，则内积空间称为酉空间（复内积空间）.,回忆,有限维实内积空间又称为欧氏空间；当,这里,中的内积则定义为,.函数与极限,127,【命题3.1.1】 内积空间的内积具有下述性质：,（1）,对任意,对任意,（2）,有,（4）,定义它的模（或范数）为,对任意向量,（3）,模为1的向量称为单位（标准）向量.,.函数与极限,128,【命题3.1.2】 设,（1）,是任意复数，则,中向量，,（2）,是内积空间,与,等号成立当且仅当,（3）,线性相关（此称为Cauchy-Schwarz,不等式）；,此称为三角不等式.,证明：（1）显然。为证（2），不妨设,.函数与极限,129,注意,（1）,它满足下列三个条件：,的距离为,（2）,定义内积空间,与,展开左边,（3）,这就是Cauchy-Schwarz不等式.,中两个向量,对称性：,得,非负性：,三角不等式：,.函数与极限,130,3.2 正交性与Gram-Schmidt正交化方法,由Cauchy-Schwarz不等式可知,则,的夹角为,在内积空间中，若,确定。,与,正交于,故可定义,的夹角,与,它由,故此时称,记为,.函数与极限,131,显然，若,与,也正交于,的子集，如果,设,则,正交，记为,正交于,的任意向量正交，则称,与,是内积空间,如果内积空间中的一组非零向量两两相交，则称,该组向量为一个正交组.如果一组单位向量两两正交，,则称它为标准正交组.如果正交组又是内积空间的基，,则称它为正交基.,.函数与极限,132,【命题3.2.1】 正交组是线性无关组.,例3.2.1 在欧氏空间,【定理3.2.1】有限维内积空间存在标准正交基.,再有,中，求三个向量,所生成的标准正交基.,解：取,.函数与极限,133,.,单位化,.函数与极限,134,3.3 正交补空间,3.3.1 正交补空间,的子空间.,的子空间.则,是内积空间，,设,是,记为,维内积空间，,是,【定理3.3.1】设,令,容易证明,是,的一个正交补，,是,的一个子空间，称为,.函数与极限,135,并将其扩充成,当,证明: 选择,存在数,的一组正交基,的一组正交基：,时，由,是由向,令,量组,对任意,生成的子空间.则,使得,.函数与极限,136,从而,实矩阵.则,可得,的任何,(实际上任何非空子集即可),正交补,（1）,是,即得,总是存在的.令,由此定理的证明可知，对欧氏空间,子空间,【定理3.3.2】设,（2）,.函数与极限,137,故,个行向量，所以,证明：设,为矩,的第,则,的第,即,个列向量，则,记,阵,是矩阵,反之，设,从而,故,从而,.函数与极限,138,正交补空间的一个重要应用是下面的“最佳近似”定理.为此，先引入一个向量在一个子空间的“最佳近似”的定义.,使之满足下面条件的向量,3.3.2 最佳近似,是欧氏空间,的最佳近似向量是,向量，它在,【定义3.3.1】设,的子空间,的任一,.函数与极限,139,是,且,【定理3.3.3 】(最佳近似定理）设,是欧氏空间,则,如果,是,的一个子空间.,的任一向量，,证明：设,上的最佳近似向量.,在,是,所以,中任一向量，注意,.函数与极限,140,是,上的最佳近似向量为,【命题3.3.1】设,是欧氏空间,的子空间，,基，则,是,的一个向量，,在,的一个,正交基，则,在,特别，若,还是,上的最佳近似向量为,的一个标准正交,.函数与极限,141,是,其中,因此，对任意,即,最佳近似定理表明，为求一向量,间,解,有,在子空,上的最佳近似向量.,在,中的最佳近似向量，只需求,在直和分,下的表达式即可.即若,则,就是,在,上的最佳近似向量.此最佳近似,向量不是别的，正是Gram-Schmidt正交化方法,中向量,在,中的投影向量，称为,在,上的正交投影向量.确切地说，有下述命题.,.函数与极限,142,如果一个线性方程组有解，则称它是相容的；否则就称其为不相容的或矛盾的.设,均有,3.3.3 矛盾方程的最小二乘解,是一个矛盾方程，即对任意向量,是方程的一个最优解.,均有,此时如果存在向量,则称,使得对任意向量,.函数与极限,143,对任何矩阵,的列空间,向量,上的最佳近似向量.因此,的最优解,总是属于系数矩阵,则矛盾,如果,方程,量,为向,必须使,在子空间,由最佳近似定理可知，它要求,即,故向量,应满足方程,此方程称为矛盾方程,的正规化方程.其系数矩阵的秩,.函数与极限,144,( 参见习题1，第6题).而增广矩阵的秩,满足关系：,因此正规方程总是相容的，且当,相容时，,与,同解。, 当,为相容方程时，设