分析对称性在电磁学中的应用

分类号：学校代码：11460学 号：12090217南京晓庄学院本科生毕业论文分析对称性在电磁学中的应用The Analysis of Applications of Symmetry in Electromagnetism所属院（部）：电子工程学院学生姓名：赵云指导教师：石远美研究起止日期：二零一五年十二月至二零一六年五月二零一六年五月南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 2 -学位论文独创性声明本人郑重声明：1坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。2本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。3本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。4本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。5其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。作者签名：日 期：南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 3 -【摘要】：对称性原理是物理学中很重要的原理。对称性分析在现代物理学中有着相当广泛的应用，尤其是在电磁学的研究领域，对称性分析可以发挥简化数学运算、提供解题新思路以及加深对物理概念以及物理定律的理解等作用。本文简要介绍了对称性的概念以及对称性分析在物理学中的部分应用，并着重借助一些例子分析了圆形对称、球对称以及镜像对称在经典电磁学中求解电场强度以及磁感应强度中的应用以及重要作用，并进一步分析了麦克斯韦方程组中的对称性。另外本文还简单阐述了对称性与守恒定律的关系，分析了对称性在近现代电磁学应用中的范例。【关键词】：对称性原理； 电磁学； 电场强度； 磁感应强度【Abstract】:Symmetry is a very important principle in physics. The analysis of symmetry is used in modern physics extensively, especially in the study field of electromagnetism. The analysis of symmetry can help with simplifying mathematical complexity, providing new ideas for solving problems and also deepening the comprehension of physical concepts and principles, etc. In this paper we simply introduce the concept of symmetry and some of the usages of symmetry analysis in physics. And we use some examples to analyze the applications and important rules of the circle symmetry, the spherical symmetry and also the mirror symmetry in the calculations of electric field intensity and magnetic field strength. Then we give the analysis of symmetry in Maxwells equations. Finally we simply state the relationship between symmetries and conservation laws, and also give some examples of the application of symmetry analysis in modern electromagnetism.【Key words】: the principle of symmetry; magnetism; electric field intensity; magnetic strength南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 4 -目录 摘要 .- 3 -1 绪论.- 5 -1.1 研究背景与意义 .- 5 -1.2 研究内容 .- 5 -2 对称性的概念.- 5 -2.1 什么是对称性 .- 5 -2.2 对称性的作用 .- 6 -3 对称性在电磁学中的应用.- 6 -3.1 圆形对称 .- 7 -3.2 球对称 .- 13 -3.3 镜像对称 .- 14 -3.4 麦克斯韦方程组对称性分析 .- 17 -3.5 对称性破缺 .- 18 -4 问题与展望.- 18 -4.1 对称性与守恒定律 .- 18 -4.2CPT 对称 .- 20 -4.3 对称破缺的应用 .- 20 -5 结论.- 21 -6 致谢.- 21 -参考文献 .- 21 -南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 5 -1 绪论1.1 研究背景与意义对称性原理在现代物理学中占有非常重要的位置，是现代物理学教学、研究中不可或缺的一条思路和方法。通常而言，经典电磁学的很多问题由于情况复杂多变，解决时需要调用多个定理公式运用微积分帮助求解。由于电磁学的特殊电场与磁场之间的特性，对称性原理可以简化问题的复杂程度，同时帮助我们从全局的角度考虑问题。在现代电磁学的研究与应用中，对称性原理经常被巧妙的应用于通信，数码建模等领域。1.2 研究内容本文中我们主要思考和理解对称性的概念和原理，总结出其在应用时的主要思路。结合对称性原理在电磁学中若干应用问题，概括出比较详尽的运用对称性原理解题的一般思路及方法，并且初步探究现代电磁学领域中对称性原理的作用。2 对称性的概念2.1 什么是对称性对称性这个概念我们要追溯到 1959 年一位德国的科学家魏尔总结的：对称性就是指如果一个变换使某个系统转变到一个和它等价的系统，那就可以说此系统在这个变换下保持不变，就具有对称性。一个简单的例子可以说明这个概念，有一个圆盘，绕中心点旋转任何一个角度，这个圆盘没有改变。这就可以认为，这个圆盘围绕中心点旋转的操作就是一个对称性的操作。在通常情况下，对称性有很多种类型：（1）平移对称性，这个概念可以简单理解为，物体朝着某个方向平移以后和之前的状态没有变化；（2）镜像对称性，这个概念可以形象的理解为，某个物体在镜面一侧的像和原来是一样的；（3）物理规律对称性，这个概念在物理学中应用比较广泛，其意思可以理解成物理规律经过变化后形式和原先一模一样；（4）旋转对称性，使用这种对称性要求可以在物体中找到对应的对称点或者对称线，物体绕这个点或者线旋转一个角度后不变；等等。我们来深入了解一下对称性是如何演变过来的。绝大多数人们相信，因果关系就是对称性的源头：一定的状态（条件）下，会出现一定的结果。现在我们可以理解为：因为一定的原因所以有一南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 6 -定的结果。又因为我们所看到的稳定因果关系肯学有可复制性。所以，我们把这条法则引申为等价的原因有等价的结果。这里可以看出，等价性就是对称性。所以我们得到结论：具有对称性的原因肯定会有对称性的结果。这条结论被 1894 年皮埃尔居里所提出：原因中的对称性必然反映到结果中。我们可以这样理解，结论中的对称性或不对称性肯定在原因中有所体现。2.2 对称性的作用对称性原理有着很长的一段发展道路。1820 年一位丹麦的物理学家奥斯特发现了电流磁效应，此时很多的物理学家想到了对称性并开始研究磁生电，并最终在 1830 年，一位名叫法拉第的科学家取得了突破。还有，我们可以来看麦克斯韦方程组，变化的磁场能够产生电场，变化的电场也能够产生磁场。实际上，麦克斯韦在发现这些规律的时候正是运用了对称性的思路很快取得了成果。在现代物理学的发展中，对称性是研究中一个重要的工具。1921 年，著名科学家爱因斯坦发现了波粒二象性，随后，德布罗意想到了对称性，很快于三年后提出德布罗意波（物质波） 。我们也可以看到，英国的科学家们正是因为发现了对称性破缺可以产生电磁波的理论，才研究出耗能更少，体积更小，结构更精细的电磁波发射器，使我们的通信技术进了一大步。总之，对称性已经是现代物理学研究中非常重要的理论，它对探究未知物理学领域有重要的作用。在经典物理学，对称性可以帮助我们简化数学运算，提高效率，也可以帮助我们更全面的理解物理定律 1。3 对称性在电磁学中的应用对称性在物理学中应用广泛，尤其在电磁学中，运用对称性尤为重要。本文中我们基于以下几个方面并借助于一定的例子来分析对称性在电磁学中的应用：圆形对称、球对称、镜像对称在计算电场强度和磁感应强度方面的应用，进而进一步分析总结麦克斯韦方程组中的对称性。通常情况下，在利用各种方法计算电场强度和磁感应强度（微元法以及场强的叠加原理，或者静电场的高斯定理，或者静电场的环路定理）问题时直接计算会出现比较复杂，运用对称性分析，可以由繁化简，大大简化计算过程，也可以有助于让我们从整体上考虑问题。正如我们前面所说，对称的原因会导致对称的结果，这在电磁学中得到了充分的体现。对称的源（电荷分布或电流分布）一定会激发对称的场（电场强度或磁感应强度） 。接下来我们主要通过一些具体的例子来分析圆形对称、球对称和镜像对称在经典电磁学中的应用。南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 7 -3.1 圆形对称我们首先看一个圆形对称性的最简单的例子，一个均匀带电圆环。问题 1：如图 1 所示，半径为 R 的带电量为 Q 的均匀圆环，求其轴线上一点的电场强度。图 1解决这种问题的一般思路是使用微元法，把圆环分割成很小的微元，它们所带的电荷电量为，将它们看作是点电荷，利用点电荷的电场强度公式得到电荷元 所激发的场强为dq dq，最后电场强度的叠加原理得到带电圆环在轴线上激发的场强为所有电荷元激发场20=4rEe强的矢量求和，即 。在通常的直角坐标系下，我们知道，这个矢量的积分代表沿着Ed三个坐标轴的标量积分，也就是说，正常情况下我们需要做三个标量积分才能完成场强的计,xyz算。但是如果我们先分析一下对称性，借助于均匀带电圆环的圆形对称性，我们不难发现，每一个电荷元都有一个对称的电荷元，其大小与前者相同，方向关于轴上点对称，这一对的对称电荷元在圆环轴线上激发的电场强度合成以后，与轴线垂直的面里面的场强相互抵消，只有沿着轴线方向的场强保留下来，而带电圆环上的电荷元总是可以成对的取，这样我们借助对称性分析， 可以知道均匀带电圆环在轴线上激发的场强沿着轴线方向，这样把原本的三个积分就简化为只需要求解一个积分。具体计算相对就大大简化了，我们把电荷元写为 ，此处 为电荷线密度，电荷元激dql发的场强为 ，其中 是圆环上某点到轴线上点的距离。由于我们只需要计算电场强20=4rdlEel度的沿着轴线方向的分量，所以 ，其中 z 是轴上一32200cos4zdqzdlElrz南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 8 -点 P 与圆盘的距离。最后积分得到 借助于对称性分析，大大简化了数3204zQzEdr学上的积分运算。在这个例子中我们只是求得了轴线上的电场强度，下面我要更深入的探究一下在任意位置上的电场强度问题。我们来看这个模型如图 2，图 2一个半径是 a 的带电细圆环，它的电荷密度为 。从对称性的角度分析，圆环上的电荷在空间任意位置产生的电场强度 的 y 分量会抵消掉，所以 E 的大小与 P 点的方位角 无关。为了计算E 0方便，取方位角为 0，那么源点的位矢就是 ，场点 P 的位矢是cosinsraj，所以有 ，sincosrrk(i)scossRark。圆环上的电荷元为 。根据场强的计算公式计算得到电22iRadq荷元的场强是 。根据这个式子，3322sincosincs44adrajrkqdERr 我们为了分开积分，列出其分量， 2 23 32 20 02 2sin cos44sincoinxardadrara ，我们只需要求出这两个积分就可以得出结论，因此利用2 320 2coizEa文献资料 2中的公式计算，最后化简结果为：南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 9 -12 222 22 cos ()cos(in)sininsinxz arEkKa EkrE rar A其中2 2422 20 1315()1sin()6kkkxdk ，其中2222 4620() 1sinK kkx 。得到这一结果之后我们可以比较容易的推广到求轴线上的场强问题，求224ark距离带电环极远处的场强问题和求均匀带电环平面内的场强问题。在求带电环轴线上场强时，只需要把结论中 看为 0 或者 ， 用 z 来代替即可，所以r，和问题 1 中的答案形式是一致的。320,()xyzazE在求极远处带电圆环产生的电场时，有 ，此时可作近似2,sin,1raark则 。3322sincos,()xzararE 3224()Er在求圆平面内的电场强度时，只需要令结论中的 ，这时=。2()(),0,2(x yzarkaEKkEr有了均匀带电圆环的结论，接下来我们考虑圆形对称性的另外一个例子-均匀带电圆盘。问题 2：如图 2 所示，求均匀带电圆盘轴线上的电场强度，圆盘半径为 R，电荷面密度为 （） 。0图 3南京晓庄学院 2016 届本科毕业论文- 10 -通常情况下，解决这个问题的一般方法也是微元法，我们可以以圆心 O 为中心作半径为 与r的圆，再作两条夹角为 的半径，就截出一个很小的半扇形，因为角度很小，可以把它看rdd做矩形，面积为长乘以宽，为 ，其电荷量为 ，按照公式代入，它SrdqSrd在轴上一点 P 的场强为 ，然后做矢量积分 ，这个